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第二章 圆锥曲线与方程 单元测试1


第二章 圆锥曲线与方程 单元测试 A 组题(共 100 分) 选择题:本大题共 5 题,每小题 7 分,共 35 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1.方程 x ?
3 y ? 1 所表示的曲线是
2

( )

(A)双曲线 (C)双曲线的一部分 2.椭圆 1 (A)2 3.双曲线 (A)2
x a
2 2

(B)椭圆 (D)椭圆的一部分
x
2

x

2

?

y a

2 2

? 1 与双曲线

?

y

2

4

a

2

? 1 有相同的焦点,则 a 的值是

( )

(B)1 或–2
y b
2 2

1 (C)1 或2

(D)1

?

? 1 的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率是
3 2

( )

(B)

3

(C)

2

(D)

4. 若抛物线的准线方程为 x=–7, 则抛物线的标准方程为 (A)x2=–28y (B)y2=28x (C)y2=–28x (D)x2=28y 5. 抛物线 y2= 4x 上一点 P 到焦点 F 的距离是 10, 则 P 点的坐标是 (A) 6) (9, (B) 9) (6, (C) (±6, 9) (D) (9,±6) 填空题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分。

( ) ( )

x2 y2 6.双曲线25– 9 = 1的两个焦点分别为 F1、F2, 双曲线上的点 P 到 F1 的距离为 12, 则 P 到 F2 的距离为 7.双曲线
x
2

.
? y
2

? 1 的焦点到渐近线的距离等于

5

4

.

8.经过点 P(4,–2)的抛物线的标准方程为 . 2 9.已知点 P(6, y)在抛物线 y =2px (p>0)上,F 为抛物线焦点, 若|PF|=8, 则点 F 到抛物线 准线的距离等于 解答题:本大题共 3 小题,共 41 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 10.双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0) ,过焦点 F1 的弦 AB(A、B 在双曲线的同支上)长为 m,另

一焦点为 F2,求 △ABF2 的周长.

11.焦点在 y 轴上的抛物线上一点 P(m,–3)到焦点的距离为 5, 求抛物线的标准方程.

12.已知抛物线 y2=6x, 过点 P(4, 1)引一弦,使它恰在点 P 被平分,求这条弦所在的直线 l 的方程.

B 组题(共 100 分) 选择题:本大题共 5 题,每小题 7 分,共 35 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 13.如果双曲线 ( ) 96 (A) 5 86 (B) 5 85 (C) 6 83 (D) 6 ( )
x
2

?

y

2

?1

64

36

上一点 P 到它的右焦点的距离是 8,那么 P 到它的左准线距离是

x2 y2 x2 y2 14.设 0<k<a2, 那么双曲线 2 – b2 + k = 1与双曲线 a2 – b2 = 1有 a –k (A)相同的虚轴 (B)相同的实轴 (C)相同的渐近线 (D)相同的焦点 ( 1 15.抛物线 y= a x2 (a≠0)焦点坐标是 a a (A)(0, 4 )或(0, –4 ) a (B)(0, 4 )



1 1 1 (C) , 4a )或(0,–4a ) (D)(0, 4a ) (0

16.若抛物线 y2= 2px (p>0)上一点 P 到准线及对称轴的距离分别为 10 和 6, 则 p 的值等于 ( ) (A)2 或 18 (B)4 或 18 (C)2 或 16 (D)4 或 16 2 17.过抛物线 y = 2px(p>0)的焦点 F 作一条直线 l 交抛物线 l 于 A、B 两点,以 AB 为直径的圆和该抛物线的准线 l 的位置关 A 系是 ( ) (A)相交 (B)相离 (C)相切 (D)不能确定 F M 填空题:本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分。 o x 2 2 C y x ? ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则 18.若方程 B
| k | ?2 1? k

它的半焦距 c 的取值范围是 19.若双曲线与椭圆 为 .
x
2

.
y
2

?

