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【2016届走向高考】高三数学一轮(人教A版)基础巩固:第1章 第3节 充分条件与必要条件


第一章

第三节

一、选择题 1.(文)如果 x、y 是实数,那么“cosx=cosy”是“x=y”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] B π π [解析] x=y?cosx=cosy,cosx=cosy 时,不一定有 x=y,如 cos =cos(- ),故选 B. 3 3 (理)“α≠β”是“sinα≠sinβ”的( A

.充分而不必要条件 C.充要条件 [答案] B [解析] 命题“若 α≠β,则 sinα≠sinβ”等价于命题“若 sinα=sinβ,则 α=β”,这个命 题显然不正确,故条件是不充分的;命题“若 sinα≠sinβ,则 α≠β”等价于命题“若 α=β, 则 sinα=sinβ”,这个命题是真命题,故条件是必要的.故选 B. 2. (文)(2013· 北京海淀期中)“t≥0”是“函数 f(x)=x2+tx-t 在(-∞, +∞)内存在零点” 的( ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 [答案] A [解析] 函数 f(x)=x2+tx-t 在(-∞,+∞)内存在零点,等价于 t2+4t≥0,即 t≤-4 或 t≥0,故选 A. (理)(2013· 广东汕头质检)“a<-2”是“函数 f(x)=ax+3 在区间[-1,2]上存在零点”的 ( ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 [答案] A [解析] 当 a<-2 时,f(-1)f(2)=(-a+3)(2a+3)<0,所以函数 f(x)=ax+3 在区间[-1,2] 上存在零点;反过来,当函数 f(x)=ax+3 在区间[-1,2]上存在零点时,不能得知 a<-2,如 当 a=4 时, 函数 f(x)=ax+3=4x+3 在区间[-1,2]上存在零点. 因此, “a<-2”是“函数 f(x) =ax+3 在区间[-1,2]上存在零点”的充分不必要条件,选 A. 3.(文)(2013· 吉林长春调研)“直线 l 的方程为 x-y-5=0”是“直线 l 平分圆(x-2)2+(y B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

-1-

+3)2=1 的周长”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] A

) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

[解析] 圆(x-2)2+(y+3)2=1 的圆心坐标为(2,-3),直线 l 经过圆(x-2)2+(y+3)2=1 的圆心, 所以直线 l 平分圆(x-2)2+(y+3)2=1 的周长. 因为过圆心的直线都平分圆的周长, 所以这样的直线有无数多条. 由此可知“直线 l 的方程为 x-y-5=0”是“直线 l 平分圆(x-2)2+(y+3)2=1 的周长” 的充分不必要条件. (理)钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的( A.充分条件 C.充分必要条件 [答案] B [解析] “好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题,根据互为逆否命题的真假一致得 到:“好货不便宜”是真命题. 所以“好货”?“不便宜”, 所以“不便宜”是“好货”的必要条件. 1 4.(文)a=- 是函数 f(x)=ax3+4x+1 在(-∞,-2]上单调递减的( 3 A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] A 1 [解析] a=- 时,若 x≤-2,则 f ′(x)=-x2+4≤0,∴f(x)在(-∞,-2]上单调递减. 3 若 f(x)在(-∞,-2]上单调递减, 4 ∵f ′(x)=3ax2+4,∴3ax2+4≤0,在(-∞,-2]上恒成立,即 a≤- 2恒成立,∴a≤ 3x 1 - .故选 A. 3 (理)(2013· 云南昆明一中检测)已知条件 p:函数 g(x)=logm(x-1)为减函数,条件 q:关于 x 的二次方程 x2-2x+m=0 有解,则 p 是 q 的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 [答案] A
-2-

)

