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2013正弦定理和余弦定理高三复习学案


高三复习之正弦定理和余弦定理(学案)
一、复习回顾 1、正弦定理:
a sin A ? b sin B ? c sin C ? 2R

变形公式:a=_________ 2、余弦定理: a 2 ? _________ 变形公式: cos A ? _________ 3、三角形面积公式
1 2

b=______

_____
b
2

c=__________
c
2

? _________
cos B ? _________

? _________
cos C ? _________

S ?ABC ?

a b sin C ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

应用正弦定理和余弦定理可以实现将“边、角相混合”的式子转化为“边、 角单一”的式子。这样我们就可以通过正弦定理、余弦定理来解三角形,并辅以 三角函数、 等式变换等知识, 就可以进行化简或证明有关三角形中边与角的问题、 判断三角形的形状、求三角形的面积等等。 二、例题讲解 例 1:在⊿ABC 中,若 A.直角三角形
(两种方法)
a co s A ? b co s B ? c co s C ,

则⊿ABC 是(

) D.等腰直角三角形

B.等边三角形

C.钝角三角形

课堂练习: 1、【2012 高考真题上海理 16】在 ? ABC 中,若 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ,则 ? ABC 的形
状是( ) A.锐角三角形 【答案】C B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
A ? 3 5 cos B ? 5 13

2、 【2012 高考真题重庆理 13】 ? A B C 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c , cs 设 且o ,b ? 3 则c ?



【答案】

14 5

1

例 2:已知⊿ABC 中,三个内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若⊿ABC 的面积为 S, 且 2 S ? ( a ? b ) 2 ? c 2 ,求 tanC 的值.

课堂练习: 1、 【2012 高考真题陕西理 9】在 ? A B C 中,角
a ? b ? 2 c ,则 cos C 的最小值为(
2 2 2

A , B , C 所对边长分别为 a , b , c ,若


1 2

A.

3 2

B.

2 2

C.

1 2

D. ?

2、【2012 高考真题湖北理 11】设△ A B C 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c . 若
( a ? b ? c )( a ? b ? c ) ? ab

,则角 C

?



【答案】 【解析】
2? 3

注:在处理三角形中的边角关系时,一般全都化为角的关系,或全部化为边的关系。题中 出现边的一次式可以联想到正弦定理,出现边的二次式可以联想到余弦定理。应用正、 余弦定理时,注意公式的变式的应用。解决三角形问题时,注意角的限制。

例 3:(2011 高考真题江苏)在 ? ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a , b , c (1)若 sin ( A ? (2)若 co s A ?
?
6 1 3 ) ? 2 co s A

,求 A 的值。

, b ? 3 c ,求 sin C 的值。

课堂练习 1、【2012 高考真题天津理 6】在 ? ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a , b , c ,已知 8b=5c,C=2B,则 cosC=
2

(A)

7 25 7 25

(B) ? (D)

7

(C) ? 【答案】A

25 24 25

2、(2011 年高考真题山东)在 ? ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a , b , c ,已知
cos A ? 2 cos C cos B sin C sin A ? 2c ? a b



(1)求

的值;
1 4 , b ? 2 ,求 ? ABC 的面积 S 。

(2)若 co s B ?

注:高考命题贵在知识点综合性强,所以高考在考查解三角形时,不仅考查正、余弦定理 的应用,而且注重与三角函数等其他知识的结合及转化与化归思想的运用。

三、课时小结 正、余弦定理和三角形面积公式是本课的重点,利用三角形内角和、边、 角之间的关系, 三角函数的变形公式去判断三角形的形状,以及利用它们解三角 形。 四、课后作业
1、【2012 高考真题福建理 13】已知△ABC 得三边长成公比为 2 的等比数列,则其最大 角的余弦值为_________. 【答案】 ?
2 4



2、 ? ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所对边长分别为 a 、 b 、 c ,设向量 m ? ( a ? b , sin C ) ,
?

n ? ( 3 a ? c , sin B ? sin A ) ,若 m // n ,则角 B 的大小为 (

) D.
2? 3

A.

5? 6

B.

?
6

C.

?
3

【答案】 3、【2012 高考真题北京理 11】在△ABC 中,若 a =2,b+c=7,cosB= ? 【答案】4 4、【2012 高考真题新课标理 17】(本小题满分 12 分)
3

1 4

,则 b=_______。

已知 a , b , c 分别为 ? A B C 三个内角 A , B , C 的对边, a cos C ? (1)求 A (2)若 a ? 2 , ? A B C 的面积为 3 ;求 b , c .

3 a sin C ? b ? c ? 0

【答案】(1)由正弦定理得:
a cos C ? 3 a sin C ? b ? c ? 0 ? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C

? sin A co s C ? ?

3 sin A sin C ? sin ( a ? C ) ? sin C
?

3 sin A ? co s A ? 1 ? sin ( A ? 3 0 ) ?
? ? ?

1 2

? A ? 30 ? 30 ? A ? 60

(2) S ?
2

1 2

b c sin A ?
2 2

3 ? bc ? 4

a ? b ? c ? 2 bc cos A ? b ? c ? 4

5、【2012 高考真题全国卷理 17】(本小题满分 10 分)(注意:在试卷上作答无效) ........... 三角形 ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 cos(A-C)+cosB=1,a=2c, 求 c. 【答案】

6、【2012 高考真题辽宁理 17】(本小题满分 12 分) 在 ? A B C 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c。角 A,B,C 成等差数列。 (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值。

4

【答案】

7、在△ABC 中,角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,且 1 ? (Ⅰ)求角 A;

tan A tan B

?

2c b



(Ⅱ)若 m ? (0, ? 1) ,n ? co s B , 2 co s 2 C ,试求|m ? n|的最小值.
2

?

?

解:(I) 1 ? 即 ∴

tan A tan B

?

2c b

? 1?

sin A co s B sin B co s A ? 2 sin C sin B

?

2 sin C sin B



sin B co s A ? sin A co s B sin B co s A sin ( A ? B ) sin B co s A ? 2 sin C sin B ? π 3


1 2

,∴ co s A ? .
2



∵ 0 ? A ? π ,∴ A (II)m ? n

? (co s B , 2 co s

C 2

? 1) ? (co s B , co s C ) , 2π 3 ? B) ? 1 ? 1 2 sin ( 2 B ? π 6

? |m ? n| 2 ? co s 2 B ? co s 2 C ? co s 2 B ? co s 2 (

)



∵A

?

π 3

,∴ B

?C ?

2π 3

,∴ B ? (0,

2π 3

)

,且 B ?

?
2



5

从而 ?

π 6

? 2B ? ? π 6

π 6 )

?

7π 6


? π 3

∴当 sin ( 2 B

=1,即 B

时,|m ? n| 取得最小值

2

1 2



6


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