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竞赛讲座(有理数的有关知识)


有理数的有关知识
一、 知识要点 x 的绝对值 x 的意义如下: x = ?

1、绝对值

? x,如果 x ? 0 ?? x,如果 x ? 0

x 是一个非负数,当且仅当 x=0 时, x =0
绝对值的几何意义是:一个数的绝对值表示这个数对应的数轴上的点到原点的距离;由此可得: a ? b 表示数 轴上 a 点到 b 点的距离。 2、倒数 1 除以一个数(零除外)的商,叫做这个数的倒数。如果两个数互为倒数那么这两个数的积等于 1。 3、相反数 绝对值相同而符号相反的两个数互为相反数。两个互为相反数的数的和等于 0。 二、 例题精讲 例 1 化简 2x ? 1 ? x ? 3 ? x ? 6 分析:由 2x+1=0、x-3=0、x-6=0 求出零点,然后用零点分段法将绝对值去掉从而达到化简的目的。 解:由 2x+1=0、x-3=0、x-6=0 分别求得:x= -1/2, x=3, x=6 当x? ? 当?

1 时,原式= -(2x+1)+(x-3) - (x-6)= -2x+2 2

1 ? x ? 3 时,原式= (2x+1)+(x-3) - (x-6)= 2x+4 2 当 3 ? x ? 6 时,原式= (2x+1)-(x-3) - (x-6)= 10

当 x≥6 时,原式= (2x+1)-(x-3) + (x-6)= 2x-2

?? 2 x ? 2, 当x ? ? 1 时 2 ? 2 x ? 4, ? 1 ? x ? 3时 当 2 ? ∴原式= ? 当3 ? x ? 6时 ?10, ? 2x - 2, 当x ? 6时 ?

例 2 已知

2x ? 1 5 ? 3x ?1 ? x ? ,求 x ? 1 ? x ? 3 的最大值和最小值。 3 2 2x ? 1 5 ? 3x 得: 7 ?1 ? x ? x? 3 2 11
-3 0
7 11

分析:先解不等式,求出 x 的范围,然后利用绝对值的几何意义来求最大值和最小值。 解:解不等式

1

x ? 1 ? x ? 3 的几何意义是 x 到 1 的距离与 x 到-3 的距离的差,从上图中可以看出:当 x≤-3 时这差取得最
大值 4,因 x ?

7 ,则当 7 3 x ? 时这差取得最小值 ? 3 . 11 11 11

评注:1、本题是采用数形结合的思想,用绝对值的几何意义来解题。 2、本题求得 x 的范围后,也可用零点分段法将 x ? 1 ? x ? 3 化简,然后求出最大值和最小值。

当x ? ?3时 7 ?1 ? x ? x ? 3 ? ?2 ? 2 x,当 ? 3 ? x ? 11 ? 7 时取得最小值 3 由上式可以看出:当 x≤-3 时取得最大值 4,当 x ? ?3 11 11 ? x ?1 ? x ? 3 = ?

? 1 ? x ? x ? 3 ? 4,

例 3 解方程 x ? x ? 3.1415926 ? y ?

11 ? 2 y ? 7.13 ? 0 8

分析:两个非负数的和是 0,这两个非负数必须都是 0。 解:由原方程得

? x ? x ? 3.1415926? 0 ? 11 ? ? y ? 8 ? 2 y ? 7.13 ? 0 ?

(1) (2)
由(1)得: x ? x ? 3.1415926

从而 x=x-3.1415926 或 x=3.1415926-x,所以 x=1.5707963 由(2)得: y ?

11 ? 2 y ? 7.13 8

从而 y ?

11 ? 2 y ? 7.13 8

或y ?

11 ? 7.13 ? y 8

所以 y=

1701 或 y= 1151 200 600

于是,原方程的解是 ? ?

? x ? 1.5707963 1701 y? ? 200 ?

? x ? 1.5707963 ? ? y ? 1151 ? 600 ?

