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浙江省宁海县正学中学2013届高三上学期第二次阶段检测数学理试题


浙江省宁海县正学中学 2013 届高三上学期第二次阶段检测 数学理试题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题列出的四个 选项中,选出符合题目要求的一项) 1、集合 A={x|x≥3},B={x|(x-2)(x-4)<0},则 A∩B= A.{x|x<2}
2、 sin A. ?

( D.{x

|x>4}




B.{x|3≤x≤4}

C.{x|3≤x<4}

23? 等于 6



3 2

B. ?

1 2

C.

1 2

D.

3 2

3、已知{ an }为等差数列,且 a7 -2 a4 =-1, a3 =0,则公差 d= A.2 B.





1 1 C. D. - 2 2 2 4、设 m,n 是两条不同的直线, ? 、 ? 、 ? 是三个不同的平面,则下列命题

正确是 A.若 m⊥n,n ? ? , 则 m⊥ ? C..若 m∥ ? ,n∥ ? ,则 m∥n B.若 m⊥ ? ,m∥n,则 n⊥ ?





D.若 ? ⊥ ? , ? ⊥ ? ,则 ? ∥ ? ( )

5、下面四个条件中,使 a>b 成立的充分而不必要的条件是 A、a>b+1 B、a>b-1
C、 a > b
2 2

D、 a > b

3

3

6、函数 y ? a x?2 ? 1 ( a ? 0 ,且 a ? 1 )的图象必经过点 A.(0,1) C. (2, 0) B. (1,1) D. (2,2)
h





7、右图中的三个直角三角形是一个
5 6 侧(左)视 图

体积为 40cm 的几何体的三视图, 则 h 等于 A.8cm C.4cm ( B. 6cm )

3

正(主)视图

(单位:cm)

D. 2cm
俯 视 图 1

8、设 a,b∈R,且 a+b=3,则 2 +2 的最小值是 A.6 B.4 2 C.2 2

a

b

( D.2 6

)

? ? ? ? 9、已知向量 a , b 的夹角为 120? ,且| a |=2 , | b |=5, ? ? ? 则 a -b ) a = (2 ·
A.3 B.9 C.12 D.13 ) ( )

10、如图是函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 的大致图象,则 x12 ? x22 等于 ( A.
2 3

B.

4 3

C.

8 3

D.

12 3
O X1 1

X2 2

x

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11. 函数 f ( x) ? lg( x ? 1) 的定义域是______________ 12、在 ? ABC 中,∠A=450 ,a= 6 , b=3,则∠B= 13、已知函数 y ? f ( x) 的图象在点 M (1,f (1)) 处的切线方程是 y ? 则 f (1) ? f ?(1) ? 。 。
1 x ? 2, 2

14、正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N,P,Q 分别为棱 AB,BC,CD,CC1 的中点,直线 MN 与 PQ 所成的角的正切值为 。

15 、 在 数 列 { an } 中 , 若 a1 =1, an ?1 =2 an +3 ( n ? 1), 则 该 数 列 的 通 项

an =___________。
?x ? 1 ? 16、点 P(x,y)满足 ? y ? x ,那么点 P 到直线 3x-4y-9=0 的距离的 ?x ? 2 y ? 3 ? 0 ?

最小值为______________。
17、设函数 f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的 x≥0,都有 f(x)≥a x 成立,则实数 a 的取值 范围为__________________________。

2

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤)
18. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? sin x cos x ? cos2 x . (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)当 x ? [0,

?
2

] 时,求函数 f ( x) 的最大值和最小值。

19、 (本小题满分 14 分)

P(2,1) 在圆 x 2 ? y 2 ? 8x ? 4 y ? 11 ? 0 内,过点 P 做圆的割线 l,交圆于 A、B 两点.
(1)若 | AB | 最短,求最短长度及此时直线 l 的方程; (2)若 | AB |? 2 5 ,求直线 l 的方程.

20、 (本小题满分 14 分) 如图所示,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB=2, ?BCA ? 900 , 棱 AA1 ? 4 ,E、M、 N 分别是 CC1、A1B1、AA1 的中点。 (1)求证: A1 B ? C1 M ; (2) 求 BN 的长;
E A1 C1 M B1

(3) 求二面角 B1 ? A1 E ? C1 平面角的余弦值。
N

C B A

3

21. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2 ln(x ? 1) ,其中 a 为实数 (1)若 f ( x) 在 x ? 1 处有极值,求 a 的值; (2)若 f ( x) 在 [2, 上是增函数,求 a 的取值范围。 3]

22. (本小题满分 15 分)
S ? ? 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,点 ? n, n ? 在直线 y ? x ? 4 上.数列 ?bn ? 满 n ? ?

