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数列综合题讲解教师版


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数列综合题讲解 等差数列与等比数列综合题 例题. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn=2-an,n=1,2,3,?. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)若数列{bn}满足 b1=1,且 bn+1=bn+an,求数列{bn}的通项公式; (Ⅲ)设 cn=n(3-bn),求数列{cn}的前 n 项和 Tn. 解:(Ⅰ)∵n=1 时,a1

+S1=a1+a1=2 ∴a1=1 ∵Sn=2-an 即 an+Sn=2 ∴an+1+Sn+1=2 两式相减:an+1-an+Sn+1-Sn=0 即 an+1-an+an+1=0 故有 2an+1=an ∵an≠0 ∴

a n ?1 1 ? (n∈N*) an 2
1 1 的等比数列.an= ( ) n ?1 (n∈N*) 2 2

所以,数列{an}为首项 a1=1,公比为 (Ⅱ)∵bn+1=bn+an(n=1,2,3,…) 1 ∴bn+1-bn=( )n-1 2 得 b2-b1=1 1 b3-b2= 2 1 b4-b3=( )2 2 ?? 1 bn-bn-1=( )n-2(n=2,3,?) 2 将这 n-1 个等式相加,得

1 1 1 1 bn-b1=1+ ? ( ) 2 ? ( ) 3 ? ? ? ( ) n?2 2 2 2 2

1 1 ? ( ) n?1 1 2 ? ? 2 ? 2( ) n?1 1 2 1? 2

1 又∵b1=1,∴bn=3-2( )n-1(n=1,2,3,…) 2 1 (Ⅲ)∵cn=n(3-bn)=2n( )n-1 2 1 0 1 1 1 1 ∴Tn=2[( ) +2( )+3( )2+?+(n-1)( )n-2+n( )n-1] ① 2 2 2 2 2 1 n ?1 1 1 1 1 2 1 3 而 Tn=2[( )+2( ) +3( ) +?+(n-1) ( ) ? n( ) n ] ② 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ①-②得: Tn ? 2[( ) 0 ? ( )1 ? ( ) 2 ? ? ? ( ) n ?1 ] ? 2n( ) n 2 2 2 2 2 2

第 1 页

.

1 1? ( )n 2 ? 4n ( 1 ) n ? 8 ? 8 ? 4n ( 1 ) n Tn= 4 1 2 2 2n 1? 2 1 =8-(8+4n) n (n=1,2,3,…) 2
变式训练. 已知数列 {an } 中, a0 ? 2, a1 ? 3, a2 ? 6 ,且对 n ≥3 时 有 an ? (n ? 4)an?1 ? 4nan?2 ? (4n ? 8)an?3 . (Ⅰ)设数列 {bn } 满足 bn ? an ? nan?1 , n ? N? ,证明数列 {b n?1 ?2bn } 为等比数列,并求数列 {bn } 的 通项公式; (Ⅱ)记 n ? (n ? 1) ? ? ? 2 ? 1 ? n!,求数列 {nan } 的前 n 项和 Sn (Ⅰ) 证明:由条件,得 an ? nan?1 ? 4[an?1 ? (n ? 1)an?2 ] ? 4[an?2 ? (n ? 2)an?3 ] , 则 an?1 ? (n ? 1)an ? 4[an ? nan?1 ] ? 4[an?1 ? (n ? 1)an?2 ] . 即 bn?1 ? 4bn ? 4bn?1. 又b1 ? 1, b2 ? 0 ,所以 bn?1 ? 2bn ? 2(bn ? 2bn?1 ) , b2 ? 2b1 ? ?2 ? 0 . 所以 {b n?1 ?2bn } 是首项为 ? 2,公比为 2 的等比数列.
b2 ? 2b1 ? ?2 ,所以 bn?1 ? 2bn ? 2n?1 (b2 ? 2b1 ) ? ?2n .

bn?1 bn 1 ? n ?? . n ?1 2 2 2 bn ? 1 1 于是 ? ? n ? 为以 首项,- 为公差的等差数列. 2 2 2 ? ?

