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高一数学寒假课程第2讲-函数的解析式、定义域和值域


寒假课程· 高一数学

第二讲 函数的解析式、定义域和值域
一、知识梳理
1.函数的概念 设集合 A 是一个非空的数集,对 A 中的任意数 x ,按照确定的法则 f ,都有唯一确定的数 y 与它对 应,则这种对应关系叫做集合 A 上的一个函数.记作 y ? f ( x) , x ? A . 函数的本质含义是定义域内任一 x 值,必须有且仅有惟一的 y 值与之对应. 函数的定义域与值域:函数的定义中,自变量 x 取值的范围叫做这个函数的定义域;所有函数值构成 的集合

?y

y ? f ( x), x ? A?叫做这个函数的值域.

确定一个函数的两个要素:定义域,对应法则. 函数好比数的加工厂,定义域是加工范围,值域是产品系列, f 是加工手段. 2.函数的表示法:列表法,图象法,解析法. 图象法和解析法是考查的重点. 3.映射的概念 设 A,B 是两个非空的集合,如果按照某种对应法则 f ,对 A 中的任意一个元素 x ,在 B 中有一个 且仅有一个元素 y 与 x 对应,则称 f 是集合 A 到集合 B 的映射. 这时,称 y 是 x 在映射 f 作用下的象,记作 f ( x) ,于是 y = f ( x) , x 称作 y 的原象. 映射 f 也可记为

f :A?B

x ? f ( x)

其中 A 叫做映射 f 的定义域,由所有象 f ( x) 构成的集合叫做映射 f 的值域.

二、方法归纳
求函数的解析式的一般方法:配凑法、换元法、待定系数法、特殊值法等等. 求函数的定义域的一般原则:分母不为零,偶次根下的式子不负,零的零次幂没意义,零和负数无对 数,等等. 求函数的值域的常见方法:直接法、配方法、换元法、判别式法、数形结合法、反函数法、单调性法 等等. 判断某“对应法则”是否为 A→B 的映射,主要表现为“一对一”及“多对一”的两种特殊对应;应 特别注意:① A 中任一元素在 B 中应有象,且象唯一;② B 中可以有空闲元素,即 B 中可以有元素没有原 象.

三、典型例题精讲
1

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【例 1】如果 f ( x ? 1) ? x ? 5x ? 4 ,那么 f ( x) =
2 2 2

.

解析:方法一(配凑法)∵ f ( x ? 1) ? x ? 5x ? 4 = ( x ? 1 ? 1) ? 5( x ? 1 ? 1) ? 4 ,

∴ f ( x) = ( x ? 1) 2 ? 5( x ? 1) ? 4 = x 2 ? 7 x ? 10 .
2 方法二 (换元法) 设 x ? 1 ? t , 则 x ? t ? 1, 于是 f (t ) ? (t ? 1) ? 5(t ? 1) ? 4 = t 2 ? 7t ? 10 ,

即 f ( x) = x 2 ? 7 x ? 10 . 技巧提示: (1)凑配法:若已知 f ( g ( x)) 的表达式,需求 f ( x) 的表达式,可把 g ( x) 看成一个整体, 把右边变为由 g ( x) 组成的式子,再将 g ( x) 统一换为 x ,求出 f ( x) 的表达式. (2) 换元法: 已知 f ( g ( x)) 的表达式, 需求 f ( x) , 我们常设 t ? g ( x) , 从而求得 x ? g (t ) , 然后代入 f ( g ( x)) 的表达式,从而得到 f (t ) 的表达式,即为 f ( x) 的表达式. 用凑配法和换元法求 f ( x) 的解析式时,不单是关注对应法则的变化,还需要考虑定义域的变化. 又例:已知 f (2 x ? 1) ? 4 x ? 1, 1 ? x ? 3 ,求函数 f ( x) . 错解分析:∵ f (2 x ? 1) ? 4 x ? 1= 2(2 x ? 1) ? 3 ,∴ f ( x) = 2 x ? 3 , 1 ? x ? 3 . 定义域是函数的一个要素,没有考虑定义域的变化,所求函数出错. 解析:∵ f (2 x ? 1) ? 4 x ? 1= 2(2 x ? 1) ? 3 , 又∵1 ? x ? 3 ,有 1 ? 2 x ? 1 ? 5 ,∴ f ( x) = 2 x ? 3 , 1 ? x ? 5 . 再例:已知函数 f ( x) 满足 f (loga x) =
?1

