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山西省忻州一中 长治二中 临汾一中 康杰中学2013-2014学年高三第四次四校联考数学试题(理科)A卷


试题类型:A

山西省忻州一中

长治二中

临汾一中

康杰中学 2013-2014 学

年高三第四次四校联考数 学 试 题 ( 理 科 ) A 卷
命题: 康杰中学 临汾一中 长治二中 忻州一中 【满分 150 分,考试时间 120 分】 一、选择题(5×12=60

分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正 确选项用 2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号) 1.集合 A={x|x2-2x>0},B={y|y= 2 x,x>0},R 是实数集,则(CRB)∪A 等于( A.R B.(-∞,0)∪1,+∞) C.(0,1 D.(-∞,1∪(2,+∞) ) )

2. 已知 z 是复数 z 的共轭复数, z+ z + z ·z =0,则复数 z 在复平面内对应的点的轨迹是( A.圆 3.设公比 q ? B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 ( )

1 S 的等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,则 4 ? 2 a3
B.

A.

15 2

15 4

C.

7 2

D.

7 4

4.命题 p:?x?R,sinx-cosx< 2 命题 q: “a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的充分条件 则下列命题中,真命题是 A.(?q)?p B.p?q C.(?p)?(?q) D.(?p)? (?q) 5.某一个班全体学生参加物理测试,成绩的频率 频率 分布直方图如图,则该班的平均分估计是 组距 A.70 B.75 C.68 D.66 0.02 0.015 6. 在长为 8 的线段 AB 上任取一点 C, 现作一矩形, 0.01 邻边长分别等于 AC、BC 的长,则该矩形面积大于 0.005 15 的概率 ( ) 1 A. 6 1 B. 4 2 C. 3 4 D. 5 20 40 60 80 100 成绩/分

7.右图给出了一个程序框图,其作用是输入 x 的值, 出相应的 y 值.若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等, 这样的 x 值有 A.1 个 ( ) C.3 个 D.4 个

开始
输入 x

输 则

B.2 个

x>5? 否 是
x>2?

8.把函数 f(x)=sin2x-2sinxcosx+3cos2x 的图像沿 x 轴向 平移 m(m>0)个单位,所得函数 g(x)的图像关于直线 x=

否 y=x3

左 ? 对 8

是 y=lnx+5
1 y= x

-1输出 y

结束

称,则 m 的最小值为 A.

( C.



? 4

B.

? 3

? 2

D.

3? 4
则这个几何体的体积是
1

9.已知一个几何体的三视图如图所示, ( ) 2 23 A. 3 11 C. 3 23 B. 6 10 D. 3 2 正 视 图 2 2 俯 视 图 2 侧 视 图

1

10. 已知四边形 ABCD, ?BAD=120?, ?BCD=60?, AB=AD=2, 则 AC 的最大值为 ( 4 3 A. 3 B.4 8 3 C. 3 D.8



x2 y2 11.已知双曲线 2 ? 2=1(a>0,b>0),右焦点 F 到渐近线的距离小于等于 a,则该双曲线离心率 a b 的取值范围为( A. )

?

2, ??

?

B. ? 2, ??

?

?

C. (1, 2]

D. 1, 2

?

?
)

12.若 f(x)满足 x2f ?(x)—2xf(x)=x3ex,f(2)= —2e 2.则 x>0 时,f(x) ( A.有极大值,无极小值 B.有极小值,无极大值 C.既有极大值,又有极小值 D.既无极大值,也无极小值

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题纸的相应位置上) 1 6 13.(2x+ x) 展开式中的常数项等于________ → → → → 14.?ABC 中,|CB|cos?ACB=|BA|cos?CAB= 3,且AB· BC=0,则 AB 长为 15.已知直线 x+y+2a-b=0(b?R,0≤a≤2)与圆 x +y =2 有交点,则 a+b 的最大值为 16.四棱锥 P-ABCD 底面是一个棱长为 2 的菱形,且?DAB=60?,各侧面和底面所成角均为 60 ?,则此棱锥内切球体积为 三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答写 在答卷纸的相应位置上) 17.在等差数列{an}中,a1=3,其前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1,公比 S2 为 q,且 b2+S2=12, q= . b2
2 2