两边同除以 2 n ?1 ,可得

所以

bn b1 1 ? ? (n ? 1), 得bn ? 2n (1 ? n ) . 2 2n 2 2

(Ⅱ) an ? 2n ? nan?1 ? n2n?1 ? n(an?1 ? 2n?1 ) ,令 cn ? an ? 2n ,则 cn ? ncn?1 .
? cn ? n(n ? 1) ? ? ? 2 ?1 ? c1 ? n(n ? 1) ? ?? 2 ?1 . 而 c1 ? 1,

∴ an ? n(n ? 1) ??? 2 ?1 ? 2n .
nan ? n ? n ? (n ? 1) ? ?? 2 ? 1 ? n2n ? (n ? 1)!? n!? n ? 2n ,

∴ Sn ? (2!? 1!) ? (3!? 2!) ? ? ? (n ? 1)!? n!? (1? 2 ? 2 ? 22 ? ? ? n ? 2n ) . 令 Tn= 1 ? 2 ? 2 ? 22 ? ? ? n ? 2n , 则 2Tn= 1? 22 ? 2 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ? n ? 2n?1 . ② ①

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.

①-②,得 ? Tn= 2 ? 22 ? ? ? 2n ? n ? 2n ?1 ,Tn= (n ? 1)2n?1 ? 2 . ∴ S ? (n ? 1)!? (n ? 1)2n?1 ? 1 .
n

数列与向量交汇的综合题

?an ? 的前n项和, a = ?S n ,1? , b = ? 1,2an ? 2n?1 , a ? b 例题 已知Sn为数列
?a ? (1)求证: ? n 为等差数列; n ? ?2 ?

?

?

?

?

?

?

(2) 若 bn ?

n ? 2011 a n ,问是否存在 n 0 , 对于任意 k ( k ? N ? ) ,不等式 bk ? bn0 成立. n ?1
? ?

解(1)? a ? b

? ? S n ? 2an ? 2 n?1 ? 0
? a n ?1 a n ? ?1 2 n ?1 2 n

? S n?1 ? 2an?1 ? 2 n?2 ? 0

? an?1 ? 2an ? 2 n?1

?a ? 为等差数列 ?? n n ? ?2 ?

(2)

an ? ?2 ? (n ? 1) ? ?(n ? 1) 2n ? bn ? ?2011? n ?2 n
令bn ?1 ? bn n ? 2009 bn的最大值为b2010 ? b2009 ? n0 ? 2009 或2010

?2010? n ?2 n?1 ? ?2011? n ?2 n

变式训练

已知数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,a2 ? 3 ,前 n 项和为 S n ,且 S n ?1 、 S n 、 S n ?1 (n ≥2)分别

??? ? 2a ? 1 ??? ? BC ,设 b1 ? 1 , bn?1 ? log2 (an ? 1) ? bn . 是直线 l 上的点 A、B、C 的横坐标, AB ? n an

⑴ 判断数列 {an ? 1} 是否为等比数列,并证明你的结论; ⑵ 设 cn ?
n 4 ,证明: ? C k ? 1 . an an ?1 k ?1
bn?1 ?1 n ?1

解:⑴由题意得

Sn?1 ? Sn 2an ? 1 ? ? an ?1 ? 2an ? 1 Sn ? Sn?1 an

?a

n ?1

? 1 ? 2(an ? 1) (n≥2) ,又∵ a1 ? 1 , a2 ? 3

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.

? 数列 {a

n

? 1} 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,以 2 为公比的等比数列。

[则 an ? 1 ? 2n ? an ? 2n ?1 ( n ? N * )] ⑵由 an ? 2n ?1 及 bn?1 ? log2 (an ? 1) ? bn 得 bn?1 ? bn ? n

?b
?C
k ?1 n k

n

n(n ? 1) , ? 1? 2

则 cn ?

4 2n 1 1 ? n ? n ? n ?1 n ?1 an an?1 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1

bn?1 ?1 n ?1

1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 ?? ? 2 ? 3 ? 4 ? n?1 ??? 2 ??? 3 ? ??? ? n ? ? 2 ?1 2 ?1? ? 2 ?1 2 ?1? ? 2 ?1 2 ?1? ? 2 ?1 2 ?1?

?1 2 ?1 数列与函数交汇的综合题
n ?1

? 1?