? 1 有相同焦点,且经过点 ( 1 5 , 4 ) ,则该双曲线的方程

27

36

20. 在直角坐标系 xOy 中,有一定点 A 2, ,若线段 OA 的垂直平分线过抛物线 y 2 ( 1)

? 2 px( p ? 0)

的焦点,则该抛物线的准线方程是 . 21. M 到点 F(0, –2)的距离比它到直线 l: 点 y–3=0 的距离小 1, 则点 M 的轨迹方程是 解答题:本大题共 3 小题,共 41 分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 22 . 已 知 焦 点 在 坐 标 轴 上 的 双 曲 线 , 它 的 两 条 渐 近 线 方 程 为 y?
3 x ? 0 ,焦点到渐近线的距离为 3,求此双曲线的方程.

.

23.双曲线
21 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)满足如下条件:(1) ab= 3 ;(2)过右焦点 F 的直线 l 的斜率为

,交 y 轴于点 P,线段 PF 交双曲线于点 Q,且|PQ|:|QF|=2:1,求双曲线的方程.

24.过抛物线 y= x2 的顶点作互相垂直的两条弦 OA、OB, 抛物线的顶点 O 在直线 AB 上的射 影为 P, 求动点 P 的轨迹方程. y B P A O C 组题(共 50 分) 选择或填空题:本大题共 2 题。 25.双曲线 x ? y ? 1 右支上一点P(a, b)到直线 l:y = x 的距离 d ?
2 2

x

2 则 a+b=

( )

1 (A)–2

(B)

1 2

(C)

1 2

或?

1 2

(D)2或–2

26.已知抛物线 y2=–x 与直线 y=k(x + 1)相交于 A、B 两点,则△AOB 的形状是 . 解答题:本大题共 2 小题,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 27. 直线 y=kx+1 与双曲线 x2-y2=1 的左支交于 A,B 两点,直线 l 过点(-2,0)和 AB 的中点, 求直线 l 在 y 轴上截距 b 的取值范围.

28.如图所示,点 F ( a , 0 )( a ? 0 ), 点 P 在 y 轴上运动,M 在 x 轴上,N 为动点,且
PM ? PF ? 0 , PN ? PM ? 0



(1)求点 N 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F ( a , 0 ) 的直线 l(不与 x 轴垂直)与曲线 C 交于 A,B 两点,设点 K ( ? a , 0 ) , KA 与 KB 的夹角为
? ,求证: 0 ? ? ?

?
2

.

参考答案

A组 一、1、C. 2、D. 3、C. 4、B. 5、D. 二、6、答:2 或 22. ||PF2|-12|=2a=10,∴|PF2|=12±10. 6 7、答:2. 焦点 F(3, 0)到渐近线 2x- 5y=0 的距离为 = 2. 9 8、答:y2=x 或 x2=–8y. 当抛物线焦点在 x 轴上时,设抛物线方程为 y2=ax,P 点代入解得 a =1;当抛物线焦点在 y 轴上时,设抛物线方程为 x2=ay,P 点代入解得 a=-8. ∴抛物线方 程为 y2=x 或 x2=–8y. p 9、答:4. 由|PF|=6+2=8,得 p=4,即焦准距等于 4. 三、10. 解 ∵|AF2|-|AF1|=2a,|BF2|-|AF1|=2a, ∴(|AF2|-|AF1|)+(|BF2|-|BF1|)=4a, 又|AF1|+|BF1|=|AB|=m, ∴|AF2|+|BF2|=4a+(|AF1|+|BF1|)=4a+m. ∴△ABF2 的周长等于|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m. 11、 解:依题意,设抛物线方程为为 x2=-2py (p>0) 点 P 在抛物线上,到准线的距离为 5,又点 P 到 x 轴的距离为 3,所以准线到 x 轴的距 p 离为 2,∴2=2,∴p=4,∴抛物线方程为 x2=–8y. 12、解:设 l 交抛物线于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,由 y12=6x1、y22=6x2, 得 (y1-y2)(y1+y2)=6(x1-x2), 又 P(4, 1)是 A、B 的中点,∴y1+y2=2, ∴直线 l 的斜率 k= y1-y2 =3,∴直线 l 的方程为 3x–y–11= 0. x1-x2