B.必要条件 D.既非充分又非必要条件

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

[解析] 函数 g(x)=logm(x-1)为减函数,则有 0<m<1,即 p:0<m<1.关于 x 的二次方程 x2 -2x+m=0 有解,则判别式 Δ=4-4m≥0,解得 m≤1,即 q:m≤1.所以 p 是 q 的充分而不 必要条件,选 A. 5. (2013· 山东理, 7)给定两个命题 p, q, 若? p 是 q 的必要而不充分条件, 则 p 是? q 的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 [答案] A [解析] 由题意知,q?? p 且? p?/ q,可得 p?? q 且? q?/ p,所以 p 是? q 的充分不必要 条件. 6.(文)(2014· 甘肃省三诊)设 a,b∈R,则(a-b)· a2<0 是 a<b 的( A.充分非必要条件 C.充要条件 [答案] A [解析] 由(a-b)· a2<0?a-b<0?a<b,而 a<b?(a-b)<0?/ (a-b)· a2<0,故选 A. (理)(2014· 豫东豫北十所名校段考)已知数列{an}为等比数列,则 p:a1<a2<a3 是 q:a4<a5 的( ) A.充分而不必要条件 C.充要条件 [答案] A [解析] 设公比为 q,∵a1<a2,∴a1(1-q)<0,又∵a2<a3,∴a1q<a2q2,即 a1q(1-q)<0, ∴q>0,∴a4-a5=a1q3-a1q4=a1q3(1-q),∵q>0,a1(1-q)<0,∴a1q3(1-q)<0,∴a4<a5.反之, 若等比数列{an}为 1,-1,1,-1,1,-1,?,则 a4<a5,而 a1>a2,故选 A. 二、填空题 7.(文)在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 x+(m+1)y=2-m 与直线 mx+2y=-8 互相平行 的充要条件是 m=________. [答案] 1 [解析] 由条件知,1×2-(m+1)m=0, ∴m=1 或-2. 经检验知,当 m=1 时,两直线平行, 当 m=-2 时,两直线重合. (理)有下列命题: ①设集合 M={x|0<x≤3}, N={x|0<x≤2}, 则“a∈M”是“a∈N”的充分而不必要条件; ②命题“若 a∈M,则 b?M”的逆否命题是:若 b∈M,则 a?M; ③若 p∧q 是假命题,则 p、q 都是假命题; B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 B.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

-3-

④命题 p:“?x0∈R,x2 p:“?x∈R,x2-x-1≤0” 0-x0-1>0”的否定? 其中真命题的序号是________. [答案] ②④ [解析] ∵N M,∴a∈M 是 a∈N 的必要不充分条件,∴①为假命题;逆否命题是将原 命题的条件和结论都否定后分别作为新命题的结论与条件, a∈M 否定后 a?M 为结论, b?M 否 定后 b∈M 为条件,故②为真命题;p∧q 为假命题时,p、q 至少有一个为假命题,不一定“p、 q 都是假命题”,故③为假命题;特称命题的否定为全称命题,>的否定为≤,故④为真命题. 8.(2013· 山东临沂期中)已知下列四个命题: 4 ①若 tanθ=2,则 sin2θ= ; 5 ②函数 f(x)=lg(x+ 1+x2)是奇函数; ③“a>b”是“2a>2b”的充分不必要条件; ④在△ABC 中,若 sinAcosB=sinC,则△ABC 是直角三角形. 其中所有真命题的序号是________. [答案] ①②④ [ 解析 ] sin2θ = 2sinθcosθ 2tanθ 4 = = ,所以①正确; f( - x) = lg( - x + 1+x2 ) = sin2θ+cos2θ 1+tan2θ 5

1 lg( )=-f(x),所以②正确;由 2a>2b 可知 a>b,所以“a>b”是“2a>2b”的充要条件,所 x+ 1+x2 以③不正确;由 sinAcosB=sinC 得 sinAcosB=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以 cosAsinB π =0,所以 cosA=0,即 A= ,所以△ABC 是直角三角形,所以④正确.所以真命题的序号是 2 ①②④. x2 y2 9. (文)(2013· 绍兴模拟)“-3<a<1”是“方程 + =1 表示椭圆”的________条件. a+3 1-a [答案] 必要不充分 [解析] 方程表示椭圆时, a+3>0, ? ? 应有?1-a>0, ? ?a+3≠1-a, 解得-3<a<1 且 a≠-1, 故“-3<a<1”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件. [失误与防范] 当 a+3=1-a>0 时,方程表示圆. 1 1 (理)已知不等式|x-m|<1 成立的充分不必要条件是 <x< ,则 m 的取值范围是________. 3 2 1 4 [答案] [- , ] 2 3
-4-