1

例题

设 f1(x)=

f ( 0) ? 1 2 ,定义 fn+1 (x)= f1[fn(x)] ,an = n (n∈N*). f ( 0 ) ? 2 1? x n

(1) 求数列{an}的通项公式; (2) 若 T2n ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? 2na2n ,Qn= Qn 的大小,并说明理由. 解: (1)∵f1(0)=2,a1=
2 2 ?1 1 = ,fn+1(0)= f1[fn(0)]= , 1 ? f n ( 0) 2?2 4 4n 2 ? n (n∈N*) ,试比较 9T2n 与 2 4n ? 4n ? 1

2 ?1 f n ?1 (0) ? 1 1 ? f n (0) 1 ? f n ( 0) 1 f n ( 0) ? 1 1 ∴an+1= = = == - an. 2 f n ?1 (0) ? 2 4 ? 2 f n ( 0) f n ( 0) ? 2 2 2 ?2 1 ? f n ( 0)

∴数列{an}是首项为 ,公比为- 的等比数列,∴an= ( ? (2)∵T2 n = a1+2a 2+3a 3+?+(2n-1)a 2 n?1+2na 2 n, ∴?

1 4

1 2

1 4

1 n?1 ) . 2

1 1 1 1 1 1 T2 n= (- a1)+(- )2a 2+(- )3a 3+?+(- )(2n-1)a2 n-1+ (? ) 2na2 n 2 2 2 2 2 2

= a 2+2a 3+?+(2n-1)a2 n-na2 n. 两式相减,得 T2 n= a1+a2+a 3+?+a2 n+na2 n.
1? 1 ? 1 ? (? ) 2 n ? 4? 2 ? 3 1 1 1 1 1 n 1 ∴ T2n = ? +n× (- )2n?1= - (- )2n+ (- )2n?1. 1 2 4 2 6 6 2 4 2 1? 2

3 2

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.

1 n 2 6 3n ? 1 ∴9T2n=1- 2 n . 2

T2n = - (- )2n+ (- )2n?1= (1-

1 1 9 9

1 2

1 9

3n ? 1 ). 2 2n

又 Qn=1-

3n ? 1 , ( 2n ? 1) 2

当 n=1 时,22 n= 4,(2n+1)2=9,∴9T2 n<Q n; 当 n=2 时,22 n=16,(2n+1)2=25,∴9T2 n<Qn;
0 1 3 n 2 当 n≥3 时, 2 2n ? [(1 ? 1) n ]2 ? (Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ) ? (2n ? 1) 2 ,

∴9T2 n>Q n. 变式训练 二次函数 f ( x)符合f ( x) ? 0, 且f ( x) ? 2x2恒成立,f (1) ? 1 (1)求 f (0) 并求 f ( x) 的解析式; (2)若 an ?
f (1) f (2) f (n) 1 ? ??? , bn ? , 求数列 ?bn ? 前n项和Sn . 并求 lim Sn . n?? 1 2 n an

(3)若 cn?1 ? f (cn ), 且c1 ? 2, 记Tn ? c1 ? c2 ? ... ? cn , 求符合 Tn ? 2008 最小自然数 n. .解: (1) f (0) ? 0 又: f (0) ? 2 ? 02 ? 0    ? f (0) ? 0

f ( x) ? ax2 ? bx  对称轴x ? 0即b ? 0  ? f ( x) ? ax2
又 f (1) ? 1   ?a ? 1   ? f ( x) ? x2 ( 2 )
an ? 12 22 n2 n(n ? 1) ? ?? ? ? 1? 2 ??? n ? 1 2 n 2 bn ? 2 1 1 2? ( ? ) n( ? n 1 ) ? n n 1

1 Sn ? 2 (?1 n ?1

m ) ;l i S n ?
n ??

n ??

1 ? ? l i m ? 2 (?1 ? ? n ?1 ? ?
n?1

)

2 .

(3) C1 ? 2.   Cn?1 ? (Cn )2
?Tn ? 21 ? 22 ? 24 ? 28 ? 2 2

?Cn ? 22
n?1

? 2(1? 2? 4??? 2

n?1

)

? 2(2

n

?1)

? 2008

?n?4? , nm i n? 4
点列综合题 例题 设曲线 c : y ? x 2 ( x ? 0) 上的点为 P0 ( x0 , y0 ), 过 P0 作曲线 c 的切线与 x 轴交于 Q1, 过 Q1 作 平行于 y 轴的直线与曲线 c 交于 P 1 ( x1 , y1 ) ,然后再过 P1 作曲线 c 的切线交 x 轴于 Q2,过 Q2