评注:两个非负数的和是 0,这两个非负数必须都是 0 是解题中常用的一个结论。本题中,求 x ? x ? 3.1415926 中的 x 值也可以用绝对值的几何意义来解, x ? x ? 3.1415926 表示 x 到原点与到 3.1415926 的距离相等,因而 x 是原点与点 3.1415926 连结线段的中点,即 x=1.5707963 例 4 有理数 a, b, c 均不为 0,且 a ? b ? c ? 0. 设 x ?|

|a| |b| | c | 试求代数式 19 ? ? |, x ? 99x ? 2000 之值。 b?c c?a a?b

分析:要求代数式 x19 ? 99x ? 2000 的值,必须求出 x 的值。根据 x 的特征和已知条件,分析 a 与 b+c,b 与 a+c,c 与 a+b 的关系,从而求出 x 的值。 解:由 a, b, c 均不为 0,知 b ? c, c ? a, a ? b 均不为 0. ∵ a ? b ? c ? 0. 即 ∴ a ? ?(b ? c), b ? ?(c ? a), c ? ?(a ? b).

a b c ? ?1, ? ?1, ? ?1, b?c c?a a?b 又 a, b, c 中不能全同号,故必一正二负或一负二正. | a | | b | | c | 中必有两个同号,即其值为两个+1,一个-1 或两个-1,一个+1. 所以 , , b?c c?a a?b |a| |b| |c| |a| |b| |c| ∴ ? ? ? ?1, ∴ x ? ? ? ? 1. b?c c?a a?b b?c c?a a?b 因此, x19 ? 99x ? 2000 ? 1 ? 99 ? 2000 ? 1902 . ab 1 bc 1 ca 1 abc 例 5 已知 a、b、c 为实数,且 求 的值。 ? , ? , ? a?b 3 b?c 4 c?a 5 ab ? bc ? ca
分析:直接对已知条件式进行处理有点困难,根据已知条件式的结构特征,可以将它们两边取倒数。 解:由已知条件可知 a≠0,b≠0,c≠0,对已知三式取倒数得:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 三式相加除以 2 得: ? ? ? 6 , ? ? 3, ? ? 4, ? ? 5 a b b c c a a b c ab ? bc ? ca 1 1 1 abc 1 因为 = . ? ? ? ? 6 ,所以 abc a b c ab ? bc ? ca 6
例 6 求方程 x ? 2 ? x ? 3 ? 1 的实数解的个数。(1991 年祖冲之杯数学邀请赛试题) 分析:1 可以化成: ?x ? 2? ? ?x ? 3? ,于是 x ? 2 ? x ? 3 ? ?x ? 2? ? ?x ? 3? 由绝对值的性质:若 ab≤0,则 a ? b ? a ? b 可得(x-2) (x-3)≤0 从而求得 x.

解:原方程可化为: x ? 2 ? x ? 3 ? ?x ? 2? ? ?x ? 3? 则 (x-2) (x-3)≤0,所以 ?

?x ? 2 ? 0

?x ? 2 ? 0 ,所以 2≤x≤3 或? x?3? 0 x?3? 0 ? ?

因此原方程有无数多个解。

评注:本题很巧妙地将“1”代换成 ?x ? 2? ? ?x ? 3? ,然后可利用绝对值的性质来解题。在解数学竞赛题时,常常 要用到“1”的代换。 例 7 求关于 x 的方程 x ? 2 ? 1 ? a ? 0 解:由原方程得

(0 ? a ? 1) 的所有解的和。

x ? 2 ? 1 ? a ,∴ x ? 2 ? 1 ? ?a

∵0<a<1,∴ x ? 2 ? 1 ? a ,即 x-2=±(1±a), ∴x=2±(1±a), 从而,x1=3+a, x2=3-a, x3=1+a, x4=1-a ∴x1+x2+x3+x4=8,即原方程所有解的和为 8 例 8 已知:

x x2 ? a,且a ? 0,求 4 的值 。 x2 ? x ?1 x ? x2 ?1
1 ,通过将 1 整体处理来求值。 x? x x x? 1 1 1? a ? ?1 ? x a a

分析:直接求值有困难,但我们发现将已知式和待求式倒过来能产生 x ? 解:∵

x x2 ? x ?1 1 ? a,且a ? 0, ? ? x a x2 ? x ?1
2 2 2

即 x ?1?

