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必修五1-2第2课时正弦定理,余弦定理在三角形中的应用


第2课时 正、余弦定理在三角形中的应用 【课标要求】 1.掌握三角形的面积公式. 2.会用正、余弦定理计算三角形中的一些量. 【核心扫描】 1.计算三角形的面积.(重点) 2.利用面积公式、正、余弦定理及三角函数公式、三角 恒等变换、平面向量等知识求解一些综合问题.(难点) 课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练 自学导引 三角形常用面积公式 1 (1)S= a· h (h 表示 a 边上的高); 2 a a 1 1 1 (2)S= absin C= acsin B = bcsin A ; 2 2 2 1 (3)S= r(a+b+c)(r 为三角形内切圆半径). 2 课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练 :已知三角形ABC的三边长a,b,c,你能计算该 三角形的面积吗? 提示:可以用余弦定理计算cos C,再得出sin C,利用 1 S= absin C可求. 2 课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练 名师点睛 运用三角形面积公式时应注意的问题. (1)利用三角形面积公式解题时,常常要结合三角函数的 有关公式. (2)解与三角形面积有关的问题,常需要利用正弦定理、 余弦定理,解题时要注意发现各元素之间的关系,灵活运 用公式. (3)对于求多边形的面积问题可通过分割转化为几个三角 形面积的和. 课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练 题型一 三角形的面积计算问题 【例1】 在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, π 4 B= ,cos A= ,b= 3. 3 5 (1)求sin C的值; (2)求△ABC的面积. π 4 [思路探索] 由 B= ,cos A= 及三角函数诱导公式计算 3 5 出 sin C,再利用正弦定理及三角形面积公式求面积. 课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练 解 π 4 (1)因为角 A,B,C 为△ABC 的内角,且 B= ,cos A= , 3 5 2π 3 所以 C= -A,sin A= . 3 5 于是 sin ?2π ? C=sin? -A?= ?3 ? 3+4 3 3 1 cos A+ sin A= . 2 2 10 3+4 3 3 π (2)由(1)知 sin A= ,sin C= .又因为 B= ,b= 3, 5 10 3 bsin A 6 所以在△ABC 中,由正弦定理得 a= = . sin B 5 于是△ABC 的面积 3+4 3 36+9 3 1 1 6 S= absin C= × × 3× = . 2 2 5 10 50 课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练 求三角形的面积,要充分挖掘题目中的 条件,使之转化为求两边或两边之积及其夹角正 弦的问题,要注意方程思想在解题中的应用,另 外也要注意三个内角的取值范围,以避免由三角 函数值求角时出现增根错误. 课前探究学习 课堂讲练互动 活页规范训练 【变式1】 在△ABC中,c=2 2 ,a>b,tan A+tan B=5, tan A· tan B=6,试求a,b及△ABC的面积. 解 ∵tan A+tan B=5,tan A· tan B=6,且a>b, ∴tan A=3,tan B=2,A,B都是锐角. 3 10 10 5 2 5 ∴sin A= ,cos A= ,cos B= ,sin B= , 10 10 5 5 2 sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= . 2 6 10 8 5 a b c 由正弦定

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