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作平行于 y 轴的直线与曲线 c 交于 P2 ( x2 , y 2 ) ,依此类推,作出以下各点:P0,Q1,P1,Q2, P2,Q3,?Pn,Qn+1?,已知 x0 ? 2 ,设 Pn ( xn , y n )(n ? N ) (1)求出过点 P0 的切线方程; (2)设 xn ? f (n), 求 f (n) 的表达式; (3)设 S n ? x0 ? x1 ? ? ? xn , 求 解: (1) ? k0 ? 2x0 ? 4 ∴过点 P0 的切线段为 y ? 4 ? 4( x ? 2) 即 4 x ? y ? 4 ? 0 (2)? k n ? 2 x n
2 ∴过点 Pn 的切线方程为 y ? xn ? 2x n ( x ? x n )

2 将 Qn?1 ( xn?1 ,0) 的坐标代入方程得: ? xn ? 2xn ( xn?1 ? xn )

? xn?1 ?

xn x 1 ? n?1 ? 2 xn 2
2

故数列 {xn } 是首项为 x0 ? 2, 公比为 1 的等比数列
1 1 ? x n ? f (n) ? 2 ? ( ) n 即f (n) ? ( ) n ?1 2 2

(3)? S

n

?

2(1 ?

1 ) 2 n?1 ? S ? 4(1 ? 1 ) n 1 2 n ?1 1? 2

? lim S n ? lim 4(1 ?
n ?? n ??

1 2 n ?1

)?4

变式训练 在直角坐标系中,有一点列 P1(a1,b1),P2(a2,b2),?,Pn(an,bn),?对每一 个正整数 n, 点 Pn 在给定的函数 y=log3(2x)的图像上.而在递增数列{an}中, an 与 an+1 是关 2 2 于 x 的方程 4x -8nx+4n -1=0(n∈N*)的两个根. (Ⅰ)求点 Pn 的纵坐标 bn 的表达式; bn c1 c2 cn (Ⅱ)记 cn=3 ,n∈N*.证明 2 +22+?+2n<3; 1 1 解: (Ⅰ)解方程 4x2-8nx+4n2-1=0,得 x1=n-2,x2=n-2, 1 1 1 ∵{an}是递增数列,∴an=n-2,an+1=n-2,即 an=n-2( n∈N*), 又因为 Pn(an,bn)在函数 y=log3(2x)的图像上,所以 bn=log3(2n-1). bn (Ⅱ)因为 cn=3 ,n∈N*,所以 cn=2n-1 2n-1 c1 c2 cn 1 3 设 Dn= 2 +22+?+2n,即 Dn=2+22+?+ 2n , 2n-3 2n-1 1 1 3 所以2Dn=22+23+?+ 2n + 2n+1 , ② ①

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.

2n-1 1 1 1 1 1 由①-②得2Dn=2+2+22+?+ n?1- 2n+1 ,则 2 1 1-(2)n?1 2n-1 2n-1 1 1 1 所以 Dn=1+1+2+22+? n?2- 2n =1+ - 1 2n 2 1-2 2n-1 1 =3- n?2- 2n <3, 2 数列与不等式交汇的综合题
2 例题 数列 ?an ? :满足 a1 ? 2, an?1 ? an ? 6an ? 6(n ? N ? ).

(Ⅰ) 设 Cn ? log5 (an ? 3) ,求证 ?Cn ? 是等比数列; (Ⅱ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ)设 bn ?
1 1 5 1 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ? ? Tn ? ? . ? 2 an ? 6 an ? 6an 16 4

2 2 解:(Ⅰ)由 an?1 ? an ? 6an ? 6, 得 an ?1 ? 3 ? (an ? 3) .

?log5 (an?1 ? 3) ? 2log5 (an ? 3) ,即

Cn?1 ? 2Cn ,

??Cn ? 是以2为公比的等比数列
(Ⅱ) 又 C1 ? log5 5 ? 1
?Cn ? 2n?1 即 log5 (an ? 3) ? 2n?1 ,

?an ? 3
(Ⅲ)? bn ?

2 ? 5

n?1

.

故 an ? 52 ? 3.

n?1

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? , ?Tn ? ? ? ? ? 2n . an ? 6 an ? 6an an ? 6 an?1 ? 6 a1 ? 6 an?1 ? 6 4 5 ?9

又0 ?

1 52 ? 9
n

?