a 1 ( x ? ) ( a >0, a ≠1, x >0),求 f ( x) 的表达式. x a ?1
2

错解分析:令 t ? loga x ,于是 a >1, t >0; 0 ? a ? 1 , t <0. 将 x ? a t 代入,得 f (t ) =

a ( a t ? a ?t ) , a ?1
2

∴ f ( x) =

a (a x ? a ? x ) ( a >1, x >0; 0 ? a ? 1 , x <0) . a ?1
2

在 a >0, a ≠1, x >0 的条件下, loga x ? t ? R . 解析:令 t ? loga x , t ? R , 将 x ? a t 代入,得 f (t ) =

a ( a t ? a ?t ) a ?1
2

∴ f ( x) =

a (a x ? a ? x ) ( a >0, a ? 0 , x ? R ) . a ?1
2

2

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【例 2】已知二次函数 f ( x) = ax2 ? bx ? c 满足

f (1) ? f (?1) ? f (0) ? 1 ,求 f ( x) 的表达式

新疆 源头学子小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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解析:由 f (1) ? a ? b ? c , f (?1) ? a ? b ? c , f (0) ? c .



1 ? ?a ? 2 [ f (1) ? f (?1)] ? f (0) ? 1 ? 并且 f (1) , f (?1) , f (0) 不能同时等于 1 或-1, ?b ? [ f (1) ? f (?1)] 2 ? ?c ? f (0) ? ?

所以所求函数为: f ( x) = 2 x 2 ? 1 或 f ( x) = ? 2 x 2 ? 1或 f ( x) = ? x 2 ? x ? 1 或 f ( x) = x 2 ? x ? 1 或 f ( x) = ? x 2 ? x ? 1 或 f ( x) = x 2 ? x ? 1 . 技巧提示:待定系数法:若已知 f ( x) 的结构时,可设出含参数的表达式,再根据已知条件,列方程 或方程组,从而求出待定的参数,求得 f ( x) 的表达式. 又例:已知一次函数 f ( x) 满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) = 2 x ? 17 ,求 f ( x) 的表达式. 解析:设 f ( x) = kx ? b ,则 3 f ( x ? 1) = 3kx ? 3k ? 3b , 2 f ( x ? 1) = 2kx ? 2k ? 2b , 由 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) = 2 x ? 17 ,得 kx ? 5k ? b ? 2 x ? 17 . 比较系数及常数项,得 ?

? k?2 k ? 2 , b ? 7 .∴f ( x) = 2 x ? 7 . ,∴ ?5k ? b ? 17

再例:如果函数 f ( x) ? 的解析式.

1 x2 ? a (b, c ?N+)满足 f (0) =0, f (2) =2,且 f (?2) < ? .求函数 f ( x) 2 bx ? c

?a ? 0 ?a ? 0 x2 ? 解析:依题意,得 ? 4 ? a ,即 ? .∴f ( x) ? . bx ? 2 b ? 2 2 b ? c ? 2 ? 2 ? ? ? 2b ? c
又由 f ( ?2) ? ?

1 4 1 ?? . ,得 2 ? 4b ? 2 2 5 b =1 或 b =2. .∴ 2

2b ? 1 ? 0 , b ? b∈ ∵ N+,∴

又 2b ? c =2,故当 b =1 时, c =0,不符合题意; 当 b =2 时, c =2.∴ f ( x) ?

x2 ( x ? 1) . 2x ? 2
3

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【例 3】 已知 f ( x) 满足对任意 x ? R , x ? 0 ,有 2 f ( x ) ? f ( ) ? 2 x .求 f ( x) .

1 x

解析:∵2 f ( x ) ? f ( ) ? 2 x

1 x

……①

将x用

1 1 2 代之,得 2 f ( ) ? f ( x) ? ……② x x x

由① ,② 得 f ( x) ?

4x ?

