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第二章 函数


第二章 函数 先行组织者材料:1.解释函数的定义与函数的三要素。 (1)函数的定义: 设 A、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则 f ,对于集合 A 中的每一个数 x , 在集合 B 中都有唯一确定的数和它对应,那么这样的对应叫做从 A 到 B 的一个函数,通常 记为 y ? f ( x), x ? A (2)函数的定义域、值域 在函数 y ? f ( x), x ? A

中, x 叫做自变量, x 的取值范围 A 叫做 y ? f ( x) 的定义域; 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值, 函数值的集合 f ( x) x ? A 称为函数 y ? f ( x) 的值域。 (3)函数的三要素:定义域、值域和对应法则 简单一点理解就是指两个变量之间的关系 例如: f ( x) ?

?

?

x 即y ? x ,这是一个函数,变量 y 等于变量 x 开根号。一个

?

?

函数包括三要素: 定义域(自变量 x 组成的集合),值域(y 组成的集合),解析式(y 与 x 之间的关系) 2.初步学习基本初等函数,以利于学习函数的基本性质,然后再进一步学习基本初等函数。 各种基本初等函数的基本内容,尤其是指数对数。 第一节映射与函数 题型 015 映射与函数的概念 解题思路:映射是指在对应法则 f 下,对应的集合 A 中的任一元素在 B 中都有唯一的像; 判断一个对应是否构成函数,应判断集合 A,B 是否为非空数集,且对应是否为一个映射。 例 2.1 已知集合 S ? ?a1 , a2 ? , T ? ?b1 , b2 ? , 则从集合 S 到 T 的映射共有 D A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

1,2,3,4? , B ? ?0,1,2?,则 A ? B 的映射的个数有( D ) 训练题 1 已知集合 A ? ?
A. 7 B. 12 C. 64 D. 81

训练题 2 设集合 M ? x ? 2 ? x ? 2 , N ? y 0 ? y ? 2 ,给出下列四个图形,其中能 表示以集合 M 为定义域, N 为值域的函数关系的是( B )

?

?

?

?

1

题型 016 同一函数的判断 解题思路:定义域对应法则相同 例 2.2 下列各组函数中,表示同一函数的是



C



x A. y ? 1, y ? x
C . y ? x, y ? 3 x 3

B.

y ? x ? 1 ? x ? 1, y ? x 2 ? 1
D. y ?| x |, y ? ( x ) 2

训练题 1 下列函数与 y ? x 有相同图象的一个函数是(D) A. y ?

x2

B. y ?

x2 x

C. y ? a

loga x

(a ? 0且a ? 1)

D. y ? loga a

x

训练题 2 在下列四组函数中, f ( x) 与 g ( x) 表示同一函数的是(
f ( x) ? x ? 1, g ( x) ?
A .
0

B )

x2 ?1 x ?1
D. f ( x) ?

B
3

? x ? 1( x ? ?1) f ( x) ? x ? 1 , g ( x) ? ? ??1 ? x( x < ?1)

.

C. f ( x) ? 1, g ( x) ? ( x ?1)

x3 , g ( x) ? ( x )2

题型 017 函数解析式的求法 一.配凑法 例 2.3已知函数 f ( x)满足 f ( x ?
2

1 1 ) ? x 2 ? 2 ,则 f ( x)的表达式为 x x

答案: f ( x) ? x ? 2( x ? 2或x ? ?2) 训练题 1已知f (

x ?1 x2 ?1 1 ) ? ? ,求f ( x)的解析式 x x x
2

答案: f ( x) ? x ? x ? 1( x ? 1) 二.待定系数法 例 2.4 已知二次函数 f ? x ? 满足 f ? 0? ? 1, f ? x ? 1? ? f ? x ? ? 2x ,求 f ? x ? 答案: f ( x) ? x ? x
2

三.换元法

2

例 2.5 已知 f(

1? x 1? x2 )= ,则 f(x)的解析式可取为( 1? x 1? x2

C

)

A.


x 1? x2
练 题

B.-
1

2x 1? x2


C.

2x 1? x2


D.-


x 1? x2

f (ln x) ? 3x ? 4

f ( x)











( D ) A. 3 ln x 四.方程组法 例 2.6 已知函数 f(x)满足: f ( x) ? 2 f ( ) ? 3 x( x ? 0), 求f ( x)的解析式。 答案: f ( x) ? B. 3 ln x ? 4 C. 3e x D. 3e x ? 4

1 x

2 ? x( x ? 0) x

五.分段函数的解析式 例 2.7 设 f ( x) ? ?

? 2x ? 1????x ? 0 ?log ? 1???x ? 0
x 3

则 f ( f ( )) ? ____ 0

1 3

______.

训练题 1 若函数 f ( x) ? ? A. 9 B.

?log3 x ( x ? 0) 1 ,则 f [ f ( )] 的值是( C ) x 9 ( x ? 0) ? 2
C.

1 9

1 4

D.4

例 2.8 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1, g ( x) ? ?

? x2( x ? 0) 求f ?g ( x)?, g? f ( x)? 的表达式。 ? ? 1( x ? 0)

1 ? (2 x ? 1) 2 ( x ? ) ? ? 2 x 2 ? 1( x ? 0) ? 2 答案: f ?g ( x)? ? ? g ? f ( x)? ? ? 1 ? ? 3( x ? 0) ? ? 1( x ? ) ? 2 ?
?1 ( x ? 0) ? ?x 求f ( x ? 1) 训练题 1 f ( x) ? ? 2 ? x ( x ? 0) ? ? ? 1 ( x ? ?1) ? ? x ?1 答案: f ( x ? 1) ? ? 2 ? ( x ? 1) ( x ? ?1) ? ?
训练题 2 已知 f ( x) ? x ? 1, g ( x) ? ?
2

? x ? 1( x ? 0) 求f ?g ( x)?和g? f ( x)? ? 2 ? x( x ? 0)
3

答案: f ?g ( x)? ? ?

? x 2 ? 2 x( x ? 0) ? x 2 ? 2( x ? 1或x ? ?1) ? ? g f ( x ) ? ? 2 2 ? x ? 4 x ? 3( x ? 0) ? 3 ? x (?1 ? x ? 1)

第二节函数的定义域与值域 题型 018 具体函数定义域的求解 例 2.9 函数 f ( x) ?

x ?1 ?

1 的定义域为(A 2? x
C、 [?1, 2)


D、 [?1, ??)

A、 [?1, 2) ? (2, ??) B、 (?1, ??)

例 2.10 函数 f ( x) ? A. ( ? ,?? )

3x 2 1? x

? lg(3x ? 1) 的定义域是( B

) D. ( ?? ,? ) .

1 3

B. (? ,1)

1 3

C. ( ? , )

1 1 3 3

1 3

训练题 1 函数 f ( x) ? log( x ?1) (3 ? x) 的定义域是 训练题 2 y ? ?2 x ? 1? 的定义域为(
0

(1,2) ? (2,3)

D



A. (

1 ,??) 2

B. ( ? ? ,

C. ( ? ? , ? ? )

1 ) 2 1 1 D. ( ? ?, ) ? ( ,? ? ) 2 2

训练题 3 函数 f ( x) ? ln(2 ? x ? x 2 ) ? x ?2 的定义域为( D ) A. ?? 1,2? B. ?0,2? C. ?? 1,0? D. ?? 1,0? ? ?0,2?

训练题 4 下列函数中,与函数 y ? A. y ?

1 定义域相同的函数为 D 3 x
C.y=xex D. y ?

1 sinx

B. y ?

ln x x

sinx x

题型 019 抽象函数定义域的求解 例 2.11 1.已知函数 f(x)的定义域为(1,2) ,则函数 f(2x+1)的定义域为 2.已知函数 f(2x+1)的定义域为(1,2) ,则函数 f(x)的定义域为 3.已知函数 f(2x+1)的定义域为(1,2) ,则函数 f(3x+1)的定义域为 答案: ? 0, ??3,5?? , ? 训练题 1已知函数y=f ? x ?1? 定义域为?-2? 3?? 则y=f ? 2x ?1?的定义域为(

? ?

1? 2?

?2 4? ?3 3?

)B

4

A

? ??? 4?

B

? 5? 0? ? ? 2? ?

C

? ?????

D

? ??? ??
( B )

训练题 2 设 f ( x) ? lg A. (?4, 0) C. (?2, ?1)

2? x x 2 ,则 f ( ) ? f ( ) 的定义域为 2? x 2 x
B. (?4, ?1) D. (?4, ?2)

(0, 4) (1, 2)

(1, 4) (2, 4)

题型 020 函数定义域的应用 例 2.12 若函数f ( x) ? 答案: ?? 1,0? 训练题 1 f ( x) ? 答案: ?0, ? 训练题 2 f ( x) ? lg(ax2 ? ax ? 1)的定义域为 R,则实数a的取值范围是() 答案: ?0,4?

2 x 2?2ax ?a ? 1的定义域为 R,则实数a的取值范围。

1 的定义域为 R, 则实数 a的取值范围是() ax ? 4ax ? 3
2

? 3? ? 4?

题型 021 函数值域的求解 一.观察与层层递进 例 2.12.函数 答案: ?0,4? 训练题 1 求函数 y ? 答案: ?1,??? 训练题 2 函数 f ( x) ? log 1 (3 ? 2 x ? x ) 的值域为
2 2

的值域是(



x ? 1的值域。

( )

答案: ?

?1 ? ,?? ? ?16 ?

二.二次函数配方 例 2.13.求函数 y ? ? x ? 4 x ? 2 的值域。
2

5

训练题 1 函数 y ? x ? 4 x ( x ? [0,5] )的值域为(
2

A )

A. [ ?4,5]

B. [ 0 ,5]

C. [?4,??)

D. [ ?4,0]

2 训练题 2 求函数 y ? x ? 2x ? 5, x ?[?1,2] 的值域。

训练题 3 求函数 y ? 训练题 4 y ?

? 2x ? x 2 ? 3 的值域。
)

? 3 ? a ?? a ? 6 ? ? ?6 ? a ? 3? 的最大值为(
9 2
C. 3 D.

A.9 三.图像法

B.

3 2 2

? 1 ? 2 0 ? x ? c ,其中 c ? 0 .且 f ( x) 的值域是[- 1 ,2] 例 2.14 已知函数 f ( x ) ? ? x     , 2 4 ? ?2? x ?0 ? x ? x  
则 c 的取值范围是 (0,4] .
2 训练题 1 求函数 y ? x ? 4 x ? 2 的值域

训练题 2 函数 f(x)= ?

log x, x ? 1 ? ? 1 2 ? ?2 ,
x

的值域为_________.

x ?1

四.齐次式分离参数 例 2.15 求函数 y ? 答案: y y ? 3 训练题 1 y ?

3x ? 5 的值域 x ?1

?

?

2e x ? 1 的值域 ex ? 2

答案: ? ,2 ? 五.非齐次式均值不等式

?1 ?2

? ?

6

例 2.16 已知 t ? 0 ,则函数 y ?

t 2 ? 4t ? 1 的最小值为____________ . t

训练题 1已知x ? 2, 求函数f ( x) ? 答案: ?1,???

x 2 ? 4x ? 5 的值域 2x ? 4

x2 ? 2x ? 2 训练题 2 若 x ? (??,1) ,则函数 y ? 有( C 2x ? 2

) D.最小值 ?1

A.最小值 1

B.最大值 1

C.最大值 ?1

六.利用导数求解函数最值 例 2.17 函数 f ( x) ? 12 x ? x 在区间 [?3, 3] 上的最小值是
3



训练题 1 函数 f ( x) ? 3x ?

A. 1

12 ( x ? 0) 取得最小值时 x 为( B x2 B. 2 C. 3 D.
2 2

) 4

训练题 2 若函数 f ( x) = (1 ? x )( x ? ax ? b) 的图像关于直线 x ? ?2 对称,则 f ( x) 的最大值 是______. 训练题 3 将边长为 1m 正三角形薄片, 沿一条平行于底边的直线剪成两块, 其中一块是梯形, 记S ?
2 (梯形的周长) ,则 S 的最小值是________。 梯形的面积

训练题 4 已知两条直线 l 1 :y=m 和 l 2 : y=

8 2m ? 1

(m>0), l 1 与函数 y ? log2 x 的图像从

左至右相交于点 A,B , l 2 与函数 y ? log2 x 的图像从左至右相交于 C,D .记线段 AC 和 BD 在 X 轴上的投影长度分别为 a ,b ,当 m 变化时,的最小值为 A. 1 6 2 B. 8

b a

2

C. 8

4

D. 4

4

第三节函数的性质 题型 022 函数的奇偶性 一.函数奇偶性的判断 例 2.18 若函数 f ( x) ? 3 ? 3 与 g ( x) ? 3 ? 3 的定义域均为 R ,则 D
x x ?x ?x

A. f ( x) 与 g ( x) 均为偶函数

B. f ( x) 为奇函数, g ( x) 为偶函数

7

C. f ( x) 与 g ( x) 均为奇函数
2 训练题 1 若函数 f ( x ) ? x ?

D. f ( x) 为偶函数, g ( x) 为奇函数

a ( a ? R) ,则下列结论正确的是( C ) x A. ?a ? R , f ( x) 在 (0, ??) 上是增函数
B. ?a ? R , f ( x) 在 (0, ??) 上是减函数 C. ?a ? R , f ( x) 是偶函数 D. ?a ? R , f ( x) 是奇函数

训练题 2 判断 f ( x) ? log2 ( x ? x2 ?1) 的奇偶性 训练题 3 已知函数 f ? x ?? x ? R ? 为奇函数, g ? x ?? x ? R ? 是偶函数,则(

C

)

A.函数 f ? ? g ? x ?? ? 是奇函数 C.函数 f ? x ? g ? x ? 是奇函数
二.函数奇偶性的求值 例 2.18 若 f ( x ) ?

B.函数 g ? ? f ? x ?? ? 是奇函数 D. 函数 f ? x ? ? g ? x ? 是奇函数

1 ? a 是奇函数,则 a ? 2 ?1
x


x

训练题 1 设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时, f ( x) ? 2 ? 2 x ? b (b 为常数),则 f(-1)= 训练题 2 若函数 f ( x) ? log a ( x ?

x 2 ? 2a 2 ) 是奇函数,则 a=

. .

