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4-6 三角函数的性质 课时规范练


课时规范练(二十五)
π π 1.下列函数中,周期为 π,且在[4,2]上为减函数的是( π A.y=sin(2x+2) π C.y=sin(x+2) 答案 解析 A π π π 对于选项 A,注意到 y=sin(2x+ )=cos2x 的周期为 π,且在[ , ] 2 4 2 π B.y=cos(2x+2) π D.y=cos(x+2) )

上是减函数,故选 A. 2.(2013· 浙江)已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),则“f(x)是 π 奇函数”是“φ=2”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案 解析 B π f(x)是奇函数时,φ=2+kπ(k∈Z); ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

π π φ=2时,f(x)=Acos(ωx+2)=-Asinωx 为奇函数.所以“f(x)是奇函数”是 π “φ=2”的必要不充分条件,选 B. π 3.函数 y=sin(4-x)的一个单调增区间为( 3π 7π A.( 4 , 4 ) π π C.(-2,2) 答案 解析 A π π y=sin(4-x)=-sin(x-4), )

π 3π B.(-4, 4 ) 3π π D.(- 4 ,4)

π π 3π 故由 2kπ+2≤x-4≤2kπ+ 2 ,

3 7 解得 2kπ+4π≤x≤2kπ+4π(k∈Z). π 3 7 因此,函数 y=sin(4-x)的单调增区间为[2kπ+4π,2kπ+4π](k∈Z). 4.函数 f(x)=(1+cos2x)sin2x 是( A.周期为 π 的奇函数 π C.周期为2的奇函数 答案 解析 D 1-cos4x 1 2π π f(x)=(1+cos2x)sin2x=2cos2xsin2x=2sin22x= ,则 T = 4 4 =2 ) B.周期为 π 的偶函数 π D.周期为2的偶函数

且为偶函数. 4π 5.如果函数 y=3cos(2x+φ)的图像关于点( 3 ,0)成中心对称,那么|φ|的最 小值为( π A.6 π C.3 答案 解析 A 8π 8π π 13 依题意得 3cos( 3 +φ)=0,3 +φ=kπ+2, φ=kπ- 6 π(k∈Z), 因此|φ| ) π B.4 π D.2

π 的最小值是6. π 6.(2011· 安徽)已知函数 f(x)=sin(2x+φ),其中 φ 为实数,若 f(x)≤|f(6)|对 x π ∈R 恒成立,且 f(2)>f(π),则 f(x)的单调递增区间是( π π A.[kπ-3,kπ+6](k∈Z) π B.[kπ,kπ+2](k∈Z) π 2π C.[kπ+6,kπ+ 3 ](k∈Z) π D.[kπ-2,kπ](k∈Z) )

答案 解析

C π 由题意知,f(x)在6处取得最大值或最小值,

π ∴x=6是函数 f(x)的对称轴. π π π ∴2×6+φ=2+kπ,φ=6+kπ,k∈Z. π 又由 f(2)>f(π),得 sinφ<0. 5 5 ∴φ=-6π+2kπ(k∈Z),不妨取 φ=-6π. 5π ∴f(x)=sin(2x- 6 ). π 5 π 由 2kπ-2≤2x-6π≤2kπ+2,得 π 2π f(x)的单调递增区间是[kπ+6,kπ+ 3 ](k∈Z). π π 7.已知函数 y=sinωx 在[-3,3]上是增函数,则 ω 的取值范围是( 3 A.[- ,0) 2 3 C.(0,2] 答案 解析 C π π π π 由于 y=sinx 在[-2,2]上是增函数,为保证 y=sinωx 在[-3,3]上 B.[-3,0) D.(0,3] )

π π 3 是增函数,所以 ω>0 且3· ω≤2,则 0<ω≤2. 8.函数 g(x)=sin22x 的单调递增区间是( kπ kπ π A.[ 2 , 2 +4](k∈Z) π B.[kπ,kπ+4](k∈Z) kπ π kπ π C.[ 2 +4, 2 +2](k∈Z) π π D.[kπ+4,kπ+2](k∈Z) )

答案

A

π 9.(2013· 东北四校模拟)已知函数 f(x)=-2sin(2x+φ)(|φ|<π),若 f(8)=-2, 则 f(x)的一个单调递增区间可以是( π 3π A.[-8, 8 ] 3π π C.[- 8 ,8] 答案 解析 D π f(8)=-2, ) 5π 9π B.[ 8 , 8 ] π 5π D.[8, 8 ]

π ∴-2sin(2×8+φ)=-2, π 即 sin(4+φ)=1. π ∵|φ|<π,∴φ=4. π ∴f(x)=-2sin(2x+4). π π 3π 由 2kπ+2≤2x+4≤2kπ+ 2 ,得 π 5π kπ+8≤x≤kπ+ 8 (k∈Z). π 5π 当 k=0 时,8≤x≤ 8 . π 10.将函数 y=sin(6x+4)图像上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍,再向右平 π 移8个单位,得到的函数的一个对称中心是( π A.(2,0) π C.(9,0) 答案 解析 A π 将函数 y=sin(6x+4)图像上各点的横坐标伸长到原来的 3 倍, 得到函 )

π B.(4,0) π D.(16,0)

π π π π 数 y=sin(2x+4)的图像,再向右平移8个单位,得到函数 f(x)=sin[2(x-8)+4]= π sin2x 的图像,而 f(2)=0,故选 A. 11.(2013· 江西)函数 y=sin2x+2 3sin2x 的最小正周期 T 为________. 答案 解析 π π y=sin2x+2 3sin2x=sin2x- 3cos2x+ 3=2sin(2x-3)+ 3, 所以该