1 1 [解析] 由题意知:“ <x< ”是“不等式|x-m|<1”成立的充分不必要条件. 3 2 1 1 所以{x| <x< }是{x||x-m|<1}的真子集. 3 2 而{x||x-m|<1}={x|-1+m<x<1+m},

?-1+m≤3, 所以有? 1 ?1+m≥2,
1 4 解得- ≤m≤ . 2 3 1 4 所以 m 的取值范围是[- , ]. 2 3 三、解答题 10.已知 p:|x-3|≤2,q:(x-m+1)(x-m-1)≤0,若? p 是? q 的充分而不必要条件,求 实数 m 的取值范围. [解析] 由题意 p:-2≤x-3≤2,∴1≤x≤5. ∴? p:x<1 或 x>5.q:m-1≤x≤m+1, ∴? q:x<m-1 或 x>m+1. 又∵? p 是? q 的充分不必要条件,
? ?m-1≥1, ∴? 且等号不同时取得. ? ?m+1≤5.

1

∴2≤m≤4.

一、选择题 11.(文)已知 a、b 为实数,则“2a>2b”是“lna>lnb”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 [答案] B [解析] ∵2a>2b?a>b, 而 lna>lnb?a>b>0, 因此“2a>2b”是“lna>lnb”的必要而不充分条件,选 B. (理)已知 α、β 表示两个不同的平面,m 是一条直线且 m?α,则“α⊥β”是“m⊥β”的 ( ) A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

-5-

[答案] B [解析] m⊥β? ? ??α⊥β;但 α⊥β 时,设 α∩β=l,当 m∥l 时,m 与 β 不垂直,故选 B. ? m?α? )

12.(文)△ABC 中“cosA=2sinBsinC”是“△ABC 为钝角三角形”的( A.必要不充分条件 C.充要条件 [答案] B [解析] cosA=-cos(B+C)=-cosBcosC+sinBsinC=2sinBsinC, π ∴cos(B-C)=0.∴B-C= . 2 π π ∴B= +C> ,故为钝角三角形,反之显然不成立,故选 B. 2 2 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

π (理)(2013· 浙江金华十校联考)设角 α,β 是锐角,则“α+β= ”是“(1+tanα)(1+tanβ)= 4 2”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] C π [解析] 因为 α+β= , 4 tanα+tanβ 所以 tan(α+β)=1= . 1-tanαtanβ

则 tanα+tanβ=1-tanαtanβ,即(1+tanα)(1+tanβ)=2. π 故“α+β= ”是“(1+tanα)(1+tanβ)=2”的充分条件; 4 由(1+tanα)(1+tanβ)=2,可得 tanα+tanβ=1-tanαtanβ, 所以 tan(α+β)= tanα+tanβ =1, 1-tanαtanβ

π 由 α,β 是锐角,如 α+β∈(0,π),可得 α+β= , 4 π 故“α+β= ”是“(1+tanα)(1+tanβ)=2”的必要条件. 4 π 综上可知,“α+β= ”是“(1+tanα)(1+tanβ)=2”的充要条件. 4 13.(文)设 x、y 是两个实数,命题“x、y 中至少有一个数大于 1”成立的充分不必要条件 是( ) A.x+y=2 C.x2+y2>2 B.x+y>2 D.xy>1

-6-

[答案] B [解析] 命题“x、y 中至少有一个数大于 1”等价于“x>1 或 y>1”.若 x+y>2,必有 x>1 或 y>1,否则 x+y≤2;而当 x=2,y=-1 时,2-1=1<2,所以 x>1 或 y>1 不能推出 x+y>2. 对于 x+y=2,当 x=1,且 y=1 时,满足 x+y=2,不能推出 x>1 或 y>1.对于 x2+y2>2,当 x< -1,y<-1 时,满足 x2+y2>2,不能推出 x>1 或 y>1.对于 xy>1,当 x<-1,y<-1 时,满足 xy>1,不能推出 x>1 或 y>1.故选 B.
? ?log2x?x≥1?, (理)已知函数 f(x)=? 则“c=-1”是“函数 f(x)在 R 上递增”的( ? ?x+c?x<1?.

