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高中北师大版数学选修4-4教案:1.6圆锥曲线统一的极坐标方程


第六课时 方程 一、教学目的: 圆锥曲线统一的极坐标 知识目标:进一步学习在极坐标系求曲线方程 能力目标:求出并掌握圆锥曲线的极坐标方程 德育目标:通过观察、探索、发现的创造性过程,培养创新意识。 二重难点:教学重点:圆锥曲线极坐标方程的统一形式 教学难点:方程中字母的几何意义 三、教学方法:启发、诱导发现教学. 四、教学过程: (一) 、复习引入: 1、问题情境 情境 1:

直线与圆在极坐标系下都有确定的方程,我们熟悉的圆锥曲线呢? 情境 2:按通常情况化直角坐标方程为极坐标方程会得到让人满意的结果吗? 2、学生回顾 (1) .求曲线方程的方程的步骤 (2) .两种坐标互化前提和公式 (3) .圆锥曲线统一定义 (二) 、讲解新课: 1、由必修课的学习我们已经知道:与一个定点的距离和一条定直线(定点不 在定直线上)的距离的比等于常数 e 的点的轨迹,当 e=1 时,是抛物线。那么 当 0<e<1 及 e>1 时,点的轨迹是什么曲线呢?可以借助极坐标系进行讨论。 2、圆锥曲线的统一方程 设定点的距离为 P ,求到定点到定点和定直线的距离之比为常数 e 的点 的轨迹的极坐标方程。分析:①建系 ②设点 ③列出等式 ④用极坐标 ? 、 ? 表示上述等式,并化简得极坐标方程 说明:⑴为便于表示距离,取 F 为极点,垂直于定直线 l 的方向为极轴的 正方向。 ⑵ e 表示离心率, P 表示焦点到准线距离。 学生根据分析求出圆锥曲线的统一方程, ? ? 1?eep cos ? 化为直角坐标方程为 ep ? ? 3、圆锥曲线的统一方程, 1?e cos ? (1 ? e ) x ? y ? 2e px ? e 2 2 2 2 2 p 2 ,由此可由 e 与 0 和 1 的大小关系确定曲线形状。 4、思考交流:学生讨论交流课本 P18 页的问题:当 0<e<1 时,方程(1) 表示了什么曲线?角 ? 在什么范围内变化即可得到曲线上所有的点?当 e>1 时,方程(1)表示了什么曲线?角 ? 在什么范围内变化即可得到曲线上所有 的点? 2、例题讲解 例题:2003 年 10 月 15—17 日,我国自主研制的神舟五号载人航天飞船成 功发射并按预定方案安全、 准确的返回地球,它的运行轨道先是以地球中心为 一个焦点的椭圆,椭圆的近地点(离地面最近的点)和远地点(离地面最远的 点)距离地面分别为 200km 和 350km,然后进入距地面约 343km 的圆形轨道。 若地球半径取 6378km,试写出神舟五号航天飞船运行的椭圆轨道的极坐标方 程。 变式训练 已知抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点为 F 。 (1)以 F 为极点, x 轴正方向为极轴的正方向,写出此抛物线的极坐标 方程; (2)过取 F 作直线 l 交抛物线于 A、B 两点,若|AB|=16,运用抛物线的 极坐标方程,求直线 l 的倾斜角。 (三)、巩固练习:从极点 O 作圆 C:?=8cos ? 的弦 ON,求 ON 的中点 M 的轨迹 方程。 答案:?=4cos ? (四) 、小结:本课学习了以下内容:1、我们推导了圆锥曲线统一的极坐标方 程,体会和掌握了求曲线的极坐标方程的方法步骤。 2、把圆锥曲线统一的极 坐标方程化为了直角坐标方程, 从而判断了曲线形状, 强化了互化公式的应用。 3、进一步理解和掌握了圆锥曲线统一的定义。 (五) 、作业:课本 P19 页 A 组中 8、9、10 五、教学反思: B 组中 2

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