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上海市松江二中2014-2015学年高二上学期开学数学试卷 Word版含解析


上海市松江二中 2014-2015 学年高二上学期开学数学试卷
一、填空题(每题 3 分,共 36 分) 1. (3 分)计算: =.

2. (3 分)已知函数 f(x)= sin(ax+

)的最小正周期为 4π,则正实数 a=.

3. (3 分)已知等比数列{an}中,a1+a2=2,a3+a4=4,则

a5+a6=. 4. (3 分)若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,a2+a4=14,S7=70,则数列{an}的通项公式为. 5. (3 分)已知 , ,则 x=. (结果用反三角函数表示)

6. (3 分)若

(1+ ) =0,则实数 r 的取值范围是.

n

7. (3 分)如果 f(n)=1+ + + +…+

(n∈N ) ,那么 f(n+1)﹣f(n)=.

*

8. (3 分)设 Sn 是各项为正数的等比数列{an}的前 n 项和,若 S10=10,S20=30,则 S40=. 9. (3 分)在 1 和 2 之间插入 2n 个数,组成首项为 1,末项为 2 的等差数列,若此数列前 n+1 项的和与末 n+1 项的和之比为 9:13,则 n=. 10. (3 分) 数列{an}中, 若 a1=1, (n∈N ) , 则
*

=.

11. (3 分)数列{an}中,a1=2,a2=3,对于满足 n≥3 的每个正整数 n,an=

,则 a2014=.

12. (3 分)数列{an}的通项 an=(﹣1) (λ+ 值范围是.

n

)+3,若此数列的各项都是正数,则 λ 的取

二、选择题(每题 4 分,共 16 分) 13. (4 分)已知△ ABC 的三内角 A,B,C,则“A,B,C 成等差数列”是“B= ”的()

A.充分不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

14. (4 分)将函数 y=sinx(x∈R)的图象向左平移 m(m>0)个单位,得到的图象与函数 y=sin(x+ A. )的图象重合,则 m 的最小值为() B. C. D.π

15. (4 分)已知 a>0,b>0,若 A.7 B. 8 C. 9

,则 a+b 的值不可能是() D.10

16. (4 分)已知定义在 点评: 本题主要考查数列极限的运算法则的应用,属于基础题.

2. (3 分)已知函数 f(x)= sin(ax+

)的最小正周期为 4π,则正实数 a= .

考点: 专题: 分析: 解答: ∴a= ,

三角函数的周期性及其求法. 三角函数的求值. 利用周期公式,根据已知周期求出 a 的值即可. 解:∵ω=a,f(x)的最小正周期为 4π,

故答案为: 点评: 此题考查了三角函数的周期性及其求法,熟练掌握周期公式是解本题的关键. 3. (3 分)已知等比数列{an}中,a1+a2=2,a3+a4=4,则 a5+a6=8. 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 根据在等比数列{an}中, a1+a2, a3+a4, a5+a6 也成等比数列, 进而根据 a1+a2 和 a3+a4 的值求得答案. 解答: 解:在等比数列{an}中,a1+a2,a3+a4,a5+a6 也成等比数列, ∵a1+a2=2,a3+a4=4 ∴a5+a6=8 故答案为:8. 点评: 本题主要考查了等比数列的性质. 解题的关键是利用在等比数列中, 依次每 k 项之 和仍成等比数列的性质.

4. (3 分) 若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, a2+a4=14, S7=70, 则数列{an}的通项公式为 an=3n * ﹣2(n∈N ) . 考点: 专题: 分析: 解答: 等差数列的通项公式;等差数列的前 n 项和. 等差数列与等比数列. 由等差数列的性质和求和公式可得 a3,a4,可得公差,进而可得 其通项公式. 解:由等差数列的性质可 得 2a3=a2+a4=14,解得 a3=7, = =70,解得 a4=10,

由求和公式可得 S7=

故等差数列的公差 d=a4﹣a3=3, 故数列{an}的通项公式为 an=a3+(n﹣3)d=3n﹣2 * 故答案为:an=3n﹣2(n∈N ) 点评: 本题考查等差数列的通项公式的求解,涉及等差数列的求和公式,属基础题.

5. (3 分)已知 数表示)



,则 x=

. (结果用反三角函

考点: 反三角函数的运用. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: x∈( ,π)?π﹣x∈(0, ) ,依题意,结合诱导公式知,sinx=sin(π﹣x)= ,

从而利用反正弦可求 x. 解答: 解:∵x∈( ∴﹣x∈(﹣π,﹣ ∴π﹣x∈(0, ,π) ,

) ,

) , ,

∵sinx=sin(π﹣x)= ∴π﹣x=arcsin ∴x=π﹣arcsin , .