1 1 ? x a

而 x ? x ? 1 ? x 2 ? 1 ? 1 ? ? x ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? a ? ? 1 ? 1 ? 2a ? ? ? ? 2 2 2
4



x

x

?

x?

? a ?

a

x2 a2 ? x 4 ? x 2 ? 1 1 ? 2a

评注:本题通过将 x ?

1 整体处理来解决问题,整体处理思想是一种常用的数学思想。 x

? 2z 2 x? ? 1? z2 ? 2x 2 ? 例 9 解方程组 ? y ? 1? x2 ? 2 ?z ? 2 y ? 1? y2 ? ?2 1 ? ? 1? 2 z ?x 1 ?2 ? ? 1? 2 x ?y ?2 ? 1? 1 ?z y2 ?

解:观察得,x=y=z=0 为方程组的一组解。当 xyz≠0 时,将原方程组各方程两边取倒

(1) (2) (3)
2 2 2

数得:

(1)+(2)+(3)得:

2 2 2 1 1 1 ? ? ? 3? 2 ? 2 ? 2 x y z z x y

∴ 1 ? 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? 1 ? 1? ? ? 1 ? 1? ? ? 1 ? 1? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? x2 y2 z2 x y z ?x ? ?y ? ?z ?

1 1 1 ∴ ?1 ? ?1 ? ?1 ? 0 x y z

∴x=y=z=1

?x ? 0 ? 故原方程组的解为: ? y ? 0 ?z ? 0 ?

?x ? 1 ? 或 ?y ? 1 ?z ? 1 ?

评注:本题在对方程组中的方程两边取倒数时,不能忘了 x=y=z=0 这组解。否则就会产生漏解。

有理数的有关知识巩固练习 1、若 a
2

a ? 1,则 的值是 ( a

) A、1

B、-1

C、1 或-1

D、以上都不对

2、方程 x ? 2 ? x ? 3 ? 1 的解的个数是( 3、下面有 4 个命题:

)

A、0

B、1

C、2

D、3

E、多于 3 个

①存在且只存在一个正整数和它的相反数相同。②存在且只存在一个有理数和它的相反数相同。 ③存在且只存在一个正整数和它的倒数相同。 ④存在并且只存在一个有理数和它的倒数相同。 其中正确的命题是:( ) (A)①和② (B)②和③ ) (C)③和④ (D)④和①

4、两个质数的和是 49,则这两个质数的倒数和是( A、

94 49
15

B、
13

49 94
11

C、

86 45

D、

45 86
)

5、设 y=ax +bx +cx -5(a、b、c 为常数),已知当 x=7 时,y=7,则 x= -7 时,y 的值等于( A、-7 B、-17 C、17 D、不确定

6、若 a、c、d 是整数,b 是正整数,且满足 a+b=c,b+c=d,c+d=a,则 a+b+c+d 的最大值是( A、-1 B、0 C、1 D、-5

)

7、设 a<0,且 x≤

a , 则 x ?1 ? x ? 2 = a

8、a、b 是数轴上两个点,且满足 a≤b。点 x 到 a 的距离是 x 到 b 的距离的 2 倍,则 x= 9、 若 a ? 6 与?m ? 3?2 互为相反数,则 a m ? 10、计算: . .

1 1 1 1 ? ? ??? ? 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 100

11、若 a 是有理数,则 (?a)? | a | ? | ?a | ?(? | a |) 的最小值是___. 12、有理数 a, b, c 在数轴上的位置如图所示,化简

| a ? b | ? | b ? 1 | ? | a ? c | ? | 1 ? c |? _____.
13、化简: x ? 5 ? 2x ? 3 . 14、已知 ?2a ? 1?2 ? b ? 1 ? 0,求? 1 ? ? ? 1 ? ? ? ? ?
2 2002

.

?a?

?b?

15、若 abc≠0,求

a b c ? ? 的所有可能的值. a b c
100 95 的最小值。 ? x? 221 221

16、x 是有理数,求 x ?