2 例 2.18 设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时, f ( x) = 2 x ? x ,则 f (1) ?

训练题 1 已知函数 f ( x) 为 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x( x ? 1) .若 f (a) ? ?2 ,则 实数 a ? .

训练题 2 若定义在 R 上的偶函数 f ( x) 和奇函数 g ( x) 满足 f ( x) ? g ( x) ? e x ,则 g ( x) = A. e x ? e
?x

B. 1 ( e x ? e ) 2
?x

C. 1 ( e ? e x ) 2
?x

D. 1 ( e x ? e ) 2
?x

训练题 3 已知 f ( x) 为奇函数, g ( x) ? f ( x) ? 9, g (?2) ? 3, 则f (2) ?



训练题 4 已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则 g(1)等于 ____ ( A. 4 B.3 C.2 D.1
8



训练题 5 若 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3a ? b 是偶函数, 且定义域为 [a ? 1, ?2a] , 则a = 0

-1

b=

训 练 题 6 已 知 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 . 当 x ? 0 时 , f ( x) ? x2 ? 4 x , 则 不 等 式

f ( x) ? x 的解集用区间表示为___________.
例 2.19 函数错误!未找到引用源。,若错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。的 值为 B A.3 B.0 C.-1 D.-2 训练题 1 设函数 f ( x) ? x3 cos x ? 1,若 f (a) ? 11 ,则 f(-a)=_____

三.函数奇偶性图像的特点 例 2.20 函数 y= y ? log 2 (A) 关于原点对称 (C) 关于 y 轴对称 训练题 1 函数 f ? x ? ? A. 关于原点对称

2? x 的图像 2? x



A )

(B)关于直线 y ? ?x 对称 (D)关于直线 y ? x 对称

4x ? 1 的图象 B 2x

B. 关于直线 y=x 对称 C. 关于 x 轴对称 D. 关于 y 轴对称

训练题 2 已知对任意实数 x ,有 f (?x) ?? f (x) , g (? x) ? g ( x) ,且 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,

g ?( x) ? 0 ,则 x ? 0 时( B )
A. f ?( x) ? 0 , g ?( x) ? 0 C. f ?( x) ? 0 , g ?( x) ? 0 B. f ?( x) ? 0 , g ?( x) ? 0 D. f ?( x) ? 0 , g ?( x) ? 0

训练题 3 已知函数 f ( x) 的图像关于原点对称, 并且当 x ? 0 时,f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 ,

试求 f ( x) 在 R 上的表达式,并画出它的图像,根据图像写出它的单调区间。 f ( x) 的图像关于原点对称,? f ( x) 是奇函数, f (? x) ? ? f ( x) . 解: 又 f ( x) 在 R 上? f (0) ? ? f (0) ,解得 f (0) ? 0 . 若 x ? 0 ,则 ?x ? 0, ? f (? x) ? (? x)2 ? 2(? x) ? 3 ? x2 ? 2 x ? 3 ? ? f ( x) ? f ( x) ? ? x 2 ? 2 x ? 3

9

? x 2 ? 2 x ? 3 ( x ? 0) ? 于是有 f ( x) ? ? 0 ( x ? 0) .??8 分 ?? x 2 ? 2 x ? 3( x ? 0) ? 函数 f ( x) 的图像如图所示:???????10 分 由图像可知 f ( x) 的单调递增区间为 (??, ?1] 和 [1, ?? ) ; 递减区间为 ( ?1, 0) 和 (0,1) .????????12 分
题型 023 函数的单调性 一.单调性的定义及常见函数的单调性 例 2.21 下列函数 f ( x) 中, 满足 “对任意 x1 ,x 2 ? (0, , 当 x1 < x 2 时, 都有 f ( x1 ) > f ( x2 ) ?? ) 的是 A A. f ( x ) =

1 x

B. f ( x) = ( x ? 1)

2

C . f ( x) = e

x

D f ( x) ? ln( x ? 1) 训练题 1 下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是 A y=ln(x+2) B.y=-- x ? 1 A. 例 2.22 下列函数 f(x)中,满足" C A. B. , C. D. C.y=()x

1 2

D.y=x+ !且 "的是

1 x

训 练 题 1 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f ( x) 满 足 : 对 任 意 的 x1 , x2 ? [0,?? )( ,有 x1 ? x2 )

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 .则 A x2 ? x1
(A) f (3) ? f (?2) ? f (1) (C) f (?2) ? f (1) ? f (3) 二.单调性的应用 例 2.23 已知 f ( x) 为 R 上的减函数,则满足 f ?
10

(B) f (1) ? f (?2) ? f (3) (D) f (3) ? f (1) ? f (?2)

?1? ? ? f (1) 的实数 x 的取值范围是( ?x?



1) A. (??,

B. (1, ? ?)

C. (??, 0)

(0, 1)

D. (??, 0)

(1, ? ?)

? x 2 ? 4 x, 训练题 1 已知函数 f ( x ) ? ? 2 ?4 x ? x ,
的取值范围是

x?0 x?0

若 f (2 ? a2 ) ? f (a), 则实数 a

训练题 2 设 a ? 0 且 a ? 1 , 则 “函数 f (x) ? a 在 R 上是减函数 ” , 是 “函数 gx () ? ( 2 ? a ) x
x

3

在 R 上是增函数”的 (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 例 2.24 已知 f ( x) ? ? ( C A. (0,1) ) B. (0, )

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

?(3a ? 1) x ? 4a, x ? 1 是 (??, ??) 上的减函数,那么 a 的取值范围是 ?loga x, x ? 1
1 3
C. [ , ) 的单调递增区间是 C.[ ( C )

1 1 7 3

D. [ ,1)

1 7

例 2.25 函数 y ? ( ) A.(-∞,-1] 训练题 1 函数

1 2

? x2 ? x ? 2

B.[2,+∞)

1 ,2] 2

D.[-1,

1 ] 2

y ? log2 ( x 2 ? 3 x ? 4) 的单调增区间是( A )
B. (??, ?1)

A. (4, ??)

3 C. ( , ??) 2

3 D. (??, ) 2

题型 024 函数的周期性与对称性 例 2.26 在 R 上定义的函数 f ?x ? 是偶函数,且 f ?x ? ? f ?2 ? x ? ,若 f ?x ? 在区间 ?1,2 ? 减函数,则函数 f ?x ? A.在区间 ?? 2,?1?上是增函数,区间 ?3,4? 上是增函数 B.在区间 ?? 2,?1?上是增函数,区间 ?3,4? 上是减函数 C.在区间 ?? 2,?1?上是减函数,区间 ?3,4? 上是增函数 D.在区间 ?? 2,?1?上是减函数,区间 ?3,4? 上是减函数 训练题 1 已知定义域为 R 的函数 f ?x ? 在区间 ?8,??? 上为减函数,且函数 y ? f ?x ? 8? 为偶 函数,则 ( ) ( ) 是

11

A. f ?6? ? f ?7? C. f ?7? ? f ?9?

B. f ?6? ? f ?9? D. f ?7 ? ? f ?10?

训练题 2 已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) , 满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在区间[0,2]上是增函数, 若 方 程 f(x)=m(m>0) 在 区 间 ?? 8,8? 上 有 四 个 不 同 的 根 x1 , x2 , x3 , x4 , 则

x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? _________.
训练题 3 函数 f ( x ) 的定义域为 R,若 f ( x ? 1) 与 f ( x ? 1) 都是奇函数,则( A. f ( x ) 是偶函数 C. f ( x) ? f ( x ? 2) B. f ( x ) 是奇函数 D. f ( x ? 3) 是奇函数 )

训练题 4 定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,满足 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,且在 [0, 2] 上是增函数,则 D A. f (?25) ? f (11) ? f (80) C. f (11) ? f (80) ? f (?25) B. f (80) ? f (11) ? f (?25) D. f (?25) ? f (80) ? f (11)

训练题 5 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且 y=f (x)的图象关于直线 x ? 1 对称, 则 f (1)+ f (2)+ 2 f (3)+ f (4)+ f (5)=_ _____________. 例 2.27 已知函数 f ( x) 是 (??, ??) 上的偶函数,若对于 x ? 0 ,都有 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且 当 x ? [0, 2) 时, f ( x) ? log 2 ( x ? 1 ,则 f (?2008) ? f (2009) 的值为 ) A. ?2 B. ?1 C. 1 D. 2

训练题 1 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足: f ( x ) ? f ( x ? 2) ? 13, f (1) ? 2, 则 f (99) ? (A)13 (B) 2 (C)
13 2

(D)

2 13

训练题 2 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)= ? 则 f(2009)的值为 A.-1 B. 0

?log2 (1 ? x), x ? 0 , ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0
( ) D. 2

C.1

? 6? ) 训 练 题 3 定 义 在 R 上 的 函 数 f ( x) 满 足 f ( x
时 ,

f (x . )当 ?3 ? x ? ?1
,

f ( x) ? ?( x ? 2)2

,



?1 ? x ? 3



f ( x) ? x

.



f (1) ? f (2) ? f (3) ? ??? f (2012) ?
12

( B )

A. 335 B.338 C.1678 D.2012 题型 025 函数性质的综合 例 2.28 下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是( B ). A.y=x3 C.错误!未找到引用源。 B.y=|x|+1 D.y=2
-|x|

训练题 1 下列函数既是奇函数,又在区间 ? ?1,1? 上单调递减的是( ) (A) f ( x) ? sin x (B) f ( x) ? ? x ? 1 (C) f ( x ) ?

1 x 2? x a ? a ? x ? (D) f ( x) ? ln ? 2 2? x

训练题 2 已知函数 f ( x) 是定义域为 R 的偶函数,且 f ( x ? 2) = f ( x) ,若 f ( x) 在[-1,0] 上是减函数,那么 f ( x) 在[2,3]上是( A.增函数 B.减函数 A ) D.先减后增的函数

C.先增后减的函数

训练题 3 已知函数 f ( x) ? ln

e x ? e? x ,则 f ( x) 是 A 2

A.非奇非偶函数,且在(0,+∞)上单调递增 B.奇函数,且在 R 上单调递增 C.非奇非偶函数,且在(0,+∞)上单调递减 D.偶函数,且在 R 上单调递减 训练题 4 函数 f ( x) ? ?

?1, x ? Q. ex ?1 , 则关于函数 h( x) ? f ( x), g ( x) 的奇偶性 , g ( x) ? x e ?1 ??1, x ?[ R Q,
) B.是偶函数但不是奇函数 D.既不是偶函数也不是奇函数

的判断,正确的是 ( A A.是奇函数但不是偶函数 C.既是奇函数也是偶函数

?1, x ? 0 ? 2 训练题 5 己知函数 f ( x) ? ?0, x ? 0 , ,设 F ( x) ? x . f ( x) ,则 F(x)是 B ??1, x ? 0 ?
A.奇函数,在(一 ? ,+ ? )上单调递减 B.奇函数,在(一 ? ,+ ? )上单调递增 C.偶函数,在(- ? ,0)上递减,在(0,+ ? )上递增 D.偶函数,在(- ? ,0)上递增,在(0,+ ? )上递减 训练题 6x 为实数, [ x] 表示不超过 x 的最大整数,则函数 f ( x) ? x ? [ x] 在 R 上为 A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.周期函数 ( )

13

例 2.29 对于函数 f ( x) ? lg x 定义域中任意

x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 有如下结论:① f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;
② f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ③ ④ f(

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0; x1 ? x2
( )

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? 。上述结论中正确结论的序号是 2 2
B.②③ C.②③④ D.①②③④

A.②

训练题 1 在 y ? 2 x , y ? log2 x, y ? x 2 , y ? cos2 x 这四个函数中, 当 0 ? x1 ? x2 ? 1 时, 使

f(

x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 恒成立的函数的个数是( B ) )? 2 2
B.1 C.2 D.3

A.0

训练题 2 已知函数 f(x)的定义域为 R ,其导函数 f' (x)的图象 如图所 示,则对于任意 x1,x2∈ R ( x1≠x2),下列结论正确的是 ( ) ①f(x)< 0 恒成立; ②(x1-x2)[ f(x1)-f(x2)] < 0; ③(x1-x2) [ f(x1)-f(x2)] > 0; ④ f?

f ( x1 ) + f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? ; ? > 2 ? 2 ? f ( x1 ) + f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? . ?< 2 ? 2 ?
B.①③④ C.②④ D.②⑤

⑤ f?

A.①③

例 2.30 若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,在 (??,0] 上是减函数,且 f(2)?0,则

使得 f(x)<0 的 x 的取值范围是 (A) (??,2); (C) (??,?2)?(2,??);

(

) (B) (2,??); (D) (?2,2)。

训 练 题 1 设 奇 函 数 ( x)在(0, ??) 上 是 增 函 数 , 且 f (1) ? 0 , 则 不 等 式

x[ f ( x? )

f? ( x)? ] 的解集为( 0

D

) B. {x | x ? ?1, 或0 ? x ? 1} D. {x | ?1 ? x ? 0, 或0 ? x ? 1}
14

A. {x | ?1 ? x ? 0, 或x ? 1} C. {x | x ? ?1, 或x ? 1}

例 2.31 设 f ( x) 是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时, f ( x) = 2 x(1 ? x) ,则 f ( ? ) = A.-

5 2

1 2

B. ?

1 4

C.

1 4 3 2

D.