故答案为:π﹣arcsin

. ,π)转化为 π﹣x∈

点评: 本题考查反三角函数的运用,考查诱导公式的应用,将 x∈( (0, )是关键,考查理解与运算能力,属于中档题.

6. (3 分)若

(1+ ) =0,则实数 r 的取值范围是

n



考点: 数列的极限. 专题: 计算题. 分析: 由数列极限得到 解答: 解:∵ ∴ 即 解得: 故答案为: , , . . (1+ ) =0,
n

,求解绝对值不等式及分式不等式得答案.

点评: 本题考查了数列极限, 考查了数学转化思想方法, 训练了绝对值不等式和分式不等 式的解法,是中档题. (n∈N ) ,那么 f(n+1)﹣f(n)=
*

7. (3 分)如果 f(n)=1+ + + +…+



考点: 数列的函数特性. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 直接利用已知条件列出关系式,求解即可. 解答: 解:f(n)=1+ + + +…+ 那么 f(n+1)﹣f(n)=1+ + + +…+ = 故答案为: . . (n∈N ) , + ﹣(1+ + + +…+ )
*

点评: 本题考查数列的函数的特征,数列的通项公式的应用,基本知识的考查. 8. (3 分)设 Sn 是各项为正数的等比数列{an}的前 n 项和,若 S10=10,S20=30,则 S40=150. 考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: S10=10,S20=30,设 S30=a,S40=b,由题意知 10,30﹣10,a﹣30,b﹣a 成等比数 列 ,由此能求出 S40. 解答: 解:∵Sn 是各项为正数的等比数列{an}的前 n 项和, ∴S10,S20﹣S10,S30﹣S20,S40﹣S30 成等比数列,

∵S10=10,S20=30,设 S30=a,S40=b, ∴10,30﹣10,a﹣30,b﹣a 成等比数列, ∴a﹣30=40,解得 a=70, b﹣a=80,解得 b=150. ∴S40=150. 故答案为:150. 点评: 本题考查数列的前 40 项和的求法,是基础题,解题时要注意等比数列的性质的合 理运用. 9. (3 分)在 1 和 2 之间插入 2n 个数,组成首项为 1,末项为 2 的等差数列,若此数列前 n+1 项的和与末 n+1 项的和之比为 9:13,则 n=5. 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意可知该等差数列的首项 a 1=1、a2n+2=2,求出公差 d,再等差数列的前 n 项 和和题意列出方程,求出 n 的值. 解答: 解:由题意可知,该等差数列的首项 a1=1,a2n+2=2, 则此数列的公差 d= = ,

∵此数列前 n+1 项的和与末 n+1 项的和之比为 9:13,





即 13=9, 解得,n=5, 故答案为:5. 点评: 本题考查等差数列的性质和前 n 项和公式,注意末 n+1 项看成首项是 2、公差是原 来公差的相反数的数列,属基础题. 10. (3 分) 数列 {an}中, 若 a1=1, (n∈N ) , 则
*

= .

考点: 数列的求和. 专题: 计算题. 分析: 由 解答: 解:由 ,求出 a1+a2+a3+a4+…+a2n﹣1+a2n,然后求得极限. ,得(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n﹣1+a2n)=

=

=



∴ 故答案为: .

=

= ,

点评: 本题考查数列求和、数列极限,属基础题,准确求出数列的和是解题关键.

11. (3 分)数列{an}中,a1=2,a2=3,对于满足 n≥3 的每个正整数 n,an=

,则 a2014= .

考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知条件分别求出数列{an}的前 8 项,得到{an}是周期为 6 的周期数列,由此能 求出 a2014. 解答: 解:∵数列{an}中,a1=2,a2=3, 对于满足 n≥3 的每个正整数 n,an= ,

∴a3= ,a4= = ,a5= = ,a6= = ,a7= =2,a8= =3, ∴{an}是周期为 6 的周期数列, ∵2014=335×6+4, ∴a2014=a4= . 故答案为: . 点评: 本题考查数列的第 2014 项的求法, 是中档题, 解题的关键是推导出{an}是周期为 6 的周期数列.
n

12. (3 分)数列{an}的通项 an=(﹣1) (λ+ 值范围是 解答: 解: (1)∵a1=1,d=1, ∴an=1+(n﹣1)=n. ∴ 则 (2)an=1+(n﹣1)d,bn= Sn=b1+b2+…+ bn= = .

)+3,若此数列的各项都是正数,则 λ 的取

; .