B组 四、 13、选 A. 设 P 到右焦点的距离为|PF1|=8, P 到左焦点的距离|PF2|=2a+|PF1|=24. 则 5 |PF2| 96 e=4,∴P 到左准线的距离 d= e = 5 . 14、选 D. a a 15、B. 将抛物线方程化为 x2= ay,当 a>0 时,p=2,焦点为(0, 4 ), a p a 当 a<0 时,p=-2,焦点为(0, -2),也是(0, 4 ). 16、A. 1 17、 设 AB 中点为 M, C. AD⊥l 于 D, BC⊥l 于 C, MN⊥l 于 N. ∵|AD|=|AF|,|BC|=|BF|,|MN|=2 1 (|AD|+|BC|)=2|AB|,∴以 AB 为直径的圆于抛物线的准线 l 相切. 五、18、(1, +∞), ∵双曲线的焦点在 y 轴上,∴ ? ∴c2=k-1+k-2=2k-3>1,∴c>1.
? 1? k ? 0 ?k ?2?0

, ∴k>2.

19.? 双 曲 线 的 方 程 为 20. 答: x
5 5 4

y

2

?

x

2

? 1.
1 2

4

5
? ? 2 ( x ? 1)

? ?

. ∵ OA 的垂直平分线的方程是 y ?
? ? 5 4

,令 y=0 得到抛物线的焦点

为( , 0) ,∴抛物线的准线方程为 x
4

.
2 2

21、答 x2=–8y. 设 M(x,y), 依题意, ( x ? 0 ) ? ( y ? 2 ) ? y ? 3 ? 1 且 y<3. 化简得 x2=–8y. 六、22. 解 设双曲线方程为 y2-3x2=k (k ? 0), 当 k>0 时,a2=k,b2=
4

k 3

,c2= k 此时焦点为(0, ?
3

4

4 3

k

),

由题意得 3=

k

3 2

,解得 k=27,双曲线方程为 y2-3x2=27; ,b2=-k,c2= - k ,此时焦点为( ?
3 4
? 4 3 k

当 k<0 时,a2= - 由题意得 3=

k 3

,0),

? 4k 2

,解得 k=-9,双曲线方程为 y2-3x2=-9,

即 3x2-y2=9. ∴所求双曲线方程为 y2-3x2=27 或 3x2-y2=9. 23. 解:设直线 l: y=
21 2

(x-c),令 x=0,得 P(0, ?

21 2

c ),

设λ

2c 2 ? ?x ? 1? 2 ? 3 c ? | PQ | ? 2 ,Q(x,y),则有 ? = 21 | QF | ? c ? 2 ?y ? ? ? 1? 2 ?


21 6 c

又 Q(

2 3
2

c, ?

21 6

c )在双曲线上,

∴b2(
2

2 3

c)2-a2(-
2

21 6

c)2= a 2b2,

?a2 ? 1 ? ( 2 ? 1) ? 1 , 解得 2 =3,又由 ab= 3 ,可得 ? ∵a +b =c ,∴ (1 ? 2 ) ? , 2 9 a 12 b a ?b ? 3 ?
2 2

4

b

2

7

a

b

∴所求双曲线方程为 x ?
2

y

2

3

?1.

24













y B P A O x

P ( x , y ), A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), l A B : y ? kx ? b , ( b ? 0 )

由?

? y ? kx ? b , ?y ? x ,
2

消去 y 得: x ? kx ? b ? 0 , x1 x 2 ? ? b .
2

∵OA ⊥OB,∴ O A ? O B ? 0, ∴ x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 , 所以 x1 x 2 ? ( x1 x 2 ) ? ? b ? ( ? b ) ? 0 ,b≠0,
2 2

??? ??? ? ?

∴ b=1,∴ 直线 AB 过定点 M(0, 1), 又 OP⊥AB,∴点 P 的轨迹是以 OM 为直径的圆(不含原点 O) , ∴点 P 的轨迹方程为 x ? ( y ?
2

1 2

) ?
2

1 4

( y ? 0) .

解法二:设 P(x,y),lOB: y ? kx ,lOA: y ? ?

1 k

x ,分别代入 y= x2,

得 B ( k , k ), A ( ?
2

1

,

1
2

k k

).