)

A.充分而不必要条件 C.充要条件 [答案] A

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?log2x?x≥1?, ? [解析] 当 c=-1 时,函数 f(x)=? 易知函数 f(x)在(-∞,1)、(1,+∞)上 ?x-1?x<1?. ?

分别是增函数, 且注意到 log21=1-1=0, 此时函数 f(x)在 R 上是增函数; 反过来, 当函数 f(x) 在 R 上是增函数时, 不能得出 c=-1, 如 c=-2, 此时也能满足函数 f(x)在 R 上是增函数. 综 上所述,“c=-1”是“函数 f(x)在 R 上递增”的充分不必要条件,选 A. 14.“m>0>n”是“方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 x 轴上的双曲线”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 [答案] C x2 y2 [解析] 当 m>0,n<0 时,方程 mx2+nx2=1,化为 - =1 表示焦点在 x 轴上的双曲 1 1 - m n 线,若方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 x 轴上的双曲线,则应有 m>0,n<0,故选 C. 15.(2014· 辽宁省协作校联考)以下判断正确的是( ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

A.函数 y=f(x)为 R 上可导函数,则 f ′(x0)=0 是 x0 为函数 f(x)的极值点的充要条件 B.命题“存在 x∈R,x2+x-1<0”的否定是“任意 x∈R,x2+x-1>0” C.命题“在△ABC 中,若 A>B,则 sinA>sinB”的逆命题为假命题 D.“b=0”是“函数 f(x)=ax2+bx+c 是偶函数”的充要条件 [答案] D [解析] 若 x0 是 f(x)的极值点, 则 f ′(x0)=0, 但 f ′(x0)=0 时, x0 不一定为 f(x)的极值点, ∴A 错;“<”的否定应为“≥”,∴B 错;在△ABC 中,A>B?sinA>sinB,∴该命题的逆命题 为真命题,∴C 错;函数 f(x)=ax2+bx+c 是偶函数?f(-x)=f(x)?ax2-bx+c=ax2+bx+c? 2bx=0 恒成立?b=0. 二、填空题
-7-

16.(2013· 衡阳六校联考)已知命题 p:|x-1|+|x+1|≥3a 恒成立,命题 q:y=(2a-1)x 为 减函数,若“p 且 q”为真命题,则 a 的取值范围是________. 1 2 [答案] ( , ] 2 3 [解析] 注意到|x-1|+|x+1|≥|(x-1)-(x+1)|=2,-1≤x≤1 时,等号成立,即|x-1|+ 2 |x+1|的最小值是 2.若不等式|x-1|+|x+1|≥3a 恒成立,则 3a≤2,即 a≤ .若函数 y=(2a-1)x 3 1 为减函数,则 0<2a-1<1,即 <a<1.由“p 且 q”为真命题得,命题 p、q 均为真命题,因此有 2