足 bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0 (n ? N * ) ,且 b4 ? 8 ,前 11 项和为 154. (1)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (2) cn ? 设
k 3 , 数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn , 求使不等式 Tn ? 75 2(an ? 2)(2bn ? 5)

对一切 n ? N * 都成立的最大正整数 k 的值;
?a n , (n ? 2l ? 1, l ? N * ), ? * (3)设 f (n) ? ? 是否存在 m ? N ,使得 f (m ? 9) ? 3 f (m) 成 * ?bn , (n ? 2l , l ? N ). ?
立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

4

宁海县正学中学 2012 学年第一学期第二次阶段性测试 高三数学参考答案
一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1 2 3 4 5 C B C B A D 6 A 7 B 8 D 9 C 10

二.填空题(每小题 4 分,共 28 分)

11. 15.

(1,+∞)
2n?1 ? 3

12. 16.

? 2? 或 3 3
2

13. 3 17. (-∞,1

14.

3

?

18、 (本小题满分 14 分) 解: (1) f ( x) ?

1 1 1 2 ? 1 sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin(2 x ? ) ? 2 2 2 2 4 2

……………6 分

T?

2? ? ? ,故 f ( x) 的最小正周期为 ? . 2

…………………………7 分

2

(2)因为 0 ? x ? 所以当 2 x ? 当 2x ?

? ? ? 5? , 所以 ? 2 x ? ? .…………………10 分 2 4 4 4
?

?
4

?
2

,即 x ?

?
8

时, f (x) 有最大值

1? 2 ,…………12 分 2

19、

5? ? ,即 x ? 时, f (x) 有最小值 0.……………14 分 4 4 2 (1)当 L⊥CP 时,弦 AB 长最短 1 k cp = , kl = - 2 2 直线 l 的方程为 y-1= -2(x-2) 即 2x+y-5=0 ?
|AB|=4……………………………………………………………………..7 分 (2) ∵ | AB |? 2 5 , ∴圆心到直线的距离 d 为 2

?

当 L 的斜率存在时,设 L 为方程为 y-1=k(x-2) ……………. 求得 k= ?

3 4

L 方程为 3x+4y-10=0

当 L 的斜率不存在时,。。。。。。。。 方程为 x=2……………..14 分 。。。。。。。。,L

5

20.(本小题满分 14 分) 解: (1)? CA ? CB

? C1 A1 ? C1 B1 ,点 M为A1 B1的中点

? C1 M ? A1 B1

在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,? B1B ? 平面A1B1C1, C1M ? 平面A1B1C1

? BB1 ? C1 M

? C1 M ? 平面A1 BB1 ,A1B ? 平面A1 BB1 ? C1 M ? A1 B

法二:解:如图建立空间直角坐标系

A1 (2,0,4), B(0,2,0), A1 B ? (?2,2,?4),C1M ? (1,1,0) C1 (0,0,4), M (1,1,4), A1 B ? (?2,2,?4),C1M ? (1,1,0) ? A1 B ? C1M ? ?2 ? 2 ? 0
? A1B ? C1M

……………………4 分

(2)依题意得:B(0,2,0), N (2,0,2)
?| BN |? (2 ? 0) 2 ? (0 ? 2) 2 ? (2 ? 0) 2 ? 2 3 ……………………………6 分

(3)依题意得: A1 (2,0,4), B(0,2,0),C(0,0,0), B1 (0,2,4) E(0,0,2), C1 (0,0,4)
? EB1 ? (0,2,2), EA ? (2,0,2) 1

? BC ? AC, BC ? CC1
? 平面 C1 EA1的法向量为CB ? (0,2,0)

设平面 B1 EA1 的法向量为 n ? ( x, y, z) 则: EB1 ? n ? 0得: ? 2z ? 0 ? y ? ?z 2y

EA ? n ? 0得:? 2z ? 0 ? x ? ?z 2 1
令 z ? 1, 则n ? (?1,?1,1) , 得 | n |? 3 则 cos ? CB, n ??
CB ? n | CB | ? | n | ? ?2 2 3 ?? 3 3

由题意可知:二面角 B1 ? A1 E ? C1 的大小是锐角 所以二面角 B1 ? A1 E ? C1 的平面角的余弦值是
3 . 3

…….14 分

6

21、 (本小题满分 15 分) 解: (1)由已知得 f ( x) 的定义域为 (?1, ?) ? 又 f ' ( x) ? 2ax ?
2 x ?1

………………………………………3 分
?a ? ? 1 2

?由题意得 f ' (1) ? 2a ? 1 ? 0
(2)解法一:依题意得.