1 1 5 1 ? , ?? ? Tn ? ? . 5 ? 9 16 16 4
2

变式训练 已知数列{an}满足 a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n≥2,n∈N*) ,若数列 {an?1 ? ?an } 是 等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
4 ; (Ⅱ)求证:当 k 为奇数时, 1 ? 1 ? k ?1 ak a k ?1 3

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.

(Ⅲ)求证: 1 ? 1 ? ? ? 1 ? 1 (n ? N *).
a1 a2 an 2

得 ? =2 或 ? =-3 当 ? =2 时,可得 {an?1 ? 2an } 为首项是 a2 ? 2a1 ? 15 ,公比为 3 的等比数列, 则 an?1 ? 2an ? 15 ? 3n?1 ①

当 ? =-3 时, {an?1 ? 3an } 为首项是 a2 ? 3a1 ? ?10 ,公比为-2 的等比数列, ∴ an?1 ? 3an ? ?10(?2) n?1 ②

①-②得, an ? 3n ? (?2) n . (注:也可由①利用待定系数或同除 2n+1 得通项公式) (Ⅱ)当 k 为奇数时,
1 1 4 1 1 4 ? ? k ?1 ? k ? k ?1 ? k ?1 k k ?1 ak ak ?1 3 3 ?2 3 ?2 3

3 4 k ? [8 ? 7 ? ( ) k ] ? 7? 6 ? 8? 4 2 ? k ?1 ? ?0 3 ? (3 k ? 2 k )(3 k ?1 ? 2 k ?1 ) 3 k ?1 (3 k ? 2 k )(3 k ?1 ? 2 k ?1 )
k k



1 1 4 ? ? k ?1 a k a k ?1 3

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 k 为奇数时,

1 1 4 1 1 ? ? k ?1 ? k ? k ?1 ak ak ?1 3 3 3

①当 n 为偶数时,

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? 2 ? ? ? n ? (1 ? n ) ? a1 a2 an 3 3 2 2 3 3 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ??? ? a1 a2 an a1 a2 an an?1

②当 n 为奇数时,

1 1 1 1 1 1 = ? 2 ? ? ? n ?1 ? (1 ? n ?1 ) ? 3 3 2 2 3 3

第 8 页

.

数列与概率统计交汇的综合题 例题 从原点出发的某质点 M, 按向量 a =(0,1)移动的概率为 ,按向量 b =(0,2)移动的概率为 , 设可达到点(0,n)的概率为 Pn, 求: (1).求 P1 和 P2 的值. (2).求证:Pn+2= Pn+ Pn+1. (3).求 Pn 的表达式. 解: (1). P1= , P2 ? ( ) 2 ? ? . (2). 证明 : 到达点 (0,n+2) 有两种情况 : 从点 (0,n) 按向量 b ? (0,2) 移动 ; 从点 (0,n+1) 按向量
2 1 2 a =(0,1)移动,概率分别为 Pn ? 1 与 Pn ?1 ? ,所以 Pn?2 ? Pn ? Pn?1 . 3 3 3 3 1 1 1 (3).由(2)得 Pn+2-Pn+1= ? ( Pn?1 ? Pn ), 故数列{Pn+1-Pn}是以 P2-P1= 为首项, ? 为公比 9 3 3 1 1 1 的等比数列,故 Pn+1-Pn= ? (? ) n?1 ? (? ) n?1 , 9 3 3 1 1 于是 Pn-P1=( Pn ? Pn?1 ) ? ? ? ? ? (P2 ? P1 ) ? ? [1 ? (? ) n?1 ] 12 3 3 1 1 n ? Pn ? ? ? (? ) . 4 4 3 1 3 2 3 2 3 1 3

2 3

2 3

1 3

7 9

变式训练

为了研究某高校大学新生学生的视力情况, 随机地抽查了该校 100 名进校学生的视

情况,得到频率分布直方图,如图 4,.已知前 4 组的频数从左到右依次是等比数列 ?an ? 的 前四项,后 6 组的频数从左到右依次是等差数列 ?bn ?的前六项. (Ⅰ)求等比数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求等差数列 ?bn ?的通项公式; (Ⅲ)若规定视力低于 5.0 的学生属于近视学生,试估计该校新生的近视率的大小.

解: (I)由题意知: a1 ? 0.1? 0.1?100 ? 1 , a2 ? 0.3? 0.1?100 ? 3.

第 9 页

.