1 2

训练题 1 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? ? f ( x ? ) ,且 f (?2) ? f (?1) ? ?1 ,

f (0) ? 2 , f (1) ? f (2) ? … ? f (2008) ? f (2009) ? (
A. ?2 B. ?1 C. 0

) D. 1

训 练 题 2 定 义 在 R 上 的 函 数 f ?x ? 是 奇 函 数 又 是 以 2 为 周 期 的 周 期 函 数 , 则

f ?1? ? f ?4? ? f ?7?等于
A.-1

( B.0

) C.1 D.4

训练题 3 已知 f (x) 是定义在 R 上的偶函数,且以 2 为周期,则“ f (x) 为 [0,1] 上的增函数” 是“ f ( x ) 为 [3,4] 上的减函数”的 (A)既不充分也不必要的条件 (B)充分而不必要的条件 (C)必要而不充分的条件 (D)充要条件 2 训练题 4 已知周期函数 f(x)的定义域为 R,周期为 2,且当﹣1<x≤1 时,f(x)=1﹣x .若 直线 y=﹣x+a 与曲线 y=f (x) 恰有 2 个交点, 则实数 a 的所有可能取值构成的集合为 ( C ) A. B. 或 ,k∈Z} 或 ,k∈Z} C. {a|a=2k+1 或 ,k∈Z} D. {a|a=2k+1,k∈Z}

第四节二次函数 先行组织者材料: 一.二次函数的图像 开口方向:a>0 开口向上 对称轴: x ? ?

a<0 开口向下

b 2a
2

与 x 轴的交点: 另ax ? bx ? c ? 0解出方程的根 与 y 轴的交点:(0,c)

? x 2 ? 4 x ? 3, ?3 ? x ? 0 ? 1.已知 f ( x) ? ??3 x ? 3, 0 ? x ? 1. ? 2 ?? x ? 6 x ? 5,1 ? x ? 6
(1)画出函数的图象;(2)求函数的单调区间;(3)求函数的最大值和最小值.

15

2.画出函数 y ? ? x ? 2 x ? 3 的图象.
2

二.一元二次方程解与 ? 的关系,根与系数的关系 1.解以下方程

x2 ? 9 x2 ? 4x ? 3 ? 0 x2 ? 2x ? 3 ? 0 ? x 2 ? 5x ? 6 ? 0 x 2 ? 10x ? 25 ? 0
2.已知关于 x 的二次函数错误!未找到引用源。,求证:对于任意错误!未找到引用源。, 方程 f(x)=1 必有实数根. 3.设 x1 , x 2 是方程 2 x ? 3x ? 7 ? 0 的两个根,求下列各式的值:
2

⑴、 x1 ? x 2

2

2

⑵、 ( x1

? 3)(x2 ? 3)

⑶、

1 1 ? x1 x 2

⑷、 x13 ? x23

⑸、 x1 ? x2
2

4 已知二次函数 f(x)=ax +bx (a,b 为常数,且 a≠0),满足条件 f(1+x)=f(1-x),且 方程 f(x)=x 有等根.求 f(x)的解析式; 解 (1)∵f(x)满足 f(1+x)=f(1-x), ∴f(x)的图象关于直线 x=1 对称. 而二次函数 f(x)的对称轴为 x=- , 2a ∴- =1. 2a

b

b


2 2

又 f(x)=x 有等根,即 ax +(b-1)x=0 有等根,∴Δ=(b-1) =0. ② 1 由①②得 b=1,a=- . 2 1 2 ∴f(x)=- x +x. 2 三.一元二次不等式与二次函数的关系 1.解下列关于 x 的不等式: (1)(5-x)(x+1)≥0;
16

81 2 (2)-4x +18x- ≥0; 4 1 2 (3)- x +3x-5>0; 2 (4)-2x +3x-2<0. [解析] (1)原不等式化为(x-5)(x+1)≤0, ∴-1≤x≤5. ∴故所求不等式的解集为{x|-1≤x≤5}. 81 2 (2)原不等式化为 4x -18x+ ≤0, 4 9 2 即(2x- ) ≤0, 2 9 ∴x= . 4 9 故所求不等式的解集为{x|x= }. 4 (3)原不等式化为 x -6x+10<0, 即(x-3) +1<0,∴x∈?. 故所求不等式的解集为?. (4)原不等式化为 2x -3x+2>0, 3 2 7 即 2(x- ) + >0 4 8 ∴x∈R. 故所求不等式的解集为 R. 2. 若关于 x 的不等式 x -ax-a≤-3 的解集不是空集, 则实数 a 的取值范围是________. [答案] a≤-6 或 a≥2 [解析] ∵x -ax-a≤-3 的解集不是空集, ∴y=x -ax-a+3 的图象与 x 轴有交点, 则Δ=(-a) -4×1×(-a+3)≥0, 解得 a≤-6 或 a≥2. 3.若关于 x 的不等式 ax +2x+2>0 在 R 上恒成立,求实数 a 的取值范围. [解析] 当 a=0 时,不等式 2x+2>0 解集不为 R,故 a=0 不满足题意.
?a>0 ? 当 a≠0 时,若不等式的解集为 R,只需? 2 ?2 -4×2a<0 ?
2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 ,解得 a> 2

17

1 综上,所求实数 a 的取值范围为( ,+∞). 2 4.f(x)=ax +ax-1 在 R 上恒满足 f(x)<0,则 a 的取值范围是( A.a≤0 B.a<-4 C.-4<a<0 D.-4<a≤0 2 2.已知不等式 ax +bx+c<0(a≠0)的解集为?,则( ) A.a<0,Δ>0 C.a>0,Δ≤0 [答案] C [解析] 根据二次函数图象可知选 C. 题型 026 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系 B.a<0,Δ≤0 D.a>0,Δ>0
2

)

ax ? 2 x ? 1 ? 0至少有一个负数根”的 例 2.32 " a ? 0"是“方程 B
2

A.必要不充分条件
?

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

x2 ? 4 x ? n ? 0有正整数根的充要条件 是n ? 3 或 4 训练题 1 设n ? N ,一元二次方程
训练题 2

已知函数f ( x) ? ax2 ? bx ? c, 且a ? b ? c, a ? b ? c ? 0,集合A ? ?m f (m) ? 0?则 A.?m ? A, 都有f (m ? 3) ? 0 B.?m ? A, 都有f (m ? 3) ? 0 C..?x0 ? A, 使得f (m0 ? 3) ? 0 D..?x0 ? A,使得f (m0 ? 3) ? 0
答案:A 训练题 3 已知函数 f ( x) ?

mx 2 ? (m ? 3) x ? 1的值域为 ?0, ? ? ? ,则实数 m 的取值范围

0 ? m ? 1或m ? 9
训练题 4 已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2ax ? 4(0 ? a ? 3),若x1 ? x2 , x1 ? x2 ? 1 ? a,则 ( A )

A. f ( x1 ) ? f ( x 2 ) B. f ( x1 ) ? f ( x 2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x 2 ) D. f ( x1 )与f ( x 2 )的大小关系不能确定
例 2.33 已知函数

?0, f ( x) ? x 2 ? ax ? b(a, b ? R)的值域为 ? ??,若关于x的不等式f ( x) ? c的解集为(m, m ? 6),
则实数c的值为
答案:9 训练题 1 设 a ? R, 若x ? 0时均有 ?(a ? 1) x ? 1?( x ? ax ? 1) ? 0,则a ?
2

3 2

18

f ( x) ? m( x ? 2m)(x ? m ? 3), g ( x) ? 2 x ? 2,若同时满足条件: ( 1)?x ? R, f ( x) ? 0或者g ( x) ? 0; 已知
答案: ?? 4,?2? 训练题 2 已知二次函数 f(x)=ax +bx+1 为偶函数,且 f(﹣1)=﹣1. (I)求函数 f(x)的解析式; (II)若函数 g(x)=f(x)+(2﹣k)x 在区间[﹣2,2]上单调递减,求实数 k 的取值范围. 2 解答: 解: (I)∵ 二次函数 f(x)=ax +bx+1 为偶函数, 故函数 f(x)的图象关于 y 轴对称 即 x=﹣ =0,即 b=0
2

(2)?x ? ?? ?,?4 ?,f ( x) g ( x) ? 0,则m的取值范围

又∵ f(﹣1)=a+1=﹣1,即 a=﹣2. 2 故 f(x)=﹣2x +1 2 (II)由(I)得 g(x)=f(x)+(2﹣k)x=﹣2x +(2﹣k)x+1 故函数 g(x)的图象是开口朝下,且以 x= 故函数 g(x)在[ ,+∞)上单调递减, 为对称轴的抛物线

又∵ 函数 g(x)在区间[﹣2,2]上单调递减, ∴ ≤﹣2

解得 k≥10 故实数 k 的取值范围为[10,+∞)
2 2 3 ? 2) ? (6, ? ?) 时 , 训 练 题 3 已 知 函 数 f ( x) ? ax ? a x ? 2b ? a , 当 x ? (??, f ( x) ? 0 ;当 x ? (?2, 6) 时, f ( x) ? 0 。 (Ⅰ)求 a、b 的值;

(Ⅱ)设 F ( x) ? ?

k f ( x) ? 4(k ? 1) x ? 2(6k ? 1) ,则当 k 取何值时, 函数 F(x)的值恒 4

为负数? 解: (Ⅰ)先作出符合条件下函数的大致图象,如图所示, 根据图象列出关于函数解析式的参数 a,b 的关系式。 ∵ f ( x) ? ax2 ? a 2 x ? 2b ? a 3 又 x ∈(-2,6), f ( x) >0; x ∈(-∞,-2)∪(6,+∞), f ( x) <0。 ∴-2 和 6 是方程 ax ? a x ? 2b ? a ? 0 的两根。
2 2 3

?? 2 ? 6 ? ? a ? 故? 2b ? a 3 ? 2 ? 6 ? ? a ?
2

解得 ?

? a ? ?4 ?b ? ?8

此时, f ( x) ? ?4x ? 16x ? 48
19

(Ⅱ)? F ( x) ? ?

k (?4 x 2 ? 16 x ? 48) ? 4(k ? 1) ? 2(6k ? 1) ? kx 2 ? 4 x ? 2 4

2 ∴欲使 f ( x) <0 恒成立,只要使 kx ? 4 x ? 2 ? 0 恒成立,则须要满足:

①当 k ? 0 时,原不等式化为 4 x ? 2 ? 0 ,显然不合题意,舍去。 ②当 k ? 0 时,要使二次不等式的解集为 x ? R ,则必须满足:

?k ? 0 ? 2 ?? ? 4 ? 4k ? (?2) ? 0

解得 k ? ?2

综合①②得 k 的取值范围为 (??,?2) 。 训练题 4 二次函数 f(x)的最小值为 1,且 f(0)=f (2)=3.

(1)求 f(x)的解析式;(2)若 f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求 a 的取值范围.
解:(1)∵f(x)为二次函数且 f(0)=f(2),∴对称轴为 x=1. 又∵f(x)最小值为 1,∴可设 f(x)=a(x-1)2+1 (a>0) ∵f(0)=3,∴a=2,∴f(x)=2(x-1)2+1,即 f(x)=2x2-4x+3. 1 (2)由条件知 2a<1<a+1,∴0<a< . 2 训练题 5 已知二次函数
(I)求函数 f(x)的解析式;

为偶函数,且

.

(II)若函数

在区间[-2,2]上单调递减,求实数 k 的取值范围.

20

题型 027 二次方程 ax2+bx +c = 0(a≠0)的实根分布及条件 例 2.34

? , ?是方程x2 ? (2m ? 1) x ? 4 ? 2m ? 0的两个根,且 ? ? 2 ? ?,求实数m的取值范围。
答案: ?? ?,?3? 训练题 1

关于x的方程(1 ? m 2 ) x 2 ? 2mx ? 1 ? 0的两个根,一个小于 0,一个大于 1, 求实数m的取值范围。
答案: ?? 1,0? 训练题 2

已知二次函数 f ( x) ? x2 ? bx ? c(b, c ? R)满足f (1) ? 0,且关于x的方程f ( x) ? x ? b ? 0 的两个实数根分别在区 间(- 3, - 2)和( 0,1 )内,求实数 b的取值范围。
答案: ? , ? 例 2.35

?1 5? ?5 7?

? 1 1? 已知函数f ( x) ? x2 ? x ? a ? 1, a ? ?? , ?,求f ( x)的最小值。 ? 2 2?
答案: a ? 1
2

训练题 1

设a为实数,函数 f ( x) ? 2 x 2 ? ( x ? a) x ? a (1)若f (0) ? 1, 求a的取值范围; (2)求f ( x)的最小值; (3)设函数h( x) ? f ( x), x ? (a,??),写出不等式 h( x) ? 1的解集。
答 案 :

21

(1)?? ?,?1? (2) f ( x) min ? 2 ? ? ? 2a .a ? 0 ?? 2 ? 2a , a ? 0 ? ? 3

6 6 ?a,??? 或a ? 时,不等式的解集为 2 2 2 6 ?a,??? 当 ?a? 时,不等式的解集为 2 2 ? a ? 3 ? 2a 2 ? ? a ? 3 ? 2a 2 ? 6 2 ? a, ??? 当?a?? 时,不等式的解集为 ,?? ? ? ? ? ? 2 2 3 3 ? ? ? ? ? a ? 3 ? 2a 2 ? 2 2 当?a? 时,不等式的解集为 ,?? ? ? ? 2 2 3 ? ? ? (3)当a ? ?
题型 028 二次函数“动轴定区间” 、 “定轴动区间”问题 例 2.35

?1,2?上是单调函数,则 函数f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 3在区间 a的取值范围
答案: a ? ?? ?,1? ? ?2,??? 训练题 1

函数f ( x) ? 2x 2 ? kx ? 3在?- 1 , ? ??上是增函数,求实数 k的取值范围。
例 2.36

求函数f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 1在?0,2?上的值域。

?- 1,3 - 4a ? (1)当a ? 0时,值域为
答案:

?3 ? 4a,?1? (2)当a ? 2时,值域为

? (4)当1 ? a ? 2时,值域为?- (a

(3)当0 ? a ? 1时,值域为 ? (a 2 ? 1),3 ? 4a
2

? 1),?1

?

?

训练题 1

?0,2?上有最小值3,求实数a的值。 已知函数f ( x) ? 4x 2 ? 4ax ? a 2 ? 2a ? 2在区间

答案: 1 ? 2或5 ? 10 。 例 2.37

已知二次函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3,若f ( x)在?t , t ? 1?上的最小值为 g (t ),则g (t )的表达式。 2 2 答案: t ? 0时,t ? 4(t ? 0); 0 ? t ? 1时, - 4;t ? 1时,t ? 2t ? 3
训练题 1 设函数 f ( x) = x 2 + x ?