_

-2-

(1)求 an 与 bn; 1 1 1 (2)求 + +…+ 的取值范围. S1 S2 Sn

18.为了普及环保知识增强环保意识,某校从理工类专业甲班抽取 60 人,从文史类乙班抽取 50 人参加环保知识测试 ⑴ 根据题目条件完成下面 2× 2 列联表,并据此判断你是否有 99%的把握认为环保知识与专业 有关 优秀 甲班 乙班 总计 60 30 非优秀 总计

⑵为参加上级举办的环保知识竞赛,学校举办预选赛,预选赛答卷满分 100 分,优秀的同学 得 60 分以上通过预选,非优秀的同学得 80 分以上通过预选,若每位同学得 60 分以上的概率 1 1 为 ,得 80 分以上的概率为 ,现已知甲班有 3 人参加预选赛,其中 1 人为优秀学生,若随机 2 3 变量 X 表示甲班通过预选的人数,求 X 的分布列及期望 E(X). 附: k2= n(ad-bc)2 , n=a+b+c+d (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 0.100 2.706 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879

P(K2>k0) k0

19. (本题满分12分) 如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是矩形,侧面 PAD → → → ⊥ 底 面 ABCD , 在 ?PAD 中 PA + PD =2 PE , 且 AD=2PE (1)求证:平面 PAB⊥平面 PCD; (2)如果 AB=BC,?PAD=60?,求 DC 与平面 PBE 的正弦值

P A B D
A

E
A

C

|DM| 2 20.已知点 P 在圆 x2+y2=1 上运动,DP⊥ y 轴,垂足为 D,点 M 在线段 DP 上,且 |DP| = 2 (Ⅰ)求点 M 的轨迹方程; → → (Ⅱ)直线 l 与 y 轴交于点 Q(0,m)(m≠0),与点 M 的轨迹交于相异的两点 A,B,且AQ=λQB, → → → 若OA+λOB=4OQ.求 m 的取值范围.

21.已知函数 f ( x) ? e x ( e 为自然对数的底) , g ( x) ? ln( f ( x) ? a) ( a 为常数) , g ( x) 是实数

-3-

集 R 上的奇函数. ⑴ 求证: f ( x) ? x ? 1 ( x ? R ) ; ⑵ 讨论关于 x 的方程: ln g ( x) ? g ( x) ? ( x2 ? 2ex ? m) ( m ? R ) 的根的个数;

试题类型:A 请考生在(22).(23).(24)三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记分.作 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,已知 PA 与圆 O 相切于点 A,经过点 O 的割线 PBC 交圆 O 于点 B、C,∠APC 的平分 线分别交 AB、AC 于点 D、E, E (Ⅰ)证明:∠ADE=∠AED; PC (Ⅱ)若 AC=AP,求 的值。 PA 23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 C O D B P A

?x= 22t 已知直线 l 的参数方程是? 2 ?y= 2 t+4
(1)求圆心 C 的直角坐标;

2

? (t 是参数),圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cos(θ+ ). 4

(2)由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a2+b2=1, c2+d2=1. (1)求证 ab+cd≤1 (2)求 a+ 3b 的取值范围.

-4-

2013-2014 学 年 第 四 次 四 校 联 考

数学试题答案(理)A 卷
命题: 康杰中学 临汾一中 长治二中 忻州一中 【满分 150 分,考试时间 120 分】 一、选择题 D A AD C 【答案】 二、填空题: 13.60 三、解答题 17.解: (1)设{an}的公差为 d, S2 ∵b2+S2=12, q= b2
?q+6+d=12 ∴?q2=6+d ,解得 q=3 或 q=-4(舍),d=3. ?

B DAD B C B

14. 6

15.8

? 16.6

故 an=3n,bn=3n-1 n(3+3n) 3n(n+1) 1 2 21 1 (2)Sn= = ,∴ = = ( ) 2 2 Sn 3n(n+1) 3 n n+1 1 1 1 2 1 11 1 1 2 1 ∴ + +…+ = (1- + - +?+ )= (1) S1 S 2 Sn 3 2 2 3 n n+1 3 n+1 1 1 1 1 ∵n≥1,∴0< ≤ , ≤1<1 n+1 2 2 n+1 1 2 1 2 ∴ ≤ (1)< , 3 3 n+1 3 1 1 1 1 2 即 ≤ + +…+ < 3 S1 S2 Sn 3 18.解(1)2× 2 列联表如下 优秀 甲班 乙班 总计
2 2

?????4 分

?????8 分

?????12 分

非优秀 20 30 50

总计 60 50 110

40 20 60

n ? ad ? bc ? 由K ? 算得, ? a ? b ?? c ? d ?? a ? c ?? b ? d ?