=
*



由若对任意 n∈N ,不等式 Sn> 均成立, 则 ∵ ,即 . 对任意 n∈N 均成立,
*

∴d<1. 点评: 本题考查了数列递推式, 考查了裂项相消法去数列的和, 训练了数列不等式的解法, 是中档题. 20. (10 分)如图,在 y 轴的正半轴上依次有点 A1、A2、…、An,其中点 A1(0,1) 、A2 (0,10) ,且|An﹣1An|=3|AnAn+1( | n=2,3,4, …) , 在射线 y=x(x≥0) 上依次有点 B1、 B2 、 …、 Bn,点 B1 的坐标为(3,3) ,且|OBn|=|OBn﹣1|+2 (n=2,3,4,…) . (1)求点 An、Bn 的坐标(用含 n 的式子表示) ; (2)设四边形 AnBnBn+1An+1 面积为 Sn,求数列{Sn}的通项公式.

考点: 数列的应用. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1) 利用|An﹣1An|=3|AnAn+1|, 及|A1A2|=9, 结合等比数列的通项公式求得|An An+1|, 结合等比数列的求和公式, 可得|A1A2|+|A2A3|+…+|An﹣1An|, 从而得出 An 的坐标; 确定{|OBn|} 是 3 为首项,2 为公差的等差数列,可求 Bn 的坐标; (2)①连接 AnBn+1,设四边形 AnBnBn+1An+1 的面积为 Sn,则 Sn= + .

解答: 解: (1)|An﹣1An|=3|AnAn+1|,且|A1A2|=10﹣1=9, ∴|AnAn+1|=|A1A2| ∴|A1A2|+|A2A3|+…+|An﹣1An|=9+3+1+…+ ∴An 的坐标(0, ) , . = ,

∵|OBn|﹣|OBn﹣1|=2 (n=2,3,…)且|OB1|=3 , ∴{|OBn|}是以 3 为首项,2 为公差的等差数列 ∴|OBn|=3 +(n﹣1)×2 =(2n+1) ,

∴Bn 的坐标为(2n+1,2n+1) . (2)连接 AnBn+1,设四边形 AnBnBn+1An+1 的面积为 Sn, 则 Sn= + = ?( )
n ﹣3

×(2n+3)+ ?2

?

=

+



点评: 本题考查数列与函数的结合、等比数列的通项公式、等差关系的确定等基础知识, 考查运算求解能力,考查化归与转化思想.属于难题. 21. (12 分)已知数列{an}中,a1=3,an+1+an=3?2 ,n∈N . n (1)证明数列{an﹣2 }是等比数列,并求数列{an}的通项公式; (2)在数列{an}中,是否存在连续三项成等差数列?若存在,求出所有符合条件的项,若 不存在,请说明理由; (3)已知 1<r<s 且 r,s∈N ,若 a1,ar,as 成等差数列,请求出 r,s 满足的关系式. 考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 分析: (1)利用等比数列的定义进行证明; (2)可以先假设存在某连续三项,根据等差中项的定义式列出方程化简,在正整数范围内 有解则存在,否则不存在; (3)根据等差中项的定义列出 a1,ar,as 的关系式,化简即可得到 r,s 的关系式. n * 解答: 解: (1)由 a1=3,an+1+an=3?2 ,n∈N .得: , 所以数列{ ∴ }是以 a1﹣2=1 为首项,公比为﹣1 的等比数列, =(﹣1)
n ﹣1 * n *

,所以



(2)假设存在连续三项 an﹣1,an,an+1 成等差数列,则由已知得: n n﹣1 n﹣1 n﹣2 n+1 n 2(2 +(﹣1) )=2 +(﹣1) +2 +(﹣1) , (n≥2) n﹣1 2 n﹣1 化简得 2 =2 ×(﹣1) ,显然当 n=3 上式成立, 所以存在数列{an}中的第二、三、四项构成等差数列; * (3)由 1<r<s 且 r,s∈N ,结合通项可知 a1<ar<as, 由 a1,ar,as 成等差数列,可得 2ar=a1+as, r r﹣1 s s﹣1 r+1 s r﹣1 s﹣1 即 2?2 +2(﹣1) =3+2 +(﹣1) ,整理得 2 ﹣2 =3﹣2(﹣1) +(﹣1) , * r+1 s r﹣1 因为 1<r<s 且 r,s∈N ,所以 2 ﹣2 的可能取值为 0,8,…,而 3﹣2(﹣1) +(﹣1) s﹣1 ∈, r+1 s ∴2 ﹣2 =0, ∴s=r+1(r≥2,r∈N) . 点评: 本题突出考查了等差数列及等差中项的基本概念、 通项和性质, 体现了化归思想. 其 中第二问的类型一般先假设存在, 然后根据题意列方程或不等式, 只要有符合题意的解即说 明存在,否则不存在.


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