2π 函数的最小正周期 T= 2 =π. 12.设函数 f(x)=sin( 3x+φ)(0<φ<π),若函数 f(x)+f′(x)是奇函数,则 φ= ________. 答案 解析 2π 3 π 由题意得 f′(x)= 3cos( 3x+φ), f(x)+f′(x)=2sin( 3x+φ+3)是奇

π π 2π 函数,因此 φ+3=kπ(其中 k∈Z),φ=kπ-3,又 0<φ<π,所以 φ= 3 . π 13.(2011· 辽宁)已知函数 f(x)=Atan(ωx+φ)(ω>0,|φ|<2),y=f(x)的部分图像 π 如图所示,则 f(24)=________.

答案 解析 k∈Z.

3 T 3 π π π π π π π 由图像知 2=8π-8=4,T=2,ω=T=2,2×8+φ=2+kπ,φ=4+kπ,

π π 又|φ|<2,∴φ=4. π ∵函数 f(x)的图像过(0,1),∴f(0)=Atan4=A=1.

π ∴f(x)=tan(2x+4). π π π π ∴f(24)=tan(2×24+4)=tan3= 3. π 4π 2π 14.将函数 y=sin(ωx+φ)(2<φ<π)的图像,仅向右平移 3 ,或仅向左平移 3 , 所得到的函数图像均关于原点对称,则 ω=________. 答案 解析 1 2 T 4π 2π 注意到函数的对称轴之间距离是函数周期的一半, 即有 2 = 3 -(- 3 )

2π 1 =2π,T=4π,即 ω =4π,ω=2. 5π 15.已知函数 f(x)=sinx+acosx 的图像的一条对称轴是 x= 3 ,则函数 g(x) =asinx+cosx 的初相是________. 答案 解析 2 3π 5π f′(x)=cosx-asinx, ∵x= 3 为函数 f(x)=sinx+acosx 的一条对称轴,

5π 5π 5π 3 ∴f′( 3 )=cos 3 -asin 3 =0,解得 a=- 3 . 3 2 3 1 3 ∴g(x)=- 3 sinx+cosx= 3 (-2sinx+ 2 cosx) 2 3 2π = 3 sin(x+ 3 ). 16.已知函数 f(x)=2cos2x+2 3sinxcosx-1(x∈R). (1)求函数 f(x)的周期、对称轴方程; (2)求函数 f(x)的单调增区间. 答案 kπ π (1)T=π,对称轴方程为 x= 2 +6(k∈Z)

π π (2)[kπ-3,kπ+6](k∈Z) 解析 π f(x)=2cos2x+2 3sinxcosx-1= 3sin2x+cos2x=2sin(2x+6).

kπ π (1)f(x)的周期 T=π,函数 f(x)的对称轴方程为 x= 2 +6(k∈Z). π π π π π (2)由 2kπ-2≤2x+6≤2kπ+2(k∈Z),得 kx-3≤x≤kπ+6(k∈Z). π π ∴函数 f(x)的单调增区间为[kπ-3,kπ+6](k∈Z). π 17.(2013· 安徽)已知函数 f(x)=4cosωx· sin(ωx+4)(ω>0)的最小正周期为 π. (1)求 ω 的值; π (2)讨论 f(x)在区间[0,2]上的单调性. 答案 解析 (1)1 π π π (2)增区间[0,8],减区间[8,2]

π (1)f(x)=4cosωx· sin(ωx+4)

=2 2sinωx· cosωx+2 2cos2ωx = 2(sin2ωx+cos2ωx)+ 2 π =2sin(2ωx+4)+ 2. 2π 因为 f(x)的最小正周期为 π,且 ω>0,从而有2ω=π,故 ω=1. π (2)由(1)知,f(x)=2sin(2x+4)+ 2. π π π 5π 若 0≤x≤2,则4≤2x+4≤ 4 . π π π π 当4≤2x+4≤2,即 0≤x≤8时,f(x)单调递增; π π 5π π π 当2≤2x+4≤ 4 ,即8≤x≤2时,f(x)单调递减. π π π 综上可知,f(x)在区间[0,8]上单调递增,在区间[8,2]上单调递减. π π π 18.设函数 f(x)=sin(4x-6)-2cos28x+1. (1)求 f(x)的最小正周期; 4 (2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图像关于直线 x=1 对称,求当 x∈[0,3]时,y =g(x)的最大值.

答案 解析

(1)T=8

3 (2) 2

π π π (1)f(x)=sin(4x-6)-2cos28x+1

π π π π π =sin4xcos6-cos4xsin6-cos4x 3 π 3 π π π = 2 sin4x-2cos4x= 3sin(4x-3), 2π 故 f(x)的最小正周期为 T= π =8. 4 4 2 (2)因区间[0,3]关于 x=1 的对称区间为[3,2],且 y=g(x)与 y=f(x)的图像 关于 x=1 对称, 4 2 故 y=g(x)在[0,3]上的最大值就是 y=f(x)在[3,2]上的最大值. π π 由(1)知 f(x)= 3sin(4x-3). 2 π π π π 当3≤x≤2 时,-6≤4x-3≤6. π π π 2 π 所以当4x-3=6, 即 x=2 时, y=f(x)在[3, 2]上的最大值为 f(x)max= 3sin6= 3 2. 4 3 因此 y=g(x)在[0,3]上的最大值为 2 .


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