110 ? ? 40 ? 30 ? 20 ? 20 ? K ? ? 7.8 ? 6.635 ,所以有 99%的把握认为环保知识与专业有关 60 ? 50 ? 60 ? 50
2 2

-5-

(4 分) (2)不妨设 3 名同学为小王,小张,小李且小王为优秀,记事件 M,N,R 分别表示小王,小张, 1 1 小李通过预选,则 P(M)= , P(N)=P(R)= 2 3 ∴随机变量 X 的取值为 0,1,2,3 (5 分) (6 分)

1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 所以 P(x=0)=P(M ?N ?R ? )= × × = , P(x=1)=P(MN ?R ? +M ? NR ? +M ?N ? R)= × × + × × + × × 2 3 3 9 2 3 3 2 3 3 2 3 1 4 1 2 1 1 2 1 1 1 1 5 1 = , P(x=2)=P(MNR ? +M ? NR+MN ? R)= × × + × × + × × = , P(x=3)=P(MNR)= × 3 9 2 3 3 2 3 3 2 3 3 18 2 1 1 1 × = 3 3 18 所以随机变量 X 的分布列为: X P 0 2 9 1 4 9 2 5 18 (12 分) 3 1 18 (10 分)

2 4 5 1 7 E(X) =0× +1× +2× +3× = 9 9 18 18 6 19.解: (1)∵四棱锥 P-ABCD 的底面是矩形 所以 CD⊥ AD, 又∵侧面 PAD⊥ 底面 ABCD,且侧面 PAD∩底面 ABCD=AD, 所以 CD⊥ PA, → → → 因为在?PAD 中,PA+PD=2PE,且 AD=2PE 所以 PD⊥ PA 而 CD∩PD=D 所以 PA⊥ 平面 PCD, ∵PA?平面 PAB 所以平面 PAB⊥平面 PCD……………………………………4 分 (2)如图,以 AB 为 x 轴,AD 为 y 轴建立空间直角坐标系 A-XYZ, 设 AB=4, 则 A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,4,0),D(0,4,0)E(0,2,0) 在 Rt?APD 中 AD=4, ?PAD=60?,∴P(0,1, 3) ……………6 分 → → ∴BP=(-4,1, 3),BE=(-4,2,0) → 设平面 PBE 的一个法向量为 n =(x,y,z) → ?→ ?-4x+y+ 3z=0 n· BP=0 由? ,得? . 令 y=2 得 →→ ?-4x+2y=0 ?n· BE=0 2 3 2 3 → x=1,z= ,∴ n =(1,2, )…………10 分 3 3

z P A
-6-

E
A

D
A

y

B x

C

→ 而DC=(4,0,0), → → DC· n 57 → → ∴cos<DC, n >= = 19 → → |DC|· |n| ∴DC 与平面 PBE 的正弦值为 57 ……………12 分 19

20.解: (Ⅰ)设 M(x,y),P(x0,y0),

? ?x = 2 2 则?x0 ? ?y=y0
?x = 2x 得? 0 ?y0=y

又 P(x0,y0)在圆 x2+y2=1 上 ∴y2+2x2=1 ∴点 M 的轨迹方程为 y2+2x2=1 ………4 分 (Ⅱ)设直线 l 与点 M 的轨迹交于相异的两点 A(x1,y1,B(x2,y2).把 y=kx+m 代入 y2+2x2=1 得 (k2+2)x2+2kmx+m2-1=0,∴?=4(k2-2m2+2)>0 ………6 分 x1+x2 = -2km m2-1 , x1?x2= 2 2 k +2 k +2

→ → → → → ∵AQ=λQB,∴OA+λOB=(1+λ)OQ, → → → → → 又OA+λOB=4OQ.∴λ=3,即AQ=3QB, ∴x1=-3x2, ………8 分 -2km
2 2 2

? ?x +x k +2 m -1 得 4k m +2m -k -2=0 由? x ?x k +2 ? ?x = -3x
1 2= 2 2 2 2 1 1 2= 2