1 . 4 (1)若函数的定义域为[0,3],求 f ( x) 的值域;
22

(2)若定义域为[ a , a +1]时, f ( x) 的最大值是

1 ,求 a 的值. 16

解:

(2)、

1 1 ∴(a+1)2+(a+1)- = . ∴16a2+48a+27=0. 4 16 9 3 a=- 舍去?. ∴a=- ? 4 ? ? 4 1 1 1 当 a+ <- ,即 a<-1 时,f(x)最大值为 f(a)= , 2 2 16 1 1 ∴a2+a- = . ∴16a2+16a-5=0. 4 16 5? 1 ∴a=- ?a=4舍去? ?. 4 3 5 综上知 a=- 或 a=- 4 4 训练题 2 已知函数 f(x)=-x +2ax+1-a 在 x∈[0,1]时有最大值 2,求 a 的值.
2

解 f(x)=-(x-a)2+a2-a+1, 当 a≥1 时,ymax=a; 当 0<a<1 时,ymax=a2-a+1; 当 a≤0 时,ymax=1-a. ?a≥1, 根据已知条件:? ?a=2, ?0<a<1, ?a≤0, 或? 2 或? ?a -a+1=2 ?1-a=2,
解得 a=2,或 a=-1. 第五节指数与指数函数 先行组织者材料: 1.简单的计算 1.求值:错误!未找到引用源。. 解:错误!未找到引用源。
23

错误!未找到引用源。

2.指数函数及其性质

(1)指数函数的定义 一般地, 函数 y=ax(a>0 且 a≠1)叫做指数函数( . 解释重要的指数函数 y ? e x ) (2)指数函数的图象

底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 y 轴对称. (3)指数函数的性质 ①定义域:R. ②值域:(0,+∞). ③过点(0,1),即 x=0 时,y=1. ④当 a>1 时,在 R 上是增函数;当 0<a<1 时,在 R 上是减函数.
题型 029 指数运算与指数方程,指数不等式 例 2.38
1 ? 7 2 2 1.5 3 ? (? )0 ? 80.25 ? 4 2 ? ( 3 2 ? 3)6 ? ( ) 3 6 3 计算:

[解题思路] 根式的形式通常写成分数指数幂后进行运算。
1 1 1 1 2 1 2 1 3 4 3 3 4 2 6 ? ( ) ?1 ? (2 ) ? 2 ? (2 ? 3 ) ? ( ) 3 ? 2 ? 4 ? 27 ? 110 3 3 [解析]原式

[名师指引]根式的运算是基本运算, 在未来的高考中一般不会单独命题, 而是与其它知识结 合在一起,比如与二项展开式结合就比较常见

1 ? 3? x ?3 x 例 2.39 方程 1 ? 3 的解是_________
[解题思路]将方程化为最简单的指数方程

1 ? 3? x 3x ? 1 ?3 ? 3 x ?1 x x ?1 x x ?1 [解析] ?1;在方程 1 ? 3 的两边同时乘以 3 得 1 ? 3 ,从而得 3
所以 x ? ?1 [ 名师指引 ] 解指数方程要观察其特征,在本题中,关键是发现 1 ? 3
?x

与 1 ? 3 的关系:
x

1 ? 3 x ? 3 x (1 ? 3? x )

24

训练题 1 方程

的解是

.

2 ? 3a ? 3? 训练题 2 关于x的方程? ? ? 有负实数根,则 a的取值范围 5?a ? 2?
答案: ? ?

x

? 2 3? , ? ? 3 4?

例 2.40 不等式 ( ) x A. ? ?2, 2? B. 训练题 1 不等式 6

1 2

2

? ax

1 ? ( ) 2 x ? a ? 2 恒成立,则 a 的取值范围是( 2
C. ?0, 2? D. ? ?3 , 3?



2) B. (?2,

x 2 ? x ?2

? 1 的解集是___________
2

王新敞
奎屯

新疆

x [解析] ( ?2,1) ;由不等式 6

? x ?2

? 1 得 x 2 ? x ? 2 ? 0 ,解得 ? 2 ? x ? 1

题型 030 指数函数的图像 例 2.41 设 a>1,函数 f(x)=a|x|的图像大致是





答案 A.

25

训练题 1 函数 y ? ?

2 ? ? x ( x ? 0) 的图象大致是 x ? 2 ? 1 ( x ? 0 ) ?

答案 D. 训练题 2 已知函数

f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) (其中 a ? b )的图象如下面右图所示,则函数
)

g ( x) ? a x ? b 的图象是(

A.

B.

C.

D.

[解析] A;由

f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) 的图象知 o ? a ? 1, b ? ?1 ,所以函数 g ( x) ? a x ? b

的图象是 A 训练题 3 右图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx 的图象, 则 a、b、c、d 与 1 的大小关系是( )(B)

A.a<b<1<c<d

B.b<a<1<d<c
x ?1

C.1<a<b<c<d

D.a<b<1<d<c

例 2.42 不论 a 为何正实数 , 函数 y ? a _________

? 2 的图象一定通过一定点 , 则该定点的坐标是
x ?1

[解析] ( ?1,1) ; 因为函数 y ? a 的图象通过定点 (0,1) , 故函数 y ? a
x

? 2 的图象一定通过

定点 ( ?1,1) 训练题 1 函数 y ? a
x?2

? 2 的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny+1=0 上,其中 mn>0,则
.

1 2 ? 的最小值为 m n

答案

8
26

题型 031 指数函数的性质 例 2.43

函数 y ? a x (a ? 0且a ? 1)在?1,2?上的最大值比最小值大
答案:

a ,则 a的值是 2

1 3 或 2 2

训练题 1 如果函数错误!未找到引用源。在 R 上是减函数,那么实数 a 的取值范围是____ 训练题 2 比较大小 错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。
5 5 5 ,则 a,b,c 的大小关系是( 训练题 3 设 a ? ( ) ,b ? ( ) ,c ? ( )

3 5

2

2 5

3

2 5

2



A.a>c>b 训练题 4 若函数 在

B.a>b>c

C.c>a>b

D.b>c>a

在[-1,2]上的最大值为 4,最小值为 m,且函数 上是增函数,则 a=____.

入入题型归纳 41

27

题型 032 指数函数中的恒成立问题 入入题型归纳 41 页

第六节对数与对数函数 先行组织者材料:1.解释对数的含义以及指数与对数的关系,引出对数的简单运算。 (1)如果 ax=N(a>0 且 a≠1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作___ x=logaN ___, 其中__ a __叫做对数的底数,__ N __叫做真数.真数 N 为正数(负数和零无对数) . 说明:①实质上,上述对数表达式,不过是指数函数 y ? a x 的另一种表达形式,例如:
28

34 ? 81 与 4 ? log3 81 这两个式子表达是同一关系,因此,有关系式

ax ? N ? x ? loga N.
(2) “ log ”同“+” “×” “ ”等符号一样,表示一种运算,即已知一个数和它的幂 求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面。 2.通过描点法作出对数函数的图像,解释自然对数和常用对数。 a>1

0<a<1

图象

(1)定义域:__(0,+∞) ______ (2)值域:__ R ____ 性质 (3)过点___(1,0)_______,即 x=1 (4)当 x>1 时,_ y>0 _______ 当 0<x<1 时,__ y<0______ (6)在(0,+∞)上是___增__ ______时,y=_0_____ (5)当 x>1 时,__ y<0______ 当 0<x<1 时,__ y>0 ______

(7)在(0,+∞)上是_减____

变化对图象的影响 奇偶性

在第一象限内, 从顺时针方向看图象, 逐渐增大; 在第四象限内, 从顺时针方向看图象, 逐渐减小. 非奇非偶

题型 033 对数运算与对数方程,对数不等式 例题 (1)下列指数式改写成对数式;

2 ? 16 ;
4

3

?3

1 ? ; 27

5 ? 20 ;
a

?1? ? ? ? 0.45 ?2?

b

(2)下列对数式改写成指数式;

log5 125 ? 3 ;
例题 2log510+log50.25= (
w_w_w.k*s 5*u.c o*m

l o g1 3 ? ?2 ;
3

lg a ? ?1.699

) (C) 2 (D)4

(A)0
w_w w. k#s5_ u.c o*m

(B)1

29

训练题 1

的值为( )

A.

B.

C.

D.

训练题 2 log3

(2sin

2? ) 3

的值是( B.



A.

1 2
3 2

3 2
) C. ?

C.-

1 2
3 2

D.-

3 2

0 训练题 3 log( 的值是( 3 2 sin 60 )

A.

1 2

B.

1 2

D. ?

训练题 1 如果

log3 m ? log3 n ? 4 ,那么 m ? n 的最小值是(



A.4;B. 4 3 ;C.9;D.18 [解析]18;由

log3 m ? log3 n ? 4 得 log3 (mn) ? 4 ,所以 mn ? 34 ? 81 ,又由题知

m ? 0, n ? 0 从而, m ? n ? 2 mn ? 18 ,当且仅当 m ? n ? 9 时取“=”
训练题 1log2.56.25+lg

1 1? log2 3 +ln e + 2 = 100 32 ? log3 8 ? 5log5 3 ; ① 2 log3 2 ? log3 9

13 2



原式 ? 2 log3 2 ? (log3 32 ? log3 9) ? 3log3 2 ? 3 ? 2log3 2 ? 5log3 2 ? 2 ? 3log3 2 ? 3 ? ?1 训练题 1 若点 ? a, b ? 在 y ? lg x 图象上, a ? 1 ,则下列点也在此图象上的是( D )
30

A. ?

?1 ? ,b? ?a ?

B. ?10a,1 ? b ?

C. ?

? 10 ? , b ? 1? ?a ?

D. (a ,2b)

2

例题:方程 lg x ? lg( x ? 3) ? 1 的解为 例题:

.

设0 ? a ? 1 ,函数f ( x) ? log a(a 2 x ? 2a x ? 2),则使f ( x) ? 0的x的取值范围是 答案: ?? ?, log a3?
训练题 1 函数 y ? 训练题1函数

log 0.5 (4 x 2 ? 3 x) 的定义域为
的定义域是( D ) C. (0,9)
? 1 2

f ( x) ? 2 ? log 3 x

A. (9,??)

B. [9,??)

D. (0,9]

训练题 1 已知 x ? ln ? , y ? log5 2, z ? e A. x ? y ? z B. z ? x ? y

,则(

D ) D. y ? z ? x

C. z ? y ? x

训练题 1 如果 log 1 x ? log 1 y ? 0 ,那么( D )
2 2

A. y ? x ? 1

B. x ? y ? 1
1

C. 1 ? x ? y )

D. 1 ? y ? x

训练题 1 设 a ? log3 2 , b ? ln 2 , c ? 5 2 ,则( A A. a ? b ? c D. b ? c ? a B. c ? a ? b

C. c ? b ? a

训练题 1 设 0 ? b ? a ? 1 ,则下列不等式恒成立的是( A. ab ? b ? 1
2

D )

b a B. 2 ? 2 ? 1

C. log 1 a ? log 1 b ? 0
2 2

D. loga 2 ? logb 2 ? 0

训练题 1 已知 a ? log2 A、 a ? b ? c

1 2 2 , b ? ( ) 2 , c ? log 1 ,则 a, b, c 的大小关系是( D 3 3 2 3
C、 c ? a ? b D、 c ? b ? a

) 。

B、 b ? c ? a

0 . 3 训练题 1 设 a ? 1og1 2 , b? ,则 log , c? ( ) 23
3

1 2

A.a<b<c

B.a<c<b )

C.b<c<a

D.b<a<c

训练题 1 0 ? x ? y ? 1 ,则 (

31

y x A. 3 ? 3

B. log x 3 ? log y 3

C. log 4 x ? log 4 y

D. ( ) x ? ( ) y

1 4

1 4

【答案】C 题型 034 对数函数的图像 例题:函数 y ? log2 x 的图象大致是

【答案】A

训练题 1 同真数的对数值大小关系如图 对应关系为 (1) (3)

y ? loga x , y ? logb x , (2) y ? logc x , y ? logd x (4)

则作直线 y ? 1 得 0 ? c ? d ? 1 ? a ? b 即图象在 x 轴上方的部分自左向右底数逐渐增大

训练题 1 已知 a ? b, 函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) 的图象如右图所示,

则函数 g ( x) ? loga ? x ? b ? 的图象可能为

32

【答案】B 训练题 1 若函数 则函数

f ? x ? ? a? x (a ? 0, a ? 1)

是定义域为 R 的增函数, )

f ? x ? ? loga ? x ?1?

的图象大致是 (

[解析] D;由函数

f ? x ? ? a? x (a ? 0, a ? 1)

是定义域为 R 的增函数知 0 ? a ? 1 ,所以函数

y ? loga x 在 (0,??) 上的减函数,将 y ? loga x 的图象向左平移一个单位即得

f ? x ? ? loga ? x ?1?

的图象,故应选 D

训练题 1 设 m, n ? R ,函数

y ? m ? logn x 的图象如图 2,则有

A. m ? 0, 0 ? n ? 1 ;B. m ? 0, n ? 1 C. m ? 0, 0 ? n ? 1;D. m ? 0, n ? 1

y ? m ? logn x [解析] A;由图知, 0 ? n ? 1 ,并且由图象知
的图象是由

y ? logn x 的图象向下平移得到的,故 m ? 0
ln x x

训练题 1 函数 y ?