17、已知 a、b 互为相反数,c、d 互为倒数,x 的绝对值为 1,求 a+b+x 2-cdx 的值。 18、求满足 ab ? a ? b ? 1 的所有整数对(a,b). 19、若 2x ? 4 ? 5x ? 1 ? 3x ? 6 的值恒为常数,求 x 的取值范围及此常数的值。 20、已知方程 x ? ax ? 1 有一个负根而没有正根,求 a 的取值范围。

有理数的有关知识巩固练习 1、选 C

答案

2、 x ? 2 ? x ? 3 ? 1 表示 x 到 2 与 3 的距离和等于 1,可见 x 在这两点之间(包括这两点),所以方程的解是 2≤x ≤3 的所有数,故应选 E 3、既然只有零和它的相反数相同,所以①不正确,②是正确的,另外 1 与-1 都等于其倒数,因此④不正确,③是 正确的。所以选择 B。 4、两个质数的和是 49,则这两个质数必是 2 和 47,

5、∵x=7 时,y=7,∴a?715+b?713+c?711-5=7,∴a?715+b?713+c?711=12 则 x= -7 时,y=a (-7)15+b (-7)13+c (-7)11-5= -( a?715+b?713+c?711)-5= -12-5= -17,选 B 6、∵a+b=c,c+d=a,∴b=c-a,d=a-c,∴d= -b ∵b+c=d,∴c=d-b=-2b,由 c+d=a,∴a=-3b ∴a+b+c+d= a+c=-3b-2b=-5b,∵b 是正整数 ,∴-5b 的最大值是-5,选 D 7、∵a<0,∴

1 1 49 ? ? 2 47 94

选B

a ? ?1 ,∴x≤-1, a

则 x ? 1 ? x ? 2 ? ??x ? 1? ? ?2 ? x? ? ?x ? 1 ? 2 ? x ? -3 8、由题意得: x ? a ? 2 x ? b ,所以 x-a=2(x-b) 或 x-a= -2(x-b) 解得: x ? 2b ? a或x ?

2b ? a 3

9、∵ a ? 6 与?m ? 3?2 互为相反数,∴ a ? 6 ? ?m ? 3?2 =0,则 a+6=0 且 m-3=0 ∴a=-6,m=3, ∴ a m ? (-6)3= -216 10、原式= ?1 ? 2? ? 2 ? ?1 ? 3? ? 3 ? ? ? ?1 ? 100? ? 100

1

1

1

2
?

2

2

2 2 2 ? ??? 2 ? 3 3? 4 100? 101 1 1 ? ?1 1 1 1 ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? 100 101? ?2 3 3 4 1 ? 2 99 ?1 ? 2? ? ? ? ? 1? 101 101 ? 2 101? 11、若 a ? 0, 则 (?a)? | a | ? | ?a | ?(? | a |) =0 若 a <0,则 (?a)? | a | ? | ?a | ?(? | a |) ? ?2a >0.所以 (?a)? | a | ? | ?a | ?(? | a |) 的最小值是 0. 12、由图可见, a?0, b?0 ? a ? b?0, ?| a ? b |? ?(a ? b), 又 b?0?1 ? b ? 1?0 ?| b ? 1 |? ?(b ? 1) ; a?0?c ? a ? c?0 ?| a ? c |? ?(a ? c) 由图可知 c?1 ? 1 ? c? 0 ?| 1 ? c |? 1 ? c. 所以: | a ? b | ? | b ? 1 | ? | a ? c | ? | 1 ? c |? ?(a ? b) ? ?? (b ? 1)? ? ?? (a ? c)? ? (1 ? c)
? ?(a ? b) ? (b ? 1) ? (a ? c) ? (1 ? c) ? ?a ? b ? b ? 1 ? a ? c ? 1 ? c ? ?2.
13、由 x+5=0 得 x= -5,由 2x-3=0 得 x=3/2 所以,当 x<-5 时,原式= -(x+5)-(2x-3)=-3x-2 当?5 ? x ? 当x?