……………………5 分

2 ?0 x ?1 2 1 1 ……………………10 分 ? 2ax ? ? ,a ? ? 2 1 2 1 1? x ?x ?x ? (x ? ) ? 2 4 1 2 1 1 1 ? x ? [2,, ?( x ? ) ? 的最小值为 ? (3 ? ) 2 ? ? ?12 3] ? 2 4 2 4 1 1 的最大值为 ? ………………………13 分 ? 1 2 1 12 ? (x ? ) ? 2 4 1 1 ? a ? ? 为所求 又因 a ? ? 时符合题意 …………15 分 12 12

对 3] f'(x )?0 x ? [2, 恒成立,? ?ax ?

解法二:依题意得 对 3] f'(x )?0 x ? [2, 恒成立,? 2ax ?
2 ?0 x ?1
2 即 ax ? ax ? 1 ? 0

x ?1

?1 ? x ? 0, ax2 ? ax ? 1 ? 0 对 x ? [2, 恒成立 ? 3]

…………………8 分

令 g ( x) ? ax2 ? ax ? 1 (1)当 a? 时, 1 ? 0 恒成立 0 ………………………10 分

(2)当 a? 时,抛物线 g(x) 开口向下,可得 g ( x) min ? g (3) ? 0 0
? 即 9a ? 3a ? 1 ? 0, 0 ? a ? ? 1 12

…………………………12 分

(3)当 a? 时,抛物线 g(x) 开口向上,可得 g ( x) min ? g (2) ? 0 0
? 即 4a ? 2a ? 1 ? 0, a ? ? 1 ,即 a? 0 6

……………………14 分

1 时符合题意 12 1 综上可得 a ? ? 为所求 12

又因 a ? ?

………………………………15 分

7

22.(本小题满分 15 分) 解: (1)由题意,得

Sn ? n ? 4 ,即 S n ? n 2 ? 4n . n 2 2 故当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n ? 4n - (n ? 1) ? 4(n ? 1) = 2n ? 3 . 注意到 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 5 ,而当 n ? 1 时, n ? 4 ? 5 ,
所以,

an ? 2n ? 3 (n ? N * ) .

………………………………………3 分

? 2bn?1 ? bn ? 0 ,即 bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ? N * ) , 11(b4 ? b8 ) ? 154. 所以 ?bn ? 为等差数列,于是 2 20 ? 8 ? 3, 而 b4 ? 8 ,故 b8 ? 20 , d ? 4 因此, bn ? b4 ? 3(n ? 4) ? 3n ? 4 ,
又 bn?2 ………………………6 分 ? b4 ? 3(n ? 4) ? 3n ? 4 (n ? N * ) 3 3 ? (2) c n ? 2(an ? 2)(2bn ? 5) 2[(2n ? 3) ? 2][2 ? (3n ? 4) ? 5] 3 1 1 = = . ? 2(2n ? 1)(6n ? 3) 2(2n ? 1)(2n ? 1) 2(2n ? 1)(2n ? 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 ? )] 所以, Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn = [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( 4 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n )? = (1 ? . ………………………………………………9 分 4 2n ? 1 4n ? 2 n ?1 n 1 ? ? ?0 由于 Tn ?1 ? Tn ? 4n ? 6 4n ? 2 (4n ? 6)(2n ? 1) 1 因此 Tn 单调递增,故 (TN ) min ? . 6 1 k 1 令 ? ,得 k ? 12 ,所以 k max ? 12 . …………………………………12 分 6 75 2 ?2n ? 3(n ? 2l ? 1, l ? N * ) ? (3) f ( n) ? ? ?3n ? 4(n ? 2l , l ? N * ) ? ① 当 m 为奇数时, m ? 9 为偶数. 此时 f (m ? 9) ? 3(m ? 9) ? 4 ? 3m ? 23 3 f (m) ? 6m ? 9 14 ? N * (舍去) 所以 3m ? 23 ? 6m ? 9 , m ? 3 ② 当 m 为偶数时, m ? 9 为奇数. 此时, f (m ? 9) ? 2(m ? 9) ? 3 ? 2m ? 21, 3 f (m) ? 9m ? 12 , 33 ? N * (舍去) 所以 2m ? 21 ? 9m ? 12 , m ? . 7 综上,不存在正整数 m,使得 f (m ? 9) ? 3 f (m) 成立. …………15 分 即 bn

8


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