2 x ? 4x? 2 . 3 3 3x

技巧提示:若已知以函数为元的方程形式,若能设法构造另一个方程,组成方程组,再解这个方程组, 求出函数元,称这个方法为消元法. 又例: 设 f ( x) 满足 f (0) =1, 并且 f ( x ? y) ? f ( x) ? y(2 x ? y ? 1) 对任意实数 x 、y 都成立, 求 f ( x) 的解析式. 解析:方法一 :由 f (0) =1, f ( x ? y) ? f ( x) ? y(2 x ? y ? 1) 令 x = y ,得 f (0) ? f ( x) ? x(2x ? x ? 1) ? f ( x) ? x ? x ,
2

∴ f ( x) = x 2 ? x ? 1 .

方法二:令 x =0,得 f (? y) ? f (0) ? y(? y ? 1) ? 1 ? y ? y ? (? y) ? (? y) ? 1,
2 2

∴ f ( x) = x 2 ? x ? 1 .

技巧提示:赋值法:在求某些函数的表达式或求某些函数值时,有时把已知条件中的某些变量赋值, 使问题简单明了,从而易于求出函数的表达式. 【例 4】求函数 y ?

1 ? 9 ? x 2 的定义域. ln(x ? 1)

解析:这个函数是两项之和,由第一项有: ?

?x ? 1 ? 0 ? x ? 1 , ?? ? x ? 1 ? 1 ?x ? 2

由第二项有: 9 ? x 2 ? 0 , ? ?3 ? x ? 3 , 取两者之交集,得所求函数的定义域为 (1,2) ? (2, 3? .

4

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技巧提示:求函数的定义域就是要使函数有意义,目前我们知道:分母为零无意义,负数开偶次方无 意义,零的零次幂没意义,零和负数的对数无意义等等.求函数的定义域往往需要解不等式或不等式组; 使函数有意义就要使函数的每一部分都要有意义,所以通常需要求数集的交集. 又例:(1)函数 f ?x ? ?

4? x ? log3 ?x ? 1? 的定义域是 x ?1
.



(2)函数

y ? log 2 (3x ? 2) 的定义域是
3

?4 ? x ? 0 ?x?4 ? ? 解析: (1)要使函数 f ( x) 有意义,必须有 ? x ? 1 ? 0 ,即 ? x ? 1 . ? x ? ?1 ?x ?1 ? 0 ? ?
应填: (?1,1) ? (1,4] . (2)要使函数有意义,必须有 log 2 (3x ? 2) ≥0,
3



0 ? 3x ? 2 ? 1 ,即
?e x ?x
2

2 ? x ? 1 .应填: ( 2 ,1] . 3 3
.

再例:函数 y ? ?

x?0 0 ? x ?1

的定义域是

解析:这是分段函数,其定义域应是各段函数定义域的并集,应填: (??,1? . 【例 5】 若 y ? f ( x) 的定义域为 ?0,2? ,则 f (ln x) 的定义域是 解析: 由 0 ? ln x ? 2 , 有 e 0 ? x ? e 2 得 f (ln x) 的定义域为 [1, e ] .应填: [1, e ] . 技巧提示:函数 y ? f ( x) 的定义域为 ?0,2? ,意思是 f 只能对 ?0,2? 中的数作用,也就是对 ?0,2? 中的数
2 2



f 才有意义.函数 f (ln x) 要有意义,必须 f 对 ln x 能作用,所以必须 0 ? ln x ? 2 .
又例:已知函数 f ( x) ? A.0< m ≤4

mx2 ? mx ? 1 的定义域是全体实数,则 m 的取值范围是(
C. m ≥4 D.0≤ m ≤4



B.0≤ m ≤1

错解分析:由 m x2 ? m x ? 1 ≥0对全体实数都成立,得 ? ∴m 的取值范围是 0< m ≤4.故选 A. 解析:由 m x2 ? m x ? 1 ≥0 对全体实数都成立,得
5

?m ? 0 ? m?0 ,即 ? 2 . ?? ? 0 ?m ? 4m ? 0

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当 m =0 时,1≥0,对全体实数都成立; 当 m ≠0 时, ?

?m ? 0 ,即 ?? ? 0

? m?0 . ? 2 ?m ? 4m ? 0

∴m 的取值范围是 0≤ m ≤4.故选 B. 技巧提示:这是求函数的定义域的逆问题,即给定函数的定义域,求参数的取值范围.此问题转化为 不等式恒成立问题,但要注意二次函数的二次项系数为字母时的分类讨论.

再例:已知函数 f ( x) ?

(a 2 ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ?