3 x<-5 时,原式= (x+5)-(2x-3)=-x+8 2

3 时,原式= (x+5)+(2x-3)=3x+2 2

? ? ? 3x ? 2, ( x ? ?5) ? 3 即原式= ?? x ? 8, (?5 ? x ? ) ? 2 ? 3 ? 3x ? 2, ( x ? ) ? 2 ?
14、由题意得:2a-1=0 且 b+1=0,所以 a=1/2,b= -1 则? 1 ? ? ? 1? ? ? ? ?
2 2002

?a?

?b?

? 2 2 ? (-1)2002 ? 4 ? 1 ? 5

15、∵abc≠0,∴a、b、c 均不等于 0。 ① 若 a、b、c 均为正,则

a b c a b c ? ? ? ? ? ?3 a b c a b c

② 若 a、b、c 中仅有一个为正,不妨设 a>0,b<0,c<0,则

a b c a b c ? ? ? ? ? ? ?1 a b c a ?b ?c
③ 若 a、b、c 中有二个为正,不妨设 a>0,b>0,c<0,则

a b c a b c ? ? ? ? ? ?1 a b c a b ?c
④ 若 a、b、c 均为负,则

a b c a b c ? ? ? ? ? ? ?3 a b c ?a ?b ?c



a b c ? ? 有四种可能的不同取值:±1,±3 a b c

16、分三种情况讨论:

95 时, 100 95 |x? |?|x? | 221 221 221 100 ? 95 ? 5 95 5 195 15 ? ?( x ? ) ? ?? ( x ? )? ? ?2 x ? ? (?2) ? (? )? ? ? . 221 ? 22 ? 221 221 221 221 17 95 100 时, 100 95 (2) 当 ? ?x? |x? |?|x? | 221 221 221 221 100 95 195 15 ? ?( x ? ) ? (x ? )? ? . 221 221 221 17 100 时, (3)当 x? 221 100 95 100 95 5 100 5 195 15 | x? |?|x? |? ( x ? ) ? (x ? ) ? 2x ? ?2 ? ? ? ? . 221 221 221 221 221 221 221 221 17 15 综合(1),(2),(3),可得,最小值是 . 17
(1) 当 x ?? 17、∵a、b 互为相反数,c、d 互为倒数,x 的绝对值为 1 ∴a+b=0,cd=1,x=±1 ∴当 x=1 时,原式=0+1-1?1=0 当 x= -1 时,原式=0+1-1?(-1)=2 18、∵ ab ≥0, a ? b ≥0,且 a,b 为整数, ∴ ab =0 且 a ? b =1 ①,或 ab =1 且 a ? b =0 ②,

由①得 ? ?

?a ? 0 ? ?b ? 0 ?a?0 或? 或? ?b ? ?1 ?b ? 1 ?a ? 1 ? ?

?b?0 或? ?a ? ?1

由②得 ?

? a ?1 ? a ? ?1 或? ? b ?1 ?b ? ?1

所以,满足条件的所有整数对是(0,1)、(0,-1)、(1,0)、(-1,0)、(1,-1)、(-1,1). 19、要使 2x ? 4 ? 5x ? 1 ? 3x ? 6 的值恒为常数,必须使得 2x ? 4 ? 5x ? 1 ? 3x ? 6 的值与 x 无关,即要使得去掉绝对值后的 x 项相互合并为 0,所以应该有 4-5x≥0,1-3x≤0, ∴

1 4 ? x ? ,此时 3 5

2x ? 4 ? 5x ? 1 ? 3x ? 6 =2x+4-5x+3x-1+6=9
20、∵方程有一个负根,则有 -x=ax+1,即 (a+1)x= -1 ∴有 x ? ?

1 ? 0 ,∴a>-1 a ?1 1 ? 0 ,∴a<1,从而方程没有正根应 a≥1 a ?1

假设方程有正根,则有 x=ax+1,即 (a-1)x= -1 ∴有 x ? ?

所以方程 x ? ax ? 1 有一个负根而没有正根时,a 的取值范围为 a≥1


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