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一道离心率高考题的探解与寻源


▲蚺≮
多题目

率高考题的探解与寻源
张培强

(2014年湖北理科卷第9题)已

号,恰是一个特殊的焦点三角形.

知F。,F:是椭圆和双曲线的公共焦点,P是

它们的一个公共点,且么F,PFz一号,则椭圆
和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为

r />( )

有c。s鸽PR一虹篆蓑篙竽
解法2

在△Fl PF2中,由余弦定理,

一丢,化简得,口i+3口;一4c2,所以(警)2+
3(警)2孔
设堕一2c。。口,丝一呈sin口,则生+丝
c c

A.竽B.学C.3
々一、思路解答
思路l 点三角形

D.2

q3





从条件出发,利用定义确定焦

2c。s口+去sin a一去c。s(a一詈),所以当a一
詈时,警+警有最大值去,即竽.故选A.
评注 在椭圆(双曲线)的焦点三角形 已知一角的情况下,常利用余弦定理将三边 联系起来.将离心率的倒数整体看待,问题 变成:已知z2+3y2—4,求z+y的最大值. 三角换元化为三角函数的最值.实际上,这 是一个在椭圆约束下的线性目标函数的最 值问题,也可用“线性规划”来做. 解法3
一4.

分别将椭圆和双曲线的定义作用于 △F。PF。的两边,获得二元一次方程组,即 可解出PF,,PF:.由此,两曲线的特征值便 在此三角形中,离心率便也寓于其中了.可

设l F。F:l一2f,椭圆的长轴长为2口。,双曲线
的实轴长为2n:.不妨设点P在第一象限.在

椭圆中,l PF。I+j PF。l一2口。;在双曲线中, PF。I—I PF:I一2口2.所以l PFl l一日。+
口2,l
PFz

l—al—a2. 在△F。PF:中,由正弦定理,

解法1

同解法2可得(睾)。+3(睾)。

伺口;丁丌一面『Z丽‘
古I
PFl

l—sin么PF2F1

和警+警一矧一半≤去一 3(扪≥l?×}+去×华卜且仅当
所以椭圆和双曲线的离心率的倒数之

由柯西不等式,(1+÷)[(警)。+

半.故选A.
评注 注意到所求恰可化为△F。PF。 的两边之比,又其中一边对角已知,典型的 正弦定理应用模型.取到最值时,么PF2F,一

口。一3n:时,取“一”,即堕+丝≤圭.故选A.
‘ ‘

√3

评注

所得关系与所求式子是二元的

二次与一次,但存在着系数上的差异,因此 可用柯西不等式进行调整.
New University Entrance Examination

23

万方数据

『新矗看数学

思路2从结果出发。转换问题为二元 最值问题 考虑到椭圆和双曲线的离心率P,,P:满 PF2中,用余弦

如图1,F,,F。是椭圆c,:等+y2—1与双曲
线C:的公共焦点,A,B分别是C。,C:在第 二、四象限的公共点,若四边形AF。BF2为
矩形,则C:的离心率是
IV

足去+去一矧,在△Fl
一埘2+以2一m订.
\自 晚/





定理可得I PF。l与l F。F:l的关系,因此所求 可看成是二元最值问题.可设1 PF。I—m, PF。I一,2,l F。F。l一2c,由余弦定理得,4c2



\乡—一

解法4(去+去)2一芋一磊熹
c。

业V/j 艾二 夼、 \ /
图l

尔\ =X



m。十咒。一m押

,所以当旦一罢时,土+土
7咒 Z P1 P’

A.拉

B.万

c.号

D.雩

有最大值√萼.故选A.
评注 目标函数是二元的,条件却是
AFl

懈析

由题意知,么FlAF2一号,易得
AF2

l一2一口,l

I一2+n,(其中,以为G

三元.将c代换掉,貌似又添加了一元,然而 整体看待能够实现减元. 解法5 将以2一m咒+埘2—4f2一。看

的实半轴长).则(2一日)2+(2+n)2—12,解得,口

钔删G脯心率《一雩澈选D.
★三、推广结论
推广 已知F。,F。是椭圆和双曲线的 公共焦点,P是它们的一个公共点,且

成关于挖的方程有解,所以△一m2—4(m2— 4f2)≥O,即16f2≥3m2,所以上+上一丝≤
91 e2 C

√3

圭.故选A.
评注 将条件等式看成第三元的方

么F。PF:一目,则椭圆和双曲线的离心率的倒


程,巧妙地消去了无关变元.当然,也可以从 结果出发.设所求为£,代人条件等式,那么 所求£就出现在方程的参数位置. 解法6

数之和的最大值为÷b.
S儿l口

证明

同解法1,略.

有4cz—mz+以z—m行一学+

事实上,其中还包含了一个定值结论:

(押一号)。≥等,当且仅当m一2以时,取“一",
即16。z≥3mz,所以上+土一丝≤叁.故选A. √3
gl £2 c

(1一cos口)f堕1‘+(1+cos口)f丝1。一2,说
\C,
\C ,

明共焦点的椭圆和双曲线的离心率的关系 由么F,PF:来确定.这才是最为本质之处. 命题 已知F,,F:是椭圆和双曲线的

评注

余弦定理的结果形式给了我们

配方的冲动,将无关变元置于完全平方中, 利用整体的非负性消去.

公共焦点,P是它们的一个公共点,且

☆二、类题比照

8:满足L]掣+掣一2.
Pi P;

么F。PF。一口,则椭圆和双曲线的离心率g。,

以此为基础,还可以编制出更多的新

■类题1
2●

(2013年浙江理科卷第9题)

题,有兴趣的读者可尝试编制与解答.

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