2 的定义域为 R ,求实数 a 的取值范围. a ?1
2 ? 0 恒成立. a ?1

解析:由题意知 x ? R 时, (a ? 1) x ? (a ? 1) x ?
2 2

(1)当 a 2 ? 1 ? 0 且 a ? 1 ? 0 时,有 a =1,此时 f ( x) =1,

显然对 x ? R 时, (a ? 1) x ? (a ? 1) x ?
2 2

2 ? 0 恒成立. a ?1

?a 2 ? 1 ? 0 ? (2)当 a 2 ? 1 ? 0 时,有 ? ,解不等式组得1 ? a ? 9 . 2 2 2 ?0 ?? ? (a ? 1) ? 4(a ? 1) ? a ?1 ?
综上知,当 x ? R 时,使得 f ( x) 有意义的 a 的取值范围是[1,9]. 【例 6】 求函数 y ? 2 ? ? x 2 ? 4 x 的值域. 解析:本题中含有二次函数可利用配方法求解,为便于计算不妨设 f ( x) ? ? x ? 4x( f ( x) ? 0) ,
2

配方得 f ( x) ? ?( x ? 2) ? 4( x ? 0, 4 ) .
2

? ?

利用二次函数的相关知识得 f ( x) ? ?0, 4? ,从而得出所求函数的值域为 技巧提示:配方法能解决与二次函数有关的函数的值域问题.
2 本题可以直接配方,得 y ? 2 ? ? x 2 ? 4 x = 2 ? 4 ? ( x ? 2) ,

y?? ?0, 2? .

然后经分析得所求函数的值域为 y ? ? ?0, 2? ,因此,有时直接分析也能得到函数的值域.
2 又例:求 y ? ? x ? 4 ? 2 的值域.

6

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解析:由绝对值知识及二次函数值域的求法易得 ? x 2 ? 4 ? ?0, ? ? ? , ∴ ? x 2 ? 4 ? 2 ? ?? 2, ? ? ? ,∴ y ? ?? 2, ? ?? . 再例:求函数 y ?

x2 ? x 的值域. x2 ? x ?1

解析:观察分子、分母中均含有 x 2 ? x 项,可先变形后再采取分析法.

y?

x2 ? x x2 ? x ?1?1 ? ? 1? x2 ? x ?1 x2 ? x ?1

1 . 1 2 3 (x ? ) ? 2 4

4 1 ≤ , 1 3 3 (x ? )2 ? 2 4 4 1 1 1 - ≤- <0,- ≤1- <1, 1 2 3 1 2 3 3 3 (x ? ) ? (x ? ) ? 2 4 2 4
由 (x ? ∴ 所求函数的值域为 y ? ?? ,1? . 技巧提示:配方法、分析法、配方分析法都是解决含 x 2 项的函数值域问题的重要方法.本题亦可采用 判别式法: 将y?

1 2 1 3 3 ) ≥0,有 ( x ? ) 2 ? ≥ , 0< 2 2 4 4

? 1 ? 3

x2 ? x 2 重新整理为关于 x 的二次方程,得 ( y ? 1) x ? ( y ? 1) x ? y ? 0 , 2 x ? x ?1

这个关于 x 的二次方程有解,∴ y ? 1 且判别式△ ≥0, 由△ ≥0,得 ( y ? 1) ? 4( y ? 1) y ≥0, ∴?
2

1 ? y ?1. 3

∴ 所求函数的值域为 y ? ?? ,1? .

? 1 ? 3

【例 7】已知函数 y ?

2 x 2 ? ax ? b 的值域为[1,3],求 a 、 b 的值. x2 ?1
2

解析:由题意知 x ? R ,把原函数变形为 ( y ? 2) x ? ax ? y ? b ? 0 当 y ? 2 ? 0 时,满足题意; 当 y ? 2 ? 0 时,因 x ? R ,所以 ? ? a ? 4( y ? 2)( y ? b) ? 0 ,
2

7

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即 4 y ? 4(b ? 2) y ? 8b ? a ? 0 .
2 2

∵1 ? y ? 3 ,∴ 1 和 3 是方程 4 y ? 4(b ? 2) y ? 8b ? a ? 0 的两个实根,
2 2

由韦达定理解得 a ? ?2,b ? 2 . 技巧提示:这是求函数的值域的逆问题,即在给定函数值域的条件下求参数的值.解决此问题的关键 在于把求值域的问题和解一元二次不等式的问题联系起来,最后通过比较同解不等式的系数,列方程求出 参数的值.

x 2 ? 2x ? a , x ? ?1,??? . 又例:已知 f ( x) = x
(1)当 a =

1 时,求函数 f ( x) 的最小值; 2

(2)若对任意 x ? ?1,??? , f ( x) >0 恒成立,试求实数 a 的取值范围.

