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直线与方程练习题(学生)


直线与方程
一.直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。因此,倾斜角的取值范围是 0°≤a <180° 二.直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90° 的直线,它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。直线 的斜率常用 k 表示。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当 0<=a<90° 时,k>=0 ;当 90° <a<180° 时,k< 0 ;当 a=90° 时,k 不存在。 ②过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线的斜率公式:k=(y2-y1)/(x2-x1) 注意下面四点: (1)当 x1=x2 时,即直线平行与 y 轴或与 y 轴重合,公式右边无意义,直线的斜率 不存在,倾斜角为 90° ;(2)k 与 P1、P2 的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜 角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)同一条直线上任何两点的斜率都相等。 三.直线方程 ① 点斜式: y - y1 = k(x - x1) 直线斜率 k,且过点 (x1,y1) 注意:1.当直线的斜率为 0° 时,k=0,直线的方程是 y=y1。 2.当直线的斜率为 90° 时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因 L 上每一点的横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1。 ② 斜截式:y = kx+b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b ③ 两点式: 直线过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2) ,(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) 适用范围:不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线。 ④ 截矩式:x/a+y/b=1,其中直线 L 与 x 轴交于点(a,0) ,与 y 轴交于点(0,b) ,即 L 与 x 轴、y 轴的截距分别为 a,b 。 适用范围:不包括坐标轴,平行于坐标轴和过原点的直线。 ⑤ 一般式:Ax + By + C = 0 (A,B 不全为 0) 四.直线系方程:即具有某一共同性质的直线的集合。 ① 平行直线系 平行于已知直线 (A0,B0 是不全为 0 的常数)的直线系: A0x+B0y+C0 = 0(C 为常数) ② 过定点的直线系 (ⅰ)斜率为 k 的直线系:y-y0 = k(x-x0) ,直线过定点(x0,y0) ; (ⅱ)过两条直线 L1: A1x+B1y+C1 = 0,L2: A2x+B2y+C2 = 0 的交点的直线系 方程为 (A1x+B1y+C1) + E(A2x+B2y+C2) = 0 (E 为参数),其中直线 L2 不在 直线系中。 五.两平行直线距离公式 两平行直线 Ax+By+C1=0 和 Ax+By+C2=0 间的距离 d=|C1-C2|/√(A2+B2) 六.两直线平行与垂直 当 L1: y=k1x+b1,L2: y=k2x+b2 平行时, k1=k2 且 b1≠b2 ; 重合时,k1=k2,b1=b2; 相交时,k1 ≠k2; 垂直时,k1k2=-1。 当 L1:A1x+B1y+C1=0,L2:A2x+B2y+C=0 平时时,A1B2=A2B1 且 A1C2≠A2C1; 垂直时,A1B2=A2B1 且 A1C2=A2C1;相交时,A1B2≠A2B1 垂直时,A1A2+B1B2=0 注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 七.两点间距离公式:设 A(x1,y1),B(x2,y2)是平面直角坐标系中的两个点,

则|AB|=√(x2-x1)2+(y2-y1)2。 特别地, 原点 O 与任一点 P (x,y) 的距离 d=√x2+y2 八.点到直线距离公式:点 P(x0,y0) 到直线 L1:Ax+By+C=0 的距离 d=|Ax0+By0+C|/√A2+B2 一、选择题 1.若直线过点 (1, 2) , (4, 2 ? 3) ,则此直线的倾斜角是( A
30 0





450



60 0


3 2

90 0

2. 如果直线 ax+2y+2=0 与直线 3x-y-2=0 平行,则系数 a= A、 -3 B、-6 C、 ? D、 2
3

3.点 P(-1,2)到直线 8x-6y+15=0 的距离为( A 2 B 1
2



C 1

D

7 2

4. 点M(4,m)关于点N(n, - 3)的对称点为P(6,-9) ,则( A m=-3,n=10 C m=-3,n=5 A C 3x-y-8=0 3x-y+6=0 ) B 2x-y-3=0 B D m=3,n=10 m=3,n=5



5.以A(1,3) ,B(-5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( B 3x+y+4=0 D 3x+y+2=0



6.过点M (2,1) 的直线与 x 轴, y 轴分别交于P,Q两点, 且|MP|=|MQ|, 则 l 的方程是( A x-2y+3=0

C 2x+y-5=0 D x+2y-4=0 7. 直线 mx-y+2m+1=0 经过一定点,则该点的坐标是 A(-2,1) B (2,1) C (1,-2) D (1,2) 8. 直线 2x ? y ? m ? 0和x ? 2 y ? n ? 0 的位置关系是 (A)平行 (B)垂直 (C)相交但不垂直 (D)不能确定 9. 如图 1,直线 l1、l2、l3 的斜率分别为 k1、k2、k3, 则必有 A. C. k1<k3<k2 k1<k2<k3 B. D. k3<k1<k2 k3<k2<k1 ) (C) x-y+1=0 ( )

10.已知 A(1,2) 、B(-1,4) 、C(5,2) ,则Δ ABC 的 边 AB 上的中线所在的直线方程为( ( A ) x+5y-15=0 (D)y-3=0 11.下列说法的正确的是 A.经过定点 P0 ? x0 ,y0 ? 的直线都可以用方程 y ? y0 ? k ? x ? x0 ? 表示 (B)x=3

B.经过定点 A?0,b? 的直线都可以用方程 y ? kx ? b 表示 C.不经过原点的直线都可以用方程
x y ? ? 1 表示 a b

D.经过任意两个不同的点 P 、P2 ?x2,y2 ? 的直线都可以用方程 1 ?x1,y1 ?

? y ? y1 ?? x2 ? x1 ? ? ? x ? x1 ?? y2 ? y1 ? 表示
12 .若动点 P 到点 F (1,1) 和直线 3x ? y ? 4 ? 0 的距离相等,则点 P 的轨迹方程为 ( ) A. 3x ? y ? 6 ? 0 C. x ? 3 y ? 2 ? 0 B. x ? 3 y ? 2 ? 0 D. 3x ? y ? 2 ? 0

1.A;2.B;3.B;4.D;5.B;6.D;7.A;8.C;9.A;10.A.11.D.12.B 二、填空题 13.过点P(1,2)且在 x 轴,y 轴上截距相等的直线方程是 . 14.直线 5x+12y+3=0 与直线 10x+24y+5=0 的距离是 . 15 . 原 点 O 在 直 线 l 上 的 射 影 为 点 H ( - 2 , 1 ) ,则直线 l 的方程 为 . 1 13.x+y-3=0 或 2x-y=0;14. ;15.2x-y+5=0; 26 三、解答题 16. ①求平行于直线 3x+4y-12=0,且与它的距离是 7 的直线的方程; ②求垂直于直线 x+3y-5=0, 且与点 P(-1,0)的距离是 3 10 的直线的方程.
5

答案:(1)3x+4y+23=0 或 3x+4y-47=0;(2)3x-y+9=0 或 3x-y-3=0. 17.直线 x+m2y+6=0 与直线(m-2)x+3my+2m=0 没有公共点,求实数 m 的值. 答案:m=0 或 m=-1; 1 2 2 18. 已知点 A(1,1) ,B(2, 2) , 点 P 在直线 y ? x 上, 求 PA ? PB 取得最小值时 P 2 点的坐标。 19. 求函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 2 ? x 2 ? 4 x ? 8 的最小值。



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