的图象大致是(

C )

33

训练题 1 已知函数 f(x)=|lg x|,若 0<a<b,且 f(a)=f(b),则 a+2b 的取值范围是 ( ) A.(2 2,+∞) B.[2 2,+∞) C.(3,+∞) D.[3,+∞) 解析:画出函数 f(x)=|lg x|的图象如图所示.∵0<a<b,f(a)=f(b),∴0<a<1,b>1, ∴lg a<0,lg b>0.由 f(a)=f(b), ∴-lg a=lg b ,ab=1. 1 2 ∴b= ,∴a+2b=a+ , a a 2 又 0<a<1,函数 t=a+ 在(0,1)上是减函数, a 2 2 ∴a+ >1+ =3,即 a+2b>3. a 1

?1? ?1? 训练题 1 设 a , b, c 均为正数,且 2 ? log1 a , ? ? ? log 1 b , ? ? ? log2 c . ?2? ?2? 2 2
a

b

c

则 A. a ? b ? c

( B. c ? b ? a C. c ? a ? b



D. b ? a ? c

x x 训练题 1 下列 4 个命题 p1 : ?x ? (0, ??), ( ) ? ( )

1 2

1 3

p2 : ?x ? (0,1), ㏒ 1/2x>㏒ 1/3x
1 p3 : ?x ? (0, ??), ( ) x ? ㏒ 1/2x 2

1 1 p4 : ?x ? (0, ), ( ) x ? ㏒ 1/3x 3 2
其中的真命题是 A. p1 , p3 ( B) p1 , p4 C. p2 , p3 D. p2 , p4 .

例题:函数 y ? loga ( x ? 2) ? 1(a ? 0, a ? 1) 恒过定点

(3,1)

训练题 1 函数 y=loga(x+3)-1 (a>0 且 a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx+ny 1 2 +1=0 上(其中 mn>0),则 + 的最小值为_8____. m n

题型 035 对数函数的性质
34

题型归纳 题型 036 对数函数中的恒成立问题 题型归纳 补充:指数函数 y ? a 与对数函数 y ? loga x 互为反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称。
x

训练题 1 y ? 2 与 y ? log2 x 的图像关于
x

A. x 轴对称

B. y 轴对称

C.原点对称

D. y ? x 对称

训练题 1 若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1) 的反函数, 其图像经过点 ( a , a) , 则 f ( x) ? ( ) A. log 2 x 【答案】B 第七节幂函数 先行组织者材料: 1.幂函数的概念 一般地,形如 y ? x ( x ? R)的函数称为幂函数,其中 x 是自变量, ? 是常数 例 1. 下列函数中:是幂函数的个数为 (1)错误!未找到引用源。 (2)错误!未找到引用源。 (3)错误!未找到引用源。 (4)错误!未找到引用源。 例 2. 已知点 M(3, 错误!未找到引用源。)在幂函数错误!未找到引用源。的图象上,则错 误!未找到引用源。的表达式为 。 2.幂函数的图像及性质
?

B. log 1 x
2

C.

1 2x

2 D. x

y?x
定义域 奇偶性 在第Ⅰ象限 的增减性 R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增

y ? x2
R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增

y ? x3
R 奇 在第Ⅰ象限 单调递增

y ? x2

1

y ? x ?1

?x | x ? 0?
非奇非偶 在第Ⅰ象限 单调递增

?x | x ? 0?
奇 在第Ⅰ象限 单调递减

35

幂函数性质的拓展 当 ? ? 0 时,幂函数 y ? x 有下列性质: (1)图象都通过点 (0,0), (1,1) ; (2)在第一象限内都是增函数; (3)在第一象限内, ? ? 1 时,图象是向下凸的; 0 ? ? ? 1时,图象是向上凸的; (4)在第一象限内,过点 (1,1) 后,图象向右上方无限伸展。 当 ? ? 0 时,幂函数 y ? x 有下列性质: (1)图象都通过点 (1,1) ; (2)在第一象限内都是减函数,图象是向下凸的; (3)在第一象限内,图象向上与 y 轴无限地接近;向右无限地与 x 轴无限地接近; (4)在第一象限内,过点 (1,1) 后,
?
? ?

?

越大,图象下落的速度越快。

无论 ? 取任何实数,幂函数 y ? x 的图象必然经过第一象限,并且一定不经过第四象限。

题型 037 幂函数的定义及其性质 例题:设 ? ? ?? 1,1,

? ?

1 ? ,3? ,则使函数 y ? x ? 的定义域为 R 且为奇函数的所有 ? 的值为 2 ?
( B.-1,1 C.-1,3 ) D.-1,1,3

A.1,3 答案 A

例 题 : 下 列 四 类 函 数 中 , 个 有 性 质 “ 对 任 意 的 x ? 0, y ? 0 , 函 数 f ? x ? 满 足
36

f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ? 的是(
A.幂函数 答案 C

) C.指数函数 D.余弦函数

B.对数函数

训练题 1 已知幂函数 f ( x) 图象过点错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。等于 ( D ) A.10 B.16 C.25 D.32 训练题 1 已知幂函数错误!未找到引用源。的图象过点错误!未找到引用源。,则 k+α

=____0___. 训练题 1 下列函数在 ? ??,0 ? 上为减函数的是( A. y ? x 3 训练题 1 函数 y= ( )y 轴对称 ( )坐标原点对称 训练题 1 下列函数是幂函数的是( A. y ? x 答案:D 训练题 1 幂函数的图象过点 ? 2,
x

) D. y ? x
?2

1

B. y ? x

2

C. y ? x )

3

1 2 -x 的图象关于( x

( )直线 y=-x 对称 ( )直线 y=x 对称 )
1 2 1 2

B. y ? 3 x

C. y ? x ? 1

D. y ? x?

2

? ? ?

2? ? ,则 f ? 4 ? 的值为( 2 ? ?
C. 2 D.



A. 16 答案:D

B.

1 16

1 2

2 ?5 m ?3 训练题 1 已知函数 f ? x ? ? m ? m ? 1 x ,当 m 为何值时, f ? x ? :

?

?

(1)是幂函数; (2)是幂函数,且是 ? 0, ?? ? 上的增函数; (3)是正比例函数; (4)是反 比例函数; (5)是二次函数; 训练题 1 给出命题: 若函数 y ? f ( x) 是幂函数, 则函数 y ? f ( x) 的图象不过第四象限. 在 它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中,真命题的个数是( A.3 B.2 C.1 D.0 答案 C )

37

训练题 1 函数错误!未找到引用源。,当错误!未找到引用源。时为减函数,求实数 m 的 值. 训练题 1 幂函数错误!未找到引用源。,当错误!未找到引用源。时为增函数,求实数 m 的值. 训练题 1 已知函数

f ( x) ? x?2m
2

2

? m? 3

(m ? Z) 为偶函数,且 f (3) ? f (5) ,求 m 的

值,并确定 f ( x) 的解析式. 分析:函数

f ( x) ? x?2m

? m? 3

(m ? Z) 为偶函数,已限定了 ?2m2 ? m ? 3 必为偶数,

且 m ? Z , f (3) ? f (5) ,只要根据条件分类讨论便可求得 m 的值,从而确定 f ( x) 的解析式.
2 解:∵ f ( x) 是偶函数,∴ ?2m ? m ? 3 应为偶数.

?2 m2 ? m ? 3 又∵ f (3) ? f (5) ,即 3

?3? ? ? ?2 m2 ? m ? 3 ?5 ,整理,得 ? 5 ?

?2 m2 ? m ? 3

?1

2 ,∴ ?2m ? m ?3 ?0 ,



?1 ? m ?

3 2.

又∵ m ? Z ,∴ m ? 0 或 1.
2 2 当 m=0 时, ?2m ? m ? 3 ? 3 为奇数(舍去) ;当 m ? 1时, ?2m ? m ? 3 ? 2 为偶数.

2 故 m 的值为 1, f ( x) ? x .

评注:利用分类讨论思想解题时,要充分挖掘已知条件中的每一个信息,做到不重不 漏,才可为正确解题奠定坚实的基础. 训练题 1 幂函数错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。)的图象关于 y 轴对称, 且在错误!未找到引用源。 上是减函数,求满足错误! 未找到引用源。的实数 a 的取值范围。

1 ( )? , 0.2? , 2? 训练题 1 已知 ? ? 0 ,试比较 2 的大小; 1 ( )? , 0.2? , 2? [解题思路]欲比较 2 这几个数的大小,因为它们的指数相同,应考虑某个幂函
数的单调性

[解析]

y ? x ? 在 (0, ??) 上单调递增,又

0.2 ?

1 ?2 2



1 0.2? ? ( )? ? 2? 2 .

[名师指引]比较几个数式的大小, 是解题过程中常常遇到的知识考点, 往往都要用到函数的 单调性,我们应该熟练掌握规定的几个特殊幂函数的单调性、奇偶性及图像特征.
2 3 2 3 5 2 5 2 5 训练题 1 设 a ? ( ),b ? ( ) ,c ? ( ) ,则 a,b,c 的大小关系是( 5 5 5



A.a>c>b

B.a>b>c
38

C.c>a>b

D.b>c>a

题型 038 幂函数性质的综合应用 例题

已知幂函数f ( x) ? x m
? m 3

2

? 2 m ?3

(m ? Z )为偶函数,且在区间( 0, ? ?)上是减函数。
? m 3

( 1)求函数f ( x)的解析式; (2)求满足(a ? 1) ? (3 ? 2a) 的a的取值范围。

(1) f ( x) ? x ?4
答案:

2 3 (2)(??,?1) ? ( , ) 3 2
1 2

例题

已知函数f ( x) ? x ,给出下列命题: ( 1)若x ? 1,则f ( x) ? 1; (2)若0 ? x1 ? x 2,则f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? x 2 ? x1 (3)若0 ? x1 ? x 2,则x 2 f ( x1 ) ? x1 f ( x 2 ) (4)若0 ? x1 ? x 2,则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x ? x2 ? f( 1 ) 2 2

答案:1,4 y B M N x A 训练题 1.幂函数 y ? x ,当 ? 取不同的正数时,在区间 ?0,1? 上它们的图像是一族美丽的曲
?

O

线 (如图) . 设点 A(1,0), B(0,1) ,连接 AB, 线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 y ? x , y ? x 的图像三等分,即有 BM ? MN ? NA. ,那么??= 1 .

?

?

第八节函数的图像 先行组织者材料:1.常见函数的图像 2.绝对值对函数图像的影响 3.奇偶函数图像的特点 题型 039 判断函数的图像 (定义域,特殊值,极限思想,求导分析)
39

总结:解决函数图象问题的关键是 先看图象是否有明显的对称性:偶函数关于 y 轴对称,奇函数关于原点对称 一看定义域,二用极限思想,三用特殊点或者用单调性
1

11、 (2009 厦门一中)已知函数①y=2x;②y=log2x;③y=x 1;④ y ? x 2 .则下列函数图象(在


第一象限部分)从左到右依次与函数序号的正确对应顺序是 A.②①③④ B.②③①④ C.④①③②

( ) D.④③①②

D 3. 函数 f ( x) ? log 1 cos x(?
2

?
2

?x?

?
2

) 的图象大致是C

1、 (2009 福州八中)函数 f ? x ? ? ln x ?1 的图像大致是 B w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

7. (5 分)函数 y=1n(ex)﹣x 的图象大致形状是( D ) A. B. C.

D.

40

e x ? e? x 9. 函数 y ? x 的图像大致为( A ) e ? e? x

22.函数 y ? ?

2 ? ? x ( x ? 0) 的图象大致是 x ? 2 ? 1 ( x ? 0 ) ?

24.已知函数①y=2 ;②y=log2x;③y=x ;④ y ? x .则下列函数图象(在第一象限部分)
x
-1

1 2

从左到右依次与函数序号的正确对应顺序是
41





A.②①③④

B.②③①④

C.④①③②

D.④③①②

25.函数 y ?

x , x ? (?? ,0) (0, ? ) 的图象可能是下列图象中的( sin x

)

7. 函数 f(x)的部分图象如图所示,则 f(x)的解析式可以是(

).

y

O 3? - 2

? - 2

? 2

3? 2

A.f(x)=x+sinx C

B. f ( x ) ?

cos x x

C.f(x)=xcosx

D. f ( x ) ? x( x ?

?
2

)( x ?

3? ) 2

10.现有四个函数① y

? x ? sin x ② y ? x ? cos x ③ y ? x? | cos x | ④ y ? x ? 2 x 的部分图

象如下,但顺序被打乱,则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是 A

42

30 函数 y ? e|ln x| ? | x ? 1 | 的图象大致是





33.函数 y ? 2 x ? x 2 的图像大致是

34 函数

f ( x) ? ln( x 2 ? 1) 的图象大致是

( A . B. C. D 8. 函数 f(x)= ? 1



?ln | x | ( x ? 0) ? 的图象大致是 ( x ? 0) ? ?x

( B )

y

y

y

y
x

O A.
7、函数 f ( x) ? e
?x

x

O B.

x

O C.


x

O D.

的部分图象大致是(

43

A.
7.函数 y ?

B.
)

C.

D.

x ? 2sin x 的图象大致是( C 2

11. 函数 y ? 2 ? x 的图象是



D



9.函数错误!未找到引用源。的图象大致是(

C

)

9、函数 y ? ln |

1 | 与y ? ? ? x 2 ? 1 在同一平面直角坐标系内的大致图象为( C ) x

? ?a ? a ? b ? 9.定义运算 a ? b ? ? ,则函数 f ? x ? ? 1 ? 2x 的图象是( A ? ?b ? a ? b ?



44

函 数 f ( x) ? ? ( C ) . A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

? x ? 1,
2

x ? 0,

? x ? 2 x ? 1, x ? 0

的 图 象 和 函 数 g ( x) ? e x 的 图 象 的 交 点 个 数 是

7.已知函数 f ( x) 的图象如右图所示,则 f ( x) 的解析式可以是( A. f ( x ) ? C. f ( x ) ?

A)

ln | x | x

B. f ( x ) ?

ex x

1 ?1 x2

D. f ( x) ? x ?

1 x

5.函数 y=2| x

-1

|

的图象大致是 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ( B )
y

y
y

y

1 -1 O1 x

2 1 O 1 x
-1

1 O 1 x

2 1 -1 O x

A

B

C

D
x

6.若函数 f(x)=loga(x+b) (其中 a,b 为紫数)的图象如右图所示,则函数 g ( x) ? a ? b

45

的大致图象是 D

8 .若函数 f ( x) ? a x?2 , g ( x) ? 1og | x | (a ? 0, a ? 1), 且 f (3) · g ( ?3) ? 0 则函数 f ( x) 、

g ( x) 在同一坐标系内的大致图象是 B

C.