1 1 x 2 ? 2x ? a 1 2 ? 2=( x ? ) ?2? 2, 解析: (1)当 a = 时, f ( x) = =x? 2 2x x 2x
∵ 函数 x ?

1 2x

在 x ? ?1,??? 上是增函数,∴ x ?

1 2x

≥1 ?

1 2

>0,

∴( x ?

1 2x

) 2 在 x ? ?1,??? 上是增函数,于是 ( x ?
1

1 2x

) 2 ≥ (1 ?

1

3 )2 ≥ ? 2 2 2

∴ f ( x) = ( x ?

3 7 )2 ? 2 ? 2 ≥ ? 2 ? 2 ? 2 = , 2 2 2x

所以 f ( x) 的最小值为

7 . 2

(2) f ( x) >0 即为 x ?

a ? 2 >0,又 x ? ?1,??? ,∴ a > ? x 2 ? 2 x 恒成立. x
2 2

而当 x ? ?1,??? 时, ? x ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1) ≤-3,∴a >-3.

四、课后训练
1.已知 f ( x ) ? log2 x ,则 f (8) ? (
6



A.

4 3

B. 8

C.18
8

D.

1 2

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2.已知函数 f ( n) = ? A.2 3.若函数 f ( x) = A.3

?n ? 3(n ? 10), 其中 n ∈ N,则 f (8) 等于( ) ? f [ f (n ? 5)](n ? 10),
B.4 C.6 D.7 )

mx 3 ( x ≠ )在定义域内恒有 f ( f ( x)) = x ,则 m =( 4 4x ? 3 3 3 B. C.- D. -3 2 2
2

4. (1)已知 f ( x) 的定义域为 ? ?2, 2? ,求 f ( x ? 1) 的定义域; (2)已知 f ( x) 的定义域为 ?0,1? ,求函数 F ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x ? a) 的定义域.

5.已知函数 f ( x ) ?

kx ? 7 的定义域是 R ,求实数 k 的取值范围. kx ? 4kx ? 3
2

6.已知函数 f ( x) = log 2

1? x . 1? x

(1)求证: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (

x1 ? x2 ); 1 ? x1 x2

(2)若 f (

a?b 1 ) =1, f ( ?b) ? ,求 f (a ) 的值. 1 ? ab 2

7.求函数 y ?

2x 2 ? 4x ? 7 的值域. x 2 ? 2x ? 3

8.求函数 y ? 2x ? 3 ? 13 ? 4x 的值域. 9.求函数 y = 10.求函数 y=

ax 2 ? x ? 1 ( x >-1 且 a >0)的最小值. x ?1

x ? 1 ? x 的最大值和最小值.

五、参考答案
1.答案:D 解析:由 f ( x ) ? log2 x ,知 x ? 0 ,令 x ? 8 ,得 x ? 2 ,∴ f (8) ? log 2 x ?
6
6

1 2

1 ,故选 D. 2

2.答案:D 解析: f (8) = f ( f (13)) = f (10) =7,故选 D. 3.答案: A
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mx 解析: ∵ f ( x) = .∴ f ( f ( x)) = 4x ? 3

mx 4 x ? 3 = x ,整理比较系数得 m =3. mx 4? ?3 4x ? 3 m?

4.解析: (1)令 ? 2 ? x 2 ? 1 ? 2 ,得 ? 1 ? x 2 ? 3 ,即 0 ? x 2 ? 3 , 因此 0 ?| x |? 3 ,从而 ? 3 ? x ? 3 , 故函数的定义域是 {x | ? 3 ? x ? 3} . (2)因为 f ( x) 的定义域为 ?0,1? ,即 0 ? x ? 1 . 故函数 F ( x ) 的定义域为下列不等式组的解集,

?? a ? x ? 1 ? a ?0 ? x ? a ? 1 ,即 ? . ? ?a ? x ? 1 ? a ?0 ? x ? a ? 1
即两个区间 ? ?a,1 ? a? 与 ? a,1 ? a ? 的交集,比较两个区间左、右端点,知

(i)当 ?