………10 分

当 m2=

1 3 时,4k2m2+2m2-k2-2= - <0,不合题意 4 2

1 1 2-2m2 2-2m2 1 2 2 2 当 m2≠ 时,k2= 2 ,由①得 k >2m -2,∴ 2 >2m -2,解得 m?(-1,- )∪( ,1) 4 4m -1 4m -1 2 2 1 1 ∴m 的取值范围为(-1,- )∪( ,1) 2 2 ………12 分

21.⑴ 证明:设 F ( x) ? f ( x) ? x ? 1 ,则 F '( x) ? e x ? 1 , ∵当 x ? (??,0) 时, F '( x) ? 0 ,当 x ? (0, ??) 时, F '( x) ? 0 ,∴F(x)min=F(0)=0 ∴F(x)?0,即 f ( x) ? x ? 1 ; ………6 分 ⑵ 解:∵ g ( x) 是实数集 R 上的奇函数,∴ a ? 0 , g ( x) ? x , ∴方程为 ln x ? x ? ( x2 ? 2ex ? m) ,即

ln x ? x2 ? 2ex ? m . x

-7-

ln x 1 ? ln x ,则由 h '( x) ? ………8 分 ? 0 得,x=e, x x2 又∵当 x ? (0, e) 时, h '( x) ? 0 ,当 x ? (e, ??) 时, h '( x) ? 0 ,
设 h( x) ? ∴ h( x) ? h(e) ? , 设 l ( x) ? x2 ? 2ex ? m ,则 l ( x) ? e2 ? 2e2 ? m ? m ? e2 ,………10 分 ∴① 当 m ? e2 ? 时,原方程无解;

1 e

1 e

1 e 1 ③ 当 m ? e2 ? 时,方程有两根; e

② 当 m ? e2 ? 时,方程有且只有一根 x ? e ; ………12 分

请考生在(22).(23).(24)三题中任选一题作答,如果多答,则按做的第一题记分.作 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. 22.解:(1)∵PA 是切线,AB 是弦,∴∠BAP=∠C 又∵∠APD=∠CPE,∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE. ∵∠ADE=∠BAP+∠APD, ∠AED=∠C+∠CPE. ∴∠ADE=∠AED ?????5 分

PC AC (2)由(1)知∠BAP=∠C,又∠APC=∠BPA,∴?APC∽?BPA, = , PA AB ∵AC=AP, ∠BAP=∠C=∠APC, 由三角形的内角和定理知:∠C+∠APC+∠PAC=180?, ∵BC 是圆 O 的直径,∴∠BAC=90?,∴∠C+∠APC+∠BAP=90?,∴∠C=∠APC=∠BAP=30?, 在 Rt?ABC 中, AC PC = 3,∴ = 3 AB PA ?????10 分

? 23.解:(1)∵ρ =2cos(θ + ) 4 ∴ρ = 2 cosθ - 2sinθ ,∴ρ = 2ρ cosθ - 2ρ sinθ ∴圆 C 的直角坐标方程为 x +y - 2x+ 2y=0 ∴圆心 C 的直角坐标为( 2 2 ,) 2 2
2 2 2

????(2 分) ????(3 分) ????(5 分)

(2)法一: 由直线 l 上的点向圆 C 引切线长为 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 t- ) +( t+ +4 2) -1= t +8t+40= (t+4) +24≥2 6, 2 2 2 2 ????(10 分) ????(6 分)

∴直线 l 上的点向圆 C 引切线长的最小值为 2 6 法二:直线 l 的普通方程为 x-y+4 2=0,

-8-

|
圆心 C 到 直线l 距离是

2 2 ? ?4 2| 2 2 ? 5, 2

????(8 分)

∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值是 52 ? 12 ? 2 6 24.解: (1)∵a2+b2≥2ab, c2+d2≥2cd ∴a2+b2+c2+d2≥2(ab+cd), 当且仅当 a=b=c=d= 又∵a2+b2=1, c2+d2=1 ∴2(ab+cd)≤2 ∴ab+cd≤1 → → (2)设 m =(a,b), n =(1, 3), →→ → → ∵| m ? n |≤| m |?| n |, ∴|a+ 3b|≤2 a2+b2=2 ∴-2≤a+ 3b≤2 ∴a+ 3b 的取值范围为-2,2 2 时取“=” 2

????(10 分)

????(2 分)

????(4 分) ????(5 分)

????(8 分)

????(10 分)

-9-


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