∵数列 ?an ? 是等比数列,∴公比 q ? ∴ an ? a1qn?1 ? 3n?1 .

a2 ? 3, a1

(II) ∵ a1 ? a2 ? a3 =13,∴ b1 ? b2 ? ? ? b6 ? 100 ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? 87 , ∵数列 ?bn ?是等差数列,∴设数列 ?bn ?公差为 d ,则得,

b1 ? b2 ? ? ? b6 ? 6b1 ? 15d ,∴ 6b1 ? 15d =87,

b1 ? a4 ? 27 , d ? ?5 , bn ? 32 ? 5n
a1 ? a2 ? a3 ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? 0.91 , 100 b ?b (或= 1 ? 5 6 ? 0.91 ) 100 答:估计该校新生近视率为 91%.

(III) =

分段数列综合题 例题 数列{an}的首项 a1=1,且对任意 n∈N,an 与 an+1 恰为方程 x2-bnx+2n=0 的两个 根. (Ⅰ)求数列{an}和数列{bn}的通项公式; (Ⅱ)求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解:(Ⅰ)由题意 n∈N*,an· an+1=2n an+1· an+2 an+2 2n+1 ∴ = a = 2n =2'(1 分) an· an+1 n 又∵a1· a2=2'a1=1'a2=2 ∴a1,a3,?,a2n-1 是前项为 a1=1 公比为 2 的等比数列, a2,a4,?,a2n 是前项为 a2=2 公比为 2 的等比数列 ∴a2n-1=2n-1' a2n=2n' n∈N* n ?1 ? ?2 2 ,n为奇数 即 an= ? n ? ? 2 ,n为偶数 又∵bn=an+an+1 n-1 n+1 n-1 当 n 为奇数时,bn=2 2 +2 2 =3· 2 2 n n n 当 n 为偶数时,bn=22+22=2· 22 n ?1 ? ?3 ? 2 2 ,n为奇数 ∴bn= ? 1? n 2 ? ? 2 ,n为偶数 (Ⅱ)Sn=b1+b2+b3+?+bn 当 n 为偶数时, Sn=(b1+b3+?+bn-1)+(b2+b4+?+bn) n n 3-3· 22 4-4· 22 n = + =7· 22-7 ( 1-2 1-2 当 n 为奇数时,

第 10 页

.

Sn=b1+b2+?+bn-1+bn n-1 =Sn-1+bn=10· 2 2 -7 ( n ?1 ? ?10? 2 2 ? 7,n为奇数 Sn= ? n 2 ? 7 ? 2 ? 7,n为偶数 ? 变式训练 (1) 求 Sn ; 数列 {an } 的通项 an ? n 2 (cos 2

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 Sn . 3 3

S3n , 求数列{ bn }的前 n 项和 Tn . n ? 4n n? n? 2n? ? sin 2 ? cos 解: (1) 由于 cos 2 ,故 3 3 3

(2) bn ?

S3k ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ? a6 ) ? ? ? (a3k ?2 ? a3k ?1 ? a3k ) ? (?
?

12 ? 22 4 2 ? 52 (3k ? 2) 2 ? (3k ? 1) 2 ? 32 ) ? (? ? 62 ) ? ? ? (? ? (3k ) 2 )) 2 2 2

13 31 18k ? 5 k (9k ? 4) ? ?? ? ? , 2 2 2 2 k (4 ? 9k ) S3k ?1 ? S3k ? a3k ? , 2

S3k ?2 ? S3k ?1 ? a3k ?1 ?

k (4 ? 9k ) (3k ? 1) 2 1 3k ? 2 1 ? ? ?k ? ? ? , 2 2 2 3 6



n 1 ? n ? 3k ? 2 ? ? 3 ? 6, ? ? (n ? 1)(1 ? 3n) Sn ? ? , n ? 3k ? 1 6 ? ? n(3n ? 4) , n ? 3k ? 6 ?

( k ? N* )

(2) bn ?

S3 n 9n ? 4 ? , n n?4 2 ? 4n 1 13 22 9n ? 4 Tn ? [ ? 2 ? ? ? ], 2 4 4 4n 1 22 9n ? 4 4Tn ? [13 ? ? ? ? n ?1 ], 2 4 4

两式相减得

9 9 ? n 1 9 9 9n ? 4 1 4 4 ? 9n ? 4 ] ? 8 ? 1 ? 9n , 3Tn ? [13 ? ? ? ? n ?1 ? n ] ? [13 ? 1 2 4 4 4 2 4n 22 n ?3 22 n ?1 1? 4

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.