1 ? a ? 0 时, F ( x) 的定义域为 {x | ?a ? x ? 1 ? a} ; 2 1 时, F ( x ) 的定义域为 {x | a ? x ? 1 ? a} ; 2

(ii)当 0 ? a ?

(iii)当 a ?

1 1 或 a ? ? 时,上述两区间的交集为空集,此时 F ( x ) 不能构成函数. 2 2

5.解析:要使函数有意义,则必须 kx 2 ? 4kx ? 3 ≠0 恒成立, 因为 f ( x) 的定义域为 R ,即方程 kx 2 ? 4kx ? 3 ? 0 无实根.

① 当 k ≠0 时,需 ? ? 16k 2 ? 4 ? 3k ? 0 恒成立,解得 0 ? k ?

3 ; 4

② 当 k =0 时,方程变为 3=0 恒无实根. 综上 k 的取值范围是 0 ? k ?

3 . 4
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6.解析: (1)证明:? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? log2

1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 ? x2 ? x1 x2 ? log = log2 ( ); 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 ? x2 ? x1 x2

x ? x2 1? 1 1 ? x1 ? x2 ? x1 x2 x ? x2 1 ? x1 x2 又 f( 1 ). ) ? log2 ( ) ? log2 ( 1 ? x1 ? x2 ? x1 x2 1 ? x1 x2 x1 ? x2 1? 1 ? x1 x2
∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (

x1 ? x2 ). 1 ? x1 x2

(2)∵ f (

a?b ) = f (a ) + f (b) =1, 1 ? ab 1? b 1 ? b ?1 1? b ) = ? log 2 = log 2 ( = ? f (b) . 1? b 1? b 1? b 3 . 2

又∵ f (?b) = log 2

∴ f ( a ) =1- f (b) =1+ f (?b) =

7.解析:方法一: 由于本题的分子、分母均为关于 x 的二次形式,因此可以考虑使用判别式法. 将原函数变形为 x y ? 2 xy ? 3 y ? 2 x ? 4 x ? 7 ,
2 2

整理得 ( y ? 2) x ? 2( y ? 2) x ? 3 y ? 7 ? 0 ,
2

显然 y ? 2 ,上式可以看成关于 x 的二次方程, 该方程的 x 范围应该满足 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 ? 0
2

即 x ? R 此时方程有实根即△ ? 0 , △ ? ?2( y ? 2)] ? 4( y ? 2)( 3 y ? 7) ? 0 ? y ? [?
2

9 ,2] , 2

∴ 函数 y ?

9 2x 2 ? 4x ? 7 的值域为 [? ,2) . 2 2 x ? 2x ? 3

方法二: 将函数式变形为 y ?

2x 2 ? 4x ? 7 13 =2? . 2 x ? 2x ? 3 ( x ? 1) 2 ? 2
13 13 ≤ , 2 ( x ? 1) ? 2 2

∵( x ? 1) ? 2 ≥2, 0<
2

∴ ?

9 13 ≤2? <2. 2 ( x ? 1) 2 ? 2
11

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∴ 函数 y ?

9 2x 2 ? 4x ? 7 的值域为 [? ,2) . 2 2 x ? 2x ? 3

8.解析:由于题中含有 13 ? 4x 不便于计算,但如果令: t ? 13 ? 4 x 注意 t ? 0 从而得: x ?

13 ? t 2 13 ? t 2 ?y ? ? 3 ? t (t ? 0) 变形得 2 y ? ?(t ? 1) 2 ? 8(t ? 0) , 4 2

即: y ? (??,4] . 9.解析:∵ y =

a ax 2 ? x ? 1 =a x+ + 1- a x ?1 x ?1 a = a ( x +1)+ +1-2 a = a ( ( x ? 1) ? x ?1

1 x ?1

) 2 ? 1≥1.

∴ 当 x =0 时等号成立, y min =1. 10.解析:令 x ? u , u ? [0,1] , 1 ? x ? v, v ? ?0,1?, 于是,有 u 2 ? v 2 ? 1 ( u ? 0 , v ? 0) , 且 y ? u ? v ,即 v ? ?u ? y ,

由直线方程斜截式纵截距的几何意义, y min ? 1 , ymax

? 2.

12



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