D.

5.已知函数 y ? f ( x) 的大致图象如图所示, 则函数 y ? f ( x) 的解析式应为(B ) A. f ( x) ? e ln( x)
x

C. f ( x) ? e ln(| x |)
x

ln(| x |) | x| D. f ( x) ? e ln(| x |)

B. f ( x) ? e

?x

7. 函数 y ? tan( A. ?6

?

x ? ) 的部分图象如图所示,则 (OA ? OB) ? AB ? ( D ) 4 2 B. ?4 C. 4 D. 6
46

?

8.函数的 y ? f ( x) 图像如图 1 所示,则函数 y ? log1 f ( x) 的图像大致是( C )
2

图1 A. 6.函数 y ? B. C. D.

cos x 的图像大致是( A ) ex

9.函数 y ?

ln | x | 的大致图象为( C ) x

A

B

C

D

5.如右图,函数 y ? f ( x) 的图象是曲线 OAB ,其中 点 O(0, 0), A(1, 2), B(3, 1) ,则 f ( A.1 C.3 B.2 D.无法判断

1 ) 的值是( B ) f (3)

6. (5 分)若函数 f(x)=loga(x+b)的图象如图,其中 a,b 为常数.则函数 g(x)=a +b 的大致图象是( D )

x

47

A.

B.

C.

D.

10.现有四个函数:① y ? x ? sin x

② y ? x ? cos x



y ? x ? cos x

④ y ? x ? 2 的图
x

像(部分)如下,但顺序被打乱,则按照从左到右将图像对应的函数序号安排正确的一组是 C

A.④①②③

B.①④③②

C.①④②③

D.③④②①

5、已知函数 f ( x) ? 2x ? 2 ,则函数 y ? f ( x) 的图象可能是( B



1. 函数 y ? ?

2 ? ? x ( x ? 0) 的图象大致是 x ? 2 ? 1 ( x ? 0 ) ?

2.设 a>1,函数 f(x)=a|x|的图像大致是





48

3. 已 知 函 数

f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) ( 其 中 a ? b ) 的 图 象 如 下 面 右 图 所 示 , 则 函 数
)

g ( x) ? a x ? b 的图象是(

4.函数 y ? log2 x 的图象大致是

8.设 abc>0,二次函数的图象可能是(



A

B

C D 9. 已知二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 J3-3-2, 则下列结论正确的是( A.a>0 B.c<0 C.b2-4ac<0 D.a+b+c>0

)

49

10.设 b>0,二次函数 y=ax2+bx+a2-1 的图象为图 K3-3-2 所示四个图中的一个, 则 a 的值为( )

图 K3-3-2 A.1 B.-1 -1- 5 C. 2
-x+1

-1+ 5 D. 2 ( )

18.函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=2

在同一直角坐标系下的图象大致是

19.函数 y ?

x ln | x | 的图像可能是( | x|



20.函数 y ?

1og2 x x

的图象大致是

21.已知函数 f ( x) ? ?

?1 ? ln x, ( x ? 1) ,则 f ( x ) 的图象为 3 ? x , ( x ? 1)

50

26 已知函数 f ( x) ? 2 ? 2 ,则函数 y ? f ( x) 的图象可能是(
x



y ?1 O 1 A

y
x

y
x

y
O 1

1

?1O 1
B

1

?1

1

x

?1

1

O 1

x

C

D

28 设

,函数

的图像可能是

31 设 abc>0,二次函数 f(x)=a

x

2

+bx+c 的图像可能是

51

32 函数 y=ax2+ bx 与 y= log b x (ab ≠0,| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可能是
| | a

. 35.(安徽) (10)函数 f ( x) ? ax (1 ? x) 在区间〔0,1〕
n 2

上的图像如图所示,则 n 可能是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
1 36 函数 y ? ( ) x ? 1 的图象关于直线 y=x 对称的图象像大致是 2

52

37.已知函数 y ? f ( x) 的周期为 2,当 x ?[?1,1] 时 f ( x) ? x2 ,那么函数 y ? f ( x) 的图象 与函数 y ?| lg x | 的图象的交点共有 A.10 个 38.已知函数 f (x )? B.9 个 C.8 个 D.1 个 )

1 ;则 y ? f (x) 的图像大致为( l n (x? 1 )?x

x 39.函数 y 的图象可能是( ? a ?( a ? 0 , a ? 1 )

1 a



53

40 函数 y ?

cos6x 的图像大致为 2x ?2?x

42 函 数 y ? f ( x) 的 定 义 域 是 ?? ?,?? ? , 若 对 于 任 意 的 正 数 a , 函 数

g ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x) 都是其定义域上的增函数,则函数 y ? f ( x) 的图象可能是
( )

43 函数

f ( x) ? x 的大致图像是( )
y y y

?

1 2

y

0

A

x

0

B

x

0 C )

x

0 D

x

44 函数 y

?

x2 的图象大致是( 3x ? 1

2. 【广东省梅州中学 2012 届高三第二次月考文】10 函数 f(x)=1+log2x 与 g(x)=2 角坐标系下的图象大致是 ( )
-x+1

在同一直

54

【答案】C 【浙江省塘栖、瓶窑、余杭中学 2012 届高三上学期联考文】函数 y ? ( )

x ln | x | 的图像可能是 | x|

【答案】B 【2012 日照市高三一模文】11 函数 y ?

1og2 x x

的图象大致是

【答案】C 【2012 济南高三一模文】9.已知函数 f ( x) ? ?

?1 ? ln x, ( x ? 1) ,则 f ( x ) 的图象为 3 ? x , ( x ? 1)

55

【答案】A

6. (山东省青岛市 2012 届高三上学期期末文科)函数 y ? 象可能是下列图象中的( C )

x , x ? (?? ,0) (0, ? ) 的图 sin x

2、(2009 重庆一中)已知函数 f ( x) ? 2 ? 2 ,则函数 y ? f ( x) 的图象可能是(
x



y

y

y

y
1
O 1

1
?1 O 1
答案:B 21.设 ,函数

1
x

1
x

?1O 1

?1

x

?1

O 1

x

A

B
的图像可能是

C

D

56

题型 040 函数图像的应用

?2 x?2 ? , 例题:已知函数 f ( x) ? ? x 若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根,则实 ?( x ? 1)3 , x ? 2 ?
数 k 的取值范围是__(0,1)_ (2010 湖北理数)9.若直线 y=x+b 与曲线 y ? 3 ? 4x ? x2 有公共点,则 b 的取值范围是 A. ? ?1,1 ? 2 2 ?

?

? ?

B. ?1 ? 2 2,1 ? 2 2 ?

?

C. ?1 ? 2 2,3?

?

?

D. ?1 ? 2,3?

?

?

9. 【答案】C 【解析】曲线方程可化简为 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 4(1 ? y ? 3) ,即表示圆心为(2,3)半径为 2 的半圆,依据数形结合,当直线 y ? x ? b 与此半圆相切时须满足圆心(2,3) 到直线 y=x+b 距离等于 2,解得 b ? 1 ? 2 2或b ? 1 ? 2 2 ,因为是下半圆故可得
b ? 1 ? 2 2 (舍) ,当直线过(0,3)时,解得 b=3,故 1 ? 2 2 ? b ? 3, 所以 C 正

确.

例题:已知函数 y ? 值范围是_________.

x2 ?1 x ?1

的图象与函数 y ? kx ? 2 的图象恰有两个交点,则实数 k 的取

【答案】 0 ? k ? 1 或 1 ? k ? 4 【解析】函数 y ?

x2 ?1 x ?1
y?

?

( x ? 1)(x ? 1) x ?1

,当 x ? 1 时, y ?

x2 ?1 x ?1


? x ? 1 ? x ? 1 ,当

x ?1





x2 ?1

?? x ? 1,?1 ? x ? 1 ? ? x ?1 ? ? x ?1 ? x ? 1, x ? ?1









? x ? 1,x ? 1 ? y? ? ?? x ? 1,?1 ? x ? 1 ,做出函数的图象(蓝线),要使函数 y 与 y ? kx ? 2 有两 x ?1 ? ? x ? 1, x ? ?1 x2 ?1
57

个不同的交点, 则直线 y ? kx ? 2 必须在四边形区域 ABCD 内(和直线 y ? x ? 1 平行的直线

除外,如图

,则此时当直线经过 B(1,2) , k ?

2 ? (?2) ? 4 ,综 1? 0

上实数的取值范围是 0 ? k ? 4 且 k ? 1 ,即 0 ? k ? 1 或 1 ? k ? 4 。
2 ? a ? ab ,a? b ? 例题:于实数 a 和 b,定义运算“﹡” :a , ? b? ?2 ? b? ab ,a? b ?

设f ,且关于 x 的方程为 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实 ( x ) ? ( 2 x ? 1 ) ? ( x ? 1 ) 数根 x1,x2,x3,则 x1x2x3 的取值范围是_________________.

【答案】 (

1? 3 ,0) . 16

【命题立意】本题属于新概念型题目,考查了根据条件确定分段函数解析式的能力,以及数 形结合的思想和基本推理与计算能力,难度较大.

?(2 x ? 1) 2 ? (2 x ? 1)( x ? 1), 2 x ? 1 ? x ? 1 ? 2 x 2 ? x, x ? 0 f ( x ) ? ?? 2 【解析】由新定义得 , ? 2 2 x ? 1 ? 2 x ? 1 ( x ? 1 ) ? ( 2 x ? 1 )( x ? 1 ), ? ?? x ? x , x ? 0

所以可以画出草图

,若方程 f ( x) ? m 有三个根,则 0 ? m ?

1 ,且当 4

x ? 0 时方程可化为 ? x 2 ? x ? m ? 0 ,易知 x2 x3 ? m ;当 x ? 0 时方程可化为

2x2 ? x ? m ? 0 , 可解得 x1 ?

1 ? 1 ? 8m 1 ? 1 ? 8m 1 , 所以 x1 x2 x3 ? m ? , 又易知当 m ? 4 4 4

时m?

1 ? 1 ? 8m 1? 3 1 1? 3 1 ? 1 ? 8m ? x1 x2 x3 ? 0 . ? m? ?0, 有最小值, 所以 ? 即 4 16 4 4 4

58

错误!未指定书签。 . (2013 年高考新课标 1(理) )已知函数 f ( x) ?

? ? x 2 ? 2 x, x ? 0 ,若 ? ?ln( x ? 1), x ? 0

| f ( x) |≥ ax ,则 a 的取值范围是 A. (??, 0]
【答案】D

B. (??,1]

C. [?2,1]

D. [?2,0]

y?
33. (全国Ⅰ 理 12)函数 坐标之和等于 (A)2 【答案】D

1 x ? 1 的图像与函数 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的图像所有交点的横
(C) 6 (D)8

(B) 4

例题:用 关于直线 x= ? A.-2

表示 a,b 两数中的最小值。若函数

的图像

1 对称,则 t 的值为 2
C.-1 D.1

B.2

(2010 全国卷 1 理数)(15)直线 y ? 1 与曲线 y ? x ? x ? a 有四个交点,则 a 的取值范围
2



.

59

第九节函数与方程 题型 041 求函数的零点或零点所在的区间 先行组织者材料:解释零点存在性定理与二分法 解题思路:零点存在性定理及二分法

? 1 x ?( ) ? 1 , ( x ? 0) 例 题 设 e 是 自 然 对 数 的 底 , f ( x) ? ? 2 , 则 f ( x) ? 1 的 所 有 解 的 和 是 ? , ( x ? 0) ?ln x
e ? 1 __.

2 训练题 1 设 n∈ N ? ,一元二次方程 x ? 4 x ? n ? 0 有整数根的充要条件是 n=_____.

训练题 2 若函数 f(x)在(1,2)内有一个零点, 要使零点的近似值满足精确度为 0.01, 则对区间(1,2) 至少二等分 次 7 训练题 3 在区间 [0,2] 上任取两个数 a ,b , 能使函数 f ( x) ? ax ? b ? 1 在区间 [?1,1] 内有零 点的概率等于___

1 _____. 8

例题:函数 f(x)=log2x+2x-1 的零点必落在区间
1 1? A. ? ? , ? ?8 4? 1 1? B. ? ? , ? ?4 2?


? C. ? ? ,1? 1 ?2 ?

) D.(1,2)

例题: 已知函数 f(x) = loga x ? x ? b(a>0,且a ? 1). 当 2<a<3<b<4 时, 函数 f(x) 的 零点 x0 ? (n, n ? 1), n ? N * , 则n= .

60

训练题 2 设函数 f ( x) ?

1 x ? ln x( x ? 0), 则 y ? f ( x) 3

(

)

A 在区间 ( ,1), (1, e) 内均有零点。

1 e

B 在区间 ( ,1), (1, e) 内均无零点。

1 e

C 在区间 ( ,1) 内有零点,在区间 (1, e) 内无零点。

1 e

D 在区间 ( ,1) 内无零点,在区间 (1, e) 内有零点。

1 e

训练题 2 方程 lg x ? 3 ? x 的解所在区间为( A. (0,1) B. (1, 2)

) D. (3, 4) ( )

C. (2,3)

训练题 2 若 x0 是方程式 lg x ? x ? 2 的解,则 x0 属于区间 (A) (0,1). 训练题 2 lg x ? (B) (1,1.25).