?a≤3 ?1 ?2<a<1

2

1 2 1 2 ,即 <a≤ ,故 a 的取值范围是( , ]. 2 3 2 3

17.(文)给出下列命题: ①“m>n>0”是“方程 mx2+ny2=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的充要条件. ②对于数列{an},“an+1>|an|,n=1,2,?”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件. ③已知 a、b 为平面上两个不共线的向量,p:|a+2b|=|a-2b|;q:a⊥b,则 p 是 q 的必 要不充分条件. 2 2 ④“m>n”是“( )m<( )n”的充分不必要条件. 3 3 其中真命题的序号是________. [答案] ①② 1 1 x2 y2 [解析] ①∵m>n>0,∴0< < ,方程 mx2+ny2=1 化为 + =1,故表示焦点在 y 轴上 m n 1 1 m n 的椭圆,反之亦成立.∴①是真命题; ②对任意自然数 n, an+1>|an|≥0, ∴an+1>an, ∴{an}为递增数列; 当取 an=n-4 时, 则{an} 为递增数列,但 an+1>|an|不一定成立,如 a2>|a1|就不成立.∴②是真命题; ③由于|a+2b|=|a-2b|?(a+2b)2=(a-2b)2?a· b=0?a⊥b,因此 p 是 q 的充要条件,∴ ③是假命题; 2?x ?2?m<?2?n,反之,当(2)m<?2?n 时,有 m>n,因此 ④∵y=? 是减函数,∴当 m > n 时, ?3? ?3? ?3? 3 ?3? 2?m ?2?n m>n?? ?3? <?3? ,故④是假命题. 4x+3y-12≥0, ? ? (理)设 p:?3-x≥0, ? ?x+3y≤12, 则 r 的取值范围是________.

q:x2+y2>r2(x,y∈R,r>0),若 p 是 q 的充分不必要条件,

-8-

12 [答案] (0, ) 5 4x+3y-12≥0 ? ? ?? ? 设 A=??x,y???3-x≥0 ? ? ? ??x+3y≤12

[解析]

? ? ?,B={(x,y)| ? ?

x2+y2>r2,x,y∈R,r>0},

则集合 A 表示的区域为图中阴影部分,集合 B 表示以原点为圆心,以 r 为半径的圆的外 部,设原点到直线 4x+3y-12=0 的距离为 d,则 |4×0+3×0-12| 12 d= = , 5 5 12 ∵p 是 q 的充分不必要条件,∴A B,则 0<r< . 5 三、解答题 18.(文)已知两个关于 x 的一元二次方程 mx2-4x+4=0 和 x2-4mx+4m2-4m-5=0, 求两方程的根都是整数的充要条件. [解析] ∵mx2-4x+4=0 是一元二次方程,∴m≠0. 又另一方程为 x2-4mx+4m2-4m-5=0,且两方程都要有实根,
? ?Δ1=16?1-m?≥0, 5 ∴? 解得 m∈[- ,1]. 2 2 4 ?Δ2=16m -4?4m -4m-5?≥0, ?

∵两方程的根都是整数,故其根的和与积也为整数,

? ?m∈Z, ∴?4m∈Z, ? ?4m -4m-5∈Z.
2

4

∴m 为 4 的约数.

5 又∵m∈[- ,1],∴m=-1 或 1. 4 当 m=-1 时,第一个方程 x2+4x-4=0 的根不是整数; 而当 m=1 时,两方程的根均为整数, ∴两方程的根均为整数的充要条件是 m=1. a (理)(2014· 黑龙江大庆实验中学期中)设命题 p:函数 f(x)=lg(ax2-x+ )的定义域为 R; 16 命题 q:3x-9x<a 对一切实数 x 恒成立,如果命题“p 且 q”为假命题,求实数 a 的取值范围.

-9-

a>0, ? ? a [解析] 命题 p: 对于任意的 x∈R, ax -x+ >0 恒成立, 则需满足? a2 16 Δ=1- <0 ? 4 ?
2

?a>2,

1 1 1 1 q:g(x)=3x-9x=-(3x- )2+ ≤ 恒成立?a> . 2 4 4 4 因为“p 且 q”为假命题,所以 p,q 至少一假. 1 (1)若 p 真 q 假,则 a>2 且 a≤ ,a 不存在; 4 1 1 (2)若 p 假 q 真,则 a≤2 且 a> ,∴ <a≤2; 4 4 1 1 (3)若 p 假 q 假,则 a≤2 且 a≤ ,∴a≤ . 4 4 综上知,a≤2.

- 10 -


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