8 1 3n Tn ? ? ? 2 n ?1 . 2 n ?3 3 3? 2 2 信息迁移题 b ?b 例题 设同时满足条件:① n n ? 2 ≤ bn ?1 (n ? N*) ;② bn ≤ M ( n ? N*, M 是与 n 无关的常数)的 2



无穷数列 {bn } 叫“特界” 数列. (Ⅰ)若数列 {an } 为等差数列, Sn 是其前 n 项和, a3 ? 4, S3 ? 18 ,求 Sn ; (Ⅱ)判断(Ⅰ)中的数列 {Sn } 是否为“特界” 数列,并说明理由. .解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d , 则 a1 ? 2d ? 4,3a1 ? 3d ? 18, 解得a1 ? 8, d ? ?2 , Sn ? na1 ? (Ⅱ)由 得
Sn ? Sn? 2 2 n(n ? 1) d ? ? n 2 ? 9n 2 ( S ? Sn ?1 ) ? ( Sn ?1 ? Sn ) an ? 2 ? an ?1 d ? Sn ?1 ? n ? 2 ? ? ? ?1 ? 0 2 2 2

Sn ? Sn? 2 ? S n ?1 ,故数列 {Sn } 适合条件① 2 9 81 而 S n ? ?n 2 ? 9n ? ?(n ? ) 2 ? (n ? N*) ,则当 n ? 4 或 5 时, Sn 有最大值 20 2 4

即 Sn ≤ 20 ,故数列 {Sn } 适合条件②. 综上,故数列 {Sn } 是“特界”数列。

变式训练

已知数集 A ? ?a1, a2 ,?an ??1 ? a1 ? a2 ? ?an , n ? 2? 具有性质 P ;对任意的
aj ai

i, j ?1 ? i ? j ? n ? , ai a j 与

两数中至少有一个属于 A .

(Ⅰ)分别判断数集 ?1,3, 4? 与 ?1, 2,3,6? 是否具有性质 P ,并说明理由; (Ⅱ)证明: a1 ? 1 ,且
a1 ? a2 ? ? ? an ? an ; ?1 ?1 a1?1 ? a2 ? ? ? an

(Ⅲ)证明:当 n ? 5 时, a1 , a2 , a3 , a4 , a5 成等比数列. 解: (Ⅰ)由于 3 ? 4 与

4 均不属于数集 ?1,3, 4? ,∴该数集不具有性质 P. 3 6 6 1 2 3 6 由于 1? 2,1? 3,1? 6, 2 ? 3, , , , , , 都属于数集 ?1, 2,3,6? , 2 3 1 2 3 6
∴该数集具有性质 P.

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.

(Ⅱ)∵ A ? ?a1, a2 ,?an ? 具有性质 P,∴ an an 与

an 中至少有一个属于 A, an

由于 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an ,∴ an an ? an ,故 an an ? A . 从而 1 ?
an ? A ,∴ a1 ? 1 . an

∵ 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an , ∴ ak an ? an ,故 ak an ? A? k ? 2,3,?, n? . 由 A 具有性质 P 可知
an ? A ? k ? 1, 2,3,?, n ? . ak

又∵

an a a a ? n ??? n ? n , an an ?1 a2 a1



an a a a ? 1, n ? a2 ,? n ? an?1 , n ? an , an an?1 a2 a1 an a a a ? n ? ? ? n ? n ? a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? an , an an?1 a2 a1

从而



a1 ? a2 ? ? ? an ? an . ?1 ?1 a1?1 ? a2 ? ? ? an a5 a 2 ? a2 , 5 ? a3 ,即 a5 ? a2a4 ? a3 , a4 a3

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 n ? 5 时,有

∵ 1 ? a1 ? a2 ? ? ? a5 ,∴ a3a4 ? a2a4 ? a5 ,∴ a3a4 ? A , 由 A 具有性质 P 可知
a4 ? A. a3

2 ,得 a2 a4 ? a3

a3 a4 a a a ? ? A ,且 1 ? 3 ? a2 ,∴ 4 ? 3 ? a2 , a2 a3 a2 a3 a2



a5 a4 a3 a2 ? ? ? ? a2 ,即 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 是首项为 1,公比为 a 2 成等比数列..k.s.5. a4 a3 a2 a1

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