(C) (1.25,1.75) (D) (1.75,2) ( )

1 ? 0 有解的区域是 x
B. (1, 10]
x

A. (0, 1]

C. (10, 100]

D. (100, ? ?)

训练题 2 根据表格中的数据,可以断定方程 e

? x ? 2 ? 0 的一个根所在的区间是
1 2.72 3 2 7.39 4 C. (1,2) 3 20.09 5 D. (2,3)

x

-1 0.37 1

0 1 2 B. (0,1)
2

ex
x?2

A. (-1,0)

训练题 2 右图是函数 f(x)=x +ax+b 的部分图象,则 函数 g ( x) ? ln x ? f '( x) 的零点所在的区间是 ( )
A. ( C. (

1 1 , ) 4 2

B. (1, 2) D. (2,3)

1 ,1) 2

61

训练题 2 设函数 y ? x3 与 y ? ? 则 x0 所在的区间是(

?1? ? ?2?


x?2

的图象的交点为 ( x0,y0 ) ,

1) A. (0,

, 2) B. (1

3) C. (2,

4) D. (3,

训练题 2 若 a ? b ? c ,则函数 f ? x ? ? ? x ? a ?? x ? b? ? ? x ? b?? x ? c ? ? ? x ? c ?? x ? a ? 的两个零 点分别位于区间( A. ? a, b ? 和 ? b, c ? 内 C. ? b, c ? 和 ? c, ?? ? 内
【答案】A

) B. ? ??, a ? 和 ? a, b ? 内 D. ? ??, a ? 和 ? c, ?? ? 内

训练题 2 已知偶函数 f ( x) ,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? ln x ( e 为自然对数的底数) ,则 函数 f ( x) 的零点不可能落在区间( B ) A. ? ?1,0? B. ? 0,1? C. ? ? , ?

1 e

? 1 1? ? e e?

D. ? ,1 ?

?1 ? ?e ?

训练题 2 若方程 lnx ? 值为 C A.5 C.3

x ? 5 ? 0 在区间 (a, b) (a, b ? Z,且 b ? a ? 1) 上有一实根,则 a 的
B.4 D.2

训练题 2 如图,正五边形 ABCDE 的边长为 2 ,甲同学在 ?ABC 中用余弦定理解得

AC ? 8 ? 8cos108 ,乙同学在 Rt ?ACH 中解得 AC ?
所在区间为( C ) A. (0.1, 0.2) B. (0.2, 0.3)
A

1 ,据此可得 cos 72 的值 cos 72

C. (0.3, 0.4)

D. (0.4, 0.5)

B

E

. .
C H D

62

题型 042 利用函数的零点确定参数的范围 例题:若函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a ? 1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是
x

.

答案 解析

{a | a ? 1}
x 设函数 y ? a (a ? 0, 且 a ? 1} 和函数 y ? x ? a ,则函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a ? 1)
x

x 有两个零点, 就是函数 y ? a (a ? 0, 且 a ? 1} 与函数 y ? x ? a 有两个交点,由图象可知当

0 ? a ? 1 时两函数只有一个交点 ,不符合,当 a ? 1 时,因为函数 y ? a x ( a ? 1) 的图象过点
(0,1),而直线 y ? x ? a 所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数 a 的 取值范围是 a ? 1 【命题立意】 :本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考 查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答. 例题:已知函数 f ( x) ? e ? 2 x ? a 有零点,则 a 的取值范围是
x

(??,2 ln 2 ? 2]

训练题 2 若函数 f(x)=ex(x2+ax+3)在区间(0,3)内存在零点,则实数 a 的取值范围是

?e x ? 1, x ? 1, ? 训练题 2 若曲线 y ? ? 1 与直线 y ? kx ? 1 有两个不同的交点,则实数 k 的取值范 , x ?1 ? ?1 ? x
围是 C A . (3 ? 2 2 ,3 ? 2 2 ) D. (??,3 ? 2 2 ) B . (0,3 ? 2 2) C . (??,0) ? (0,3 ? 2 2 )

? x ? kx 2 , x ? 0 ? 有且只有2个不同的零点,则实数k的取值范围是B 训练题 2若函数 f ( x) ? ? x ? 1 ? ?ln x, x ? 0
A. (-4,0) B, ( -∞ ,0] C. ( -4,0] D, ( - ∞ ,0)

训练题 2 已知 x ? R, 符号 ? x ? 表示不超过 x 的最大整数,若函数 f ? x ? ? 3 个零点,则 a 的取值范围是( A A. ? , ? ? , ? ? 4 5? ?3 2 ? C. ? , ? ? , ? ? 2 3? ?4 2 ?
? 1 2? ?5 3 ? ? 3 4? ?4 3 ?

? x? ? a
x

? x ? 0 ? 有且仅有

) B. ? , ? ? , ? ?4 5? ?3 2? D. ? , ? ? , ? ?2 3? ?4 2?
?1 2? ?5 3? ?3 4? ?4 3?

63

训练题 2 已知偶函数 f( x) 的周期为 2,且当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? 2 x ,如果在区间 [ ?1 , 3] 内,函数 F ( x) ? f ( x) ? kx ? k ? 2 ( k ? R 且 k ? ?2 )有 4 个不同的零点,则 k 的取 值范围是( D ) A. (?

3 ,0) 4

B. (?1, 0)

C. (? , 0)
2

1 2

D. (?

2 ,0) 3

训练题 2 已知 a 是实数,函数 f ?x? ? 2ax ? 2 x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ?x ? 在区间 ?? 1,1? 上有零点,求 a 的取值范围. 解析 若 a ? 0 , f ( x) ? 2 x ? 3 ,显然在 ?? 1,1? 上没有零点, 所以 a ? 0 . 令 ? ? 4 ? 8a ?3 ? a ? ? 8a2 ? 24a ? 4 ? 0 , 解得 a ?

?3 ? 7 2

①当 a ?

?3 ? 7 时, 2

y ? f ? x ? 恰有一个零点在 ? ?1,1? 上;

②当 f ?? 1? ? f ?1? ? ?a ? 1??a ? 5? ? 0 ,即 1 ? a ? 5 时, y ? f ? x ? 在

? ?1,1? 上也恰有一个零点.
③当 y ? f ? x ? 在 ? ?1,1? 上有两个零点时, 则

a?0 ? ?? ? 8a 2 ? 24a ? 4 ? 0 ? ? 1 ?1 ? ? ?1 ? 2a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0 ?

a?0 ? ?? ? 8a 2 ? 24a ? 4 ? 0 ? ? 1 或? ?1 ? ? ?1 2a ? f ?1? ? 0 ? ? f ? ?1? ? 0 ?

题型 043 方程根的个数与函数零点存在性问题

?x 2 +2x-3,x ? 0 例题:函数 ( 的零点个数为 ( f x)= ? ?-2+ln x,x>0
A.0 【答案】C B.1 C.2

) D.3

【解析】当 x ? 0 时,令 x ? 2 x ? 3 ? 0 解得 x ? ?3 ;
2

当 x ? 0 时,令 ?2 ? ln x ? 0 解得 x ? 100 ,所以已知函数有两个零点,选 C。 【命题意图】本题考查分段函数零点的求法,考查了分类讨论的数学思想。 训练题 2 函数 f(x)=xcos2x 在区间[0,2π]上的零点个数为
64

A2

B3

C

4

D 5

【答案】D 【 解 析 】 由 f ( x) ? x cos 2 x ? 0 , 得 x ? 0 或 cos 2 x ? 0 ; 其 中 , 由 cos 2 x ? 0 , 得

2 x ? k? ?

?
2

?

k ?Z ? , 故x?

k? ? π 3π 5π 7π ? ? k ? Z ? .又因为 x ??0, 2π? , , , . 所以 x ? , 2 4 4 4 4 4

所以零点的个数为 1 ? 4 ? 5 个.故选 D. 【点评】本题考查函数的零点,分类讨论的数学思想.判断函数的零点一般有直接法与图象 法两种方法.对于三角函数的零点问题,一般需要规定自变量的取值范围;否则,如果定义 域是 R ,则零点将会有无数个;来年需注意数形结合法求解函数的零点个数,所在的区间等 问题.

1

例题:函数 f ( x ) ? x 2 ? ( ) 的零点个数为
x

1 2

(A)0 (B)1(C)2 (D)3 训练题 2 函数 f ( x) ? 2 x | log 0.5 x | ?1 的零点个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 C ) D.4 6 个。

训练题 2 函数 f ( x) ? cos?x ? log3 x 的零点个数是 ( A.1 B.2
x

C.3

训练题 2 函数 f ( x) =cosx-lg|x|的零点的个数是 训练题 2 已知 0 ? a ? 1,则方程 a A.1 个 B.2 个 C.3 个

? log a x 的实根个数是( B )
D.1 个或 2 个或 3 个

训练题 2 函数 f ( x) ? ?

? x ? 1,
2

x ? 0,

? x ? 2 x ? 1, x ? 0

的图象和函数 g ( x) ? e 的图象的交点个数是 C
x

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 1] 时, f ( x) ? ? x ? 1 ,则关于 x 训练题 2 偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) = f ( x ) ,且当 x ? [0, 的方程 f ( x) ? ?

?1? 3] 上解的个数是 ? 在 x ?[?3, ?2?
65

x

3



训 练 题 2 函 数 f ( x)

? x ? R? 满 足

, 且 当 x ??0,1 f (? x) ? f? x ? ,f ? ?x = ?f 2 -? x ? 时,

? 1 3? 3 .又函数 g ? x ? = x cos ?? x ? ,则函数 h ? x ? =g ? x ? -f ? x ? 在 ?- , ? 上的零点个数 f ? x? = x ? 2 2?
为( B) A.5 B.6 C.7 D.8

训练题 2 偶函数 f(x)满足 f(x-1)=f(x+1),且在 x∈[0,1]时,f(x)=x ,则关于 x 的方程 f(x)=

? 1 ? ? ? ? 10 ?

x





x



[0



4]













( B ) A. 3

B. 4

C. 5

D. 2

训练题 2 已知定义域为错误!未找到引用源。的单调函数错误!未找到引用源。,若对任意错

误!未找到引用源。,都有错误!未找到引用源。,则方程错误!未找到引用源。的解的个数

是____2_____. 训练题 2 设函数 f(x) ( x ? R ) 满足 f( ? x )=f(x),f(x)=f(2 ?x),且当 x ? [0,1] 时,f(x)=x3.又函 数 g(x)=|xcos (? x) |,则函数 h(x)=g(x)-f(x)在 [? , ] 上的零点个数为 (A)5 【答案】B 【解析】 因为当 x ? [0,1] 时, f(x)=x3. 所以当 x ?[1, 2]时,(2-x) ?[0,1] , f(x)=f(2 ? x)=(2 ? x)3, 当 x ? [0, ] 时, g(x)=xcos (? x) ; 当 x ? [ , ] 时, g(x)= (B)6 (C)7 (D)8

1 3 2 2

1 2

1 3 2 2

注意到函数 f(x)、 g(x) ?xcos (? x) ,

都是偶函数,且 f(0)= g(0), f(1)= g(1), g ( ) ? g ( ) ? 0 ,作出函数 f(x)、 g(x)的大致图 象,函数 h(x)除了 0、1 这两个零点之外,分别在区间 [? 个零点,共有 6 个零点,故选 B 【点评】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、函数的零点,考查转化能力、 运算求解能力、 推理论证能力以及分类讨论思想、数形结合思想,难度较大。

1 2

3 2

1 1 1 3 , 0]、 [0, ]、 [ ,1]、 [1, ] 上各有一 2 2 2 2

66

x 3 例题:函数 f 在区间(0,1)内的零点个数是 ( x ) ? 2 ? x ? 2

(A)0 (C)2
3

(B)1 (D)3

例题:若函数 f ( x) ? x ? 3x ? a 有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范围是

( A. ? ?2, 2 ?
答案 A

) B. ? ?2, 2? C. ? ??, ?1? D. ?1, ?? ?

3 28.(2011 湖南理) 已知函数 f ( x ) = x ,g ( x )= x + x 。

(Ⅰ )求函数 h ( x )= f ( x )-g ( x )的零点个数,并说明理由;
3 , ?, ) 而 h( 0?) 解 析 : ( I ) 由 h( x) ? x ? x ? x 知 , x ? [ 0 ?

0 且 ,

( x) 的一个零点,且 h( x) 在 h( 1?)? ? 1h 0?, ?( 2 ? ) ,则 6 x ?2 0 为 h0 (1, 2) 内有零点,
因此 h( x) 至少有两个零点

1 ?1 1 ?3 1 ?1 h'( x) ? 3 x 2 ? 1 ? x 2 ? ( x) ? 3 x 2 ? 1 ? x 2 ? '( x) ? 6 x ? x 2 2 4 2 解法 1: ,记 ,则 。
当 x ? (0, ??) 时, ? '( x) ? 0 ,因此 ? ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,则 ? ( x) 在 (0, ??) 内至多

? (1) ? 0, ? (
只有一个零点。又因为

3 3 ( ,1) )?0 ? ( x) 在 3 ? ( x) 在 3 ,则 内有零点,所以

(0, ??) 内有且只有一个零点。记此零点为 x1 ,则当 x ? (0, x1 ) 时, ? ( x) ? ? '( x1 ) ? 0 ;当

x ? ( x1 , ??) 时, ? ( x) ? ?'( x1 ) ? 0 ;
所以, 当 当

x ? (0, x1 )

时,

h( x) 单调递减,而 h(0) ? 0 ,则 h( x) 在 (0, x1 ] 内无零点; h( x) 单调递增,则 h( x) 在 ( x1 , ??) 内至多只有一个零点;

x ? ( x1 , ??)

时,

从而

h( x) 在 (0, ??) 内至多只有一个零点。综上所述, h( x) 有且只有两个零点。
2 ? 1 2 2 ? 1 2

解法 2: h( x) ? x( x ? 1 ? x ) ,记 ? ( x) ? x ? 1 ? x

? '( x) ? 2 x ? x
,则

1 2

?