??? ??? ? ? ? x 2 ? y 2 ? kx ? k 2 y ? 0 ? O P ?B P ? 0 ? ? 由 ? ??? ??? 得? 2 ,消去 k 得点 P 的轨迹方程为 ? ? x y 2 x ? y ? ? 2 ?0 ? O P ?A P ? 0 ? ? k k ?

x ? y ? y ? 0( y ? 0) .
2 2

C组 七、25、选 B. ∵点 P 在直线 l:y = x 的下方,所以 b<a, 所以 d ?
a?b 2 ? 2 得a ? b ? 2,

又 a ? b ? 1 ,∴ a ? b ?
2 2

1 2
?

.
y ? ?x
2

26、答:直角三角形. 由 ? 设 A(x1,y1)、B(x2,y2),

? y ? k ( x ? 1)

得 k x ? (2 k ? 1) x ? k ? 0 ,
2 2 2 2

2k2+1 ∵x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1 + 1)(x2 + 1)=1+k2(1- k2 +1)=0, → → ∴ OA · OB =0,∴OA⊥OB,所以△AOB 是直角三角形. 八、27. 解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),将直线 y=kx+1 与 x2-y2=1 联立得 (1-k2)x2-2kx-2=0…………①, 又 1-k2 ? 0,方程①有两个不大于-1 的不等实根,

? ? 4 k 2 ? 4 (1 ? k 2 )( ? 2 ) ? 0 ? ? 0 ? ? ? ? 2k ∴ ? ( x1 ? x 2 ) ? ? 2 , 即? , ? ?2 2 ? ( x ? 1)( x ? 1) ? 0 ?1 ? k ? 1 2 2k ? ?2 ? ?1? 0 2 2 ? 1? k ?1 ? k

解得 1<k< 2 ;AB 的中点为(
1

k 1? k
2



1 1? k
2

),
2 ?2k ? k ? 2
2

直线 l 的方程为 y=

?2k ? k ? 2
2

? ( x ? 2 ) , 截距 b=

? ? (k ?

1 1 4 ) ?
2

17 16

,

∴ b ? (?? , ?2 ?

2 ) ? (2, ? ? )

28、解: (1)设 N ( x , y ), M ( x 0 , 0 ), P ( 0 , y 0 ), 则 PM ? ( x 0 , ? y 0 ), PF ? ( a , ? y 0 ), PN ? ( x , y ? y 0 ). 由 PN ? PF ? 0 , 得 ax 0 ? y 0 ? 0
2



? x0 ? ? x, ? x ? x 0 ? 0, ? 即? PN ? PM ? 0, 得 ( x ? x 0 , y ? 2 y 0 ) ? 0,即 ? y 并代入①, ? y ? 2 y 0 ? 0, ? y 0 ? , 2 ?

得 y ? 4 ax 为所求.
2

(2)设 l 的方程为 y ? k ( x ? a ).由 ?

? y 2 ? 4 ax , ? y ? k ( x ? a ),
2

消去 x , 得 y

2

?

4a k

y ? 4a

2

? 0.

设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 则 y 1 y 2 ? ? 4 a , KA ? ( x 1 ? a , y 1 ), KB ? ( x 2 ? a , y 2 ),
KA ? KB ? x 1 x 2 ? a ( x 1 ? x 2 ) ? a
2

? y1 y 2 ?

y1 y 2 (4a )

2

2 2

? a ?(

y1

2

?

y2

2

)?a

2

? 4a

2

?

4a

4a

1 4

( y1 ? y 2 ) ? 2 a
2 2

2

?

1 4

( 2 | y 1 y 2 |) ? 2 a ?

1 2

? 4a

2

? 2a

2

? 0.

? cos ? ?

KA ? KB | KA ? KB |

? 0 ,? 0 ? ? ?

?
2

.

说明:1、第 15 题为 2007 年广东高考理科数学试题. 3、 23 题为自编题, 第 揭示了过抛物线顶点的两条互相垂直的弦端点连线过定点的规 律. 2、第 28 题改编题,综合了解析几何与平面向量基础知识和基本思想方法.向这也是 这类问题命题的一个趋势.


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