3 2



67

当 x ? (0, ??) 时, ? '( x) ? 0 ,因此 ? ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,则 ? ( x) 在 (0, ??) 内至多 只有一个零点。因此 h( x) 在 (0, ??) 内也至多只有一个零点, 综上所述, h( x) 有且只有两个零点。

第十节函数的综合 题型 044 函数与数列,不等式的综合 6.【2012 高考真题四川理 12】设函数 f ( x) ? 2 x ? cos x , {an } 是公差为
2 f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a5 ) ? 5? ,则 [ f (a3 )] ? a1a5 ? (

? 的等差数列, 8

) D、

A、 0

B、

1 2 ? 16

2 C、 ?

1 8

13 2 ? 16

【答案】D 【解析】 f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a5 ) ? (2a1 ? cos a1 ) ? (2a2 ? cos a2 ) ???? ? (2a5 ? cos a5 ) ? 5? ,即

? 的等差数列, 8 ? 代入 2(a1 ? a2 ???? ? a5 ) ? (cos a1 ? cos a2 ???? ? cos a5 ) ? 5? ,即 10 a3 ? [cos( a3 ? ) 4 ? ? ? ? ? ? cos( a3 ? ) ? cos a3 ? cos( a3 ? ) ? cos( a3 ? )] ? 5? , (2 cos ? 2cos ? 1) cos a3 8 8 4 4 8 ? ? ? ? ? ? ?10 a3 ? 5? ,? a3 ? .?[ f (a3 )]2 ? a1a5 ? (2 ? ? 0) 2 ? ( ? )( ? ) 不是 ? 的倍数, 2 2 2 4 2 4 13? ? ,故选 D. 16
2(a1 ? a2 ???? ? a5 ) ? (cos a1 ? cos a2 ???? ? cos a5 ) ? 5? ,而 {an } 是公差为
题型 045 函数中的创新题 例题:若函数 f(x)对于任意 x∈[a,b],恒有|f(x)﹣f(a)﹣ (x﹣a)

|≤T(T 为常数)成立,则称函数 f(x)在[a,b]上具有“T 级线性逼近”.下列函数中: ① f(x)=2x+1; 2 ② f(x)=x ; ③ f(x)= ; ④ f(x)=x .
3

68

则在区间[1,2]上具有“ 级线性逼近”的函数的个数为( C ) A.1 B .2 C.3 D.4

例题:对于函数 y ? f ( x) ,如果存在区间 [ m, n] ( m ? n) ,当定义域是 [ m, n] 时, f ( x ) 的 值域也是 [ m, n] ,则称 f ( x ) 在 [ m, n] 上是“和谐函数”,且 [ m, n] 为该函数的“和谐区间”. 现有以下命题: ① f ( x) ? ( x ? 1) 在 ?0,1? 是“和谐函数”;
2

② 恰有两个不同的正数 a 使 f ( x) ? ( x ? 1) 在 ?0, a ? 是“和谐函数”;
2

③ f ( x) ?

④ 由方程 x | x | ? y | y |? 1 确定的函数 y ? f ( x) 必存在“和谐区间”. 其中正确的命题的个数是( C ) . A.1 B.2 C.3 D.4 例题:设函数 f ( x) 的定义域为 D,若存在非零实数 h 使得对于任意 x ? M ( M ? D) ,有

1 ? k 对任意的 k ? R 都存在“和谐区间”; x

x ? h ? D ,且 f (x ?h ) ? f (x ) ,则称 f ( x) 为 M 上的“h 阶低调函数”.给出如下结论:
① 若函数 f ( x) 在 R 上单调递增,则存在非零实数 h 使 f ( x) 为 R 上的“h 阶低调函数”; ② 若函数 f ( x) 在区间 ? a , b ? 上单调递减,则存在非零实数 h 使 f ( x) 为 ? a , b ? 上的“h 阶低调函数”; ③ 若函数 f ( x) 为 R 上的“h 阶低调函数”,则 f ( x) 在 R 上单调递减;
2 ④ 若函数 f ( x) ? ? x 为区间 ? ?? , 1? 上的“h 阶低调函数”, 则 f ( x) 只能是 ? ?? , 1? 上的

“2 阶低调函数” ; ⑤ 若定义域为 R 的函数 f ( x) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? a2 ? a2 且 f ( x) 为 R 上的 8 阶低调函数,那么实数 a 的取值范围是 ? 2 ? a ? 其中正确的结论的序号为 号) . 例 题 : 若 对 任 意 x ? A, y ? B,( A ? R, B ? R)有唯一确定的f ( x, y)与之对应, 则称f ( x, y) 为关于 x、y 的二元函数。现定义 满足下列性质的二元函数 f ( x, y ) 为关于实数 x、y 的广 义“距离”; (1)非负性: f ( x, y) ? 0,当且仅当x ? y 时取等号; (2)对称 性: f ( x, y ) ? f ( y, x) ;
69

2.

① ⑤

(填写所有正确的结论的序

(3)三角形不等式: f ( x, y) ? f ( x, z ) ? f ( z, y) 对任意的实数 z 均成立。
2 在下列三个二元函数① f ( x, y ) ?| x ? y | ;② f ( x, y ) ? ( x ? y ) ;③ f ( x, y) ?

x ? y. 中

能够成为关于 x、y 的广义“距离”的有_________(写出所有满足的函数序号) 例题: 函数 f ( x) 的定义域为 D , 若存在闭区间[m,n] ? D, 使得函数 f ( x) 满足: ① f ( x) 在 [m,n]上是单调函数;② f ( x) 在[m,n]上的值域为[2m,2n],则称区间[m,n]为 y ? f ( x) 的 “倍值区间” .下列函数中存在“倍值区间”的有 ①③④ (填上所有正确的序号) ① f ( x) ? x ( x ? 0) ;
2

② f ( x) ? e ( x ? R ) ;
x

③ f ( x) ?

4x ( x ? 0) ; x ?1
2

④ f ( x) ? log a (a ? )( a ? 0, a ? 1)
x

1 8

, R ? 例题:若对任意 x ? A, y ? B , ( A ?RB

)有唯一确定的 f ( x, y ) 与之对应,则称

f ( x, y ) 为关于 x, y 的二元函数。现定义满足下列性质的二元函数 f ( x, y ) 为关于实数 x, y
的广义“距离” : ( 1 )非负性: f ( x, y ) ? 0 ,当且仅当 x ? y 时取等号; ( 2 )对称性:

f ( x, y ) ? f ( y , x ) ; (3)三角形不等式: f ( x, y) ? f ( x, z ) ? f ( z, y) 对任意的实数 z 均成
立. 今给出三个二元函数,请选出所有能够成为关于 x, y 的广义“距离”的序号: ① f ( x, y) ? x ? y ;② f ( x, y ) ? ( x ? y ) ;③ f ( x, y) ?
2

x ? y .能够成为关于 x, y 的广义
( )

“距离”的是 A.① B.①② C.①②③ D. ①③

训练题 1:对于函数 f ( x ) ,若 f ( x0 ) ? x0 ,则称 x0 为函数 f ( x ) 的“不动点” ;若
2 f ( f ( x0 )) ? x0 , 则称 x0 为函数 f ( x ) 的 “稳定点” .如果函数 f ( x) ? x ? a(a ? R) 的 “稳

定点”恰是它的“不动点” ,那么实数 a 的取值范围是 D

3 3 1 3 1 C. ( ? , ] D. [ ? , ] 4 4 4 4 4 训 练 题 1 : 已 知 函 数 f ( x )? a1 s i n ?( x ?? 1 ? ) a2 s ? ix n? (? 2? ) ? ak ?x s? in ?( k ,
A. (??, ]

1 4

B. (? , ??)

)

( ai ? R ,

i ? 1, 2,3,

k ) .若 f 2 (0) ? f 2 (

? ? ) ? 0 ,且函数 f ( x) 的图像关于点 ( , 0) 对称,并在 2 2?
.
70

x ?? 处 取 得 最 小 值 , 则 正 实 数 ? 的 值 构 成 的 集 合 是
{? | ? ? 2n ? 1, n ? N*}

训练题 1:定义域为 ? a, b? 的函数 y ? f ? x ? 的图象的两个端点为 A,B,M ? x, y ? 是f ? x ? 图象 上 任 意 一 点 , 其 中 x ? ? a ? ?1 ? ?? b? ? ? R ? ,向量 O N ? ? O A? ? 1 ?? ?

O, B 若不等式

1 MN ? k 恒成立, 则称函数 f ? x ? 在? a, b? 上“k 阶线性近似”. 若函数 y ? x ? 在?1 , 2? 上“k x
阶线性近似”,则实数 k 的取值范围是 ( B )

? ?? A. ? ? 2,

?3 ?2

? ?

? ?? B. ? ? 2,

?3 ?2

? ?

C. ?1 , ? ??

D. ? 0, ? ??

训练题 1:能够把圆 O:x2 +y2= 16 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆 O 的 “和谐函数”,下列函数不是圆 O 的“和谐函数”的是 D A. f ( x ) ? 4 x ? x
3

B. f ( x) ? 1n D. f ( x ) ? e ? e
x

5? x 5? x
?x

C. f ( x) ? tan

x 2

训练题 1:某同学在研究函数 f ( x) ? 式的启发, 将 f ( x) 变形为 f ( x) ?

x2 ? 1 ? x2 ? 6 x ? 10 的性质时,受到两点间距离公
( x ? 0) 2 ? (0 ? 1) 2 ? ( x ? 3) 2 ? (0 ? 1) 2 , 则 f ( x)
②③ . (填

表示 | PA | ? | PB | (如图) ,下列关于函数 f ( x) 的描述正确的是 上所有正确结论的序号) ① f ( x) 的图象是中心对称图形; ③函数 f ( x) 的值域为 [ 13, ??) ;

② f ( x) 的图象是轴对称图形; ④方程 f [ f ( x)] ? 1 ? 10 有两个解.

y A(0,1)

O P B(3,-1)

x

训练题 1: 若对于定义在 R 上的函数 f (x) ,其图象是连续不断的, 且存在常数 ? ( ? ? R)使得 f (x + ? ) + ? f (x) = 0 对任意实数 x 都成立,则称 f (x) 是一个“ ? —伴随函数”. 有下列关于 “ ? —伴随函数”的结论: ①f (x) =0 是常数函数中唯一个“ ? —伴随函数”; ②f (x) = x 不是“ ? —伴随函数”; ③f(x) = x2 是一个“ ? —伴随函数”; ④“

1 —伴随函数”至少有一个零点. 2

其中不正确 的序号是________①③(填上所有不 正确 的结论序号) . ... . ..

71

10. 若函数 f(x)对于任意

, 恒有

为常数)

成立,则称函数 f(x)在[a,b]上具有”T 级线性逼近”给出下列函数: ①. ;② ;③ ;④

则在区间[1,2]上具有“ 级线性逼近”的函数的个数为 C A. 1 B. 2
x

C. 3

D. 4

训练题 1:已知函数 f(x)=e +x,对于曲线 y=f(x)上横坐标成等差数列的三个点 A,B, C,给出以下判断: ① △ ABC 一定是钝角三角形; ② △ ABC 可能是直角三角形; ③ △ ABC 可能是等腰三角形; ④ △ ABC 不可能是等腰三角形. 其中,正确的判断是( B) ③ ④ ③ ④ A.① B. ① C. ② D.② 训练题 1:对于定义域为[0,1]的函数 f ( x ) ,如果同时满足以下三个条件: ①对任意的 x ? [0,1] ,总有 f ( x) ? 0 ② f (1) ? 1 ③若 x1 ? 0, x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1,都有

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立; 则称函数 f ( x) 为? 函数.
下面有三个命题:(1)若函数 f ( x ) 为 ? 函数,则 f (0) ? 0 ; (2)函数 f ( x) ?2 x ?1( x ? [0,1]) 是? 函数; (3)若函数 f ( x ) 是 ? 函数,假定存在 x0 ? [0,1] ,使得 f ( x0 ) ?[0,1] ,且 f [ f ( x0 )] ? x0 , 则 f ( x0 ) ? x0 ; 其中真命题 个数有 ( D ) ... A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个

训练题 1:定义域为 ? a, b? 的函数 y ? f ? x ? 的图象的两个端点为 A,B,M ? x, y ? 是f ? x ? 图象 上 任 意 一 点 , 其 中 x ? ? a ? ?1 ? ?? b? ? ? R ? ,向量 O N ? ? O A? ? 1 ?? ?

O, B 若不等式

1 MN ? k 恒成立, 则称函数 f ? x ? 在? a, b? 上“k 阶线性近似”. 若函数 y ? x ? 在?1 , 2? 上“k x
阶线性近似”,则实数 k 的取值范围是 ( B )

72

? ?? A. ? ? 2,

?3 ?2

? ?

? ?? B. ? ? 2,

?3 ?2

? ?

C. ?1 , ? ??

D. ? 0, ? ??

训练题 1:若直角坐标平面内 A、B 两点满足条件:①点 A、B 都在 f ? x ? 的图象上;②点 A、 B 关于原点对称,则对称点对(A,B)是函数的一个“姊妹点对”(点对(A,B)与(B,A)
2 ? ?x ? 2x 看作同一个“姊妹点对”). 已知函数 f ? x ? = ? 2 ? ?e x

x?0 x?0

,则 f ? x ? 的“姊妹点

对”有( C A.1

)个 B.3 C.2 D.4

训 练 题

1 : 设 向 量 a ? (a1 , a2 ) , b ? (b1 , b2 )

, 定 义 一 运 算 :

a ? b ? (a1, a2 ) ? (b1, b2 ) ? (a1b1, a2b2 )
已知 m ? ( , 2) , n ? ( x1 ,sin x1 ) .点 Q 在 y ? f ( x) 的图像上运动,且满足 OQ ? m ? n (其中 O 为坐标原点) ,则 y ? f ( x) 的最大值及最小正周期分别是( C )

1 2

1 C. 2, ? D. 2, 4? , 4? 2 训练题 1:对于定义域为[0,1]的函数 f ( x ) ,如果同时满足以下三个条件: ①对任意的 x ? [0,1] ,总有 f ( x) ? 0 ② f (1) ? 1 ③若 x1 ? 0, x2 ? 0 , x1 ? x2 ? 1,都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立; 则称函数 f ( x ) 为理想函数.
A.

1 ,? 2

B.

? ? ?

下面有三个命题: 若函数 f ( x ) 为理想函数,则 f (0) ? 0 ; 函数 f ( x) ?2 x ?1( x ? [0,1]) 是理想函数; 若函数 f ( x ) 是理想函数,假定存在 x0 ? [0,1] ,使得 f ( x0 ) ?[0,1] ,且 f [ f ( x0 )] ? x0 ,

则 f ( x0 ) ? x0 ; 其中正确的命题个数有( D ) A. 0 个 B.1 个

C.2 个

D.3 个

73


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