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高中数学(选修1—1)同步导学案:2.1.1合情推理—类比推理


课题:2.1.1 类比推理
班级: 【学习目标】 姓名: 学号: 第 学习小组

1、理解类比推理的思想; 2、能够通过实验、观察,概括类比,猜测出新的命题、结论。 【课前预习】 鲁班由带齿的草发明锯; 人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇; 地球上有生命, 火星与地球有许多相似点,如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星,有大气层,也有季节 变更,温度也适

合生物生存,科学家猜测:火星上有生命存在. 以上都是类比思维, 即类比推理. 新知: 类比推理就是由两类对象具有 类对象也具有这些特征的推理. 到 新知: 进行 【课堂研讨】 例 1 在 Rt△ ABC 中,两直角边 AC ? b , BC ? a ,斜边 AB 上的高为 h , 则 和 ,然后提出 的推理. 都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再 的推理,我们把它们统称为合情推理.一般说合情 和其中 , 推出另一 简言之,类比推理是由

推理所获得的结论,仅仅是一种猜想,未必可靠.

1 1 1 ? 2 ? 2 .该结论的证明很简单.类比它,在立体几何中有何发现? 2 h a b

x2 y 2 例 2.已知椭圆具有性质:若 M ,N 是椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上关于原点对 a b
称的两个点,点 P 是椭圆上除 M ,N 点外的任一点,当直线 PM ,PN 的斜率都存在, 并记为 k PM 、 k PN 时,那么 k PM 与 k PN 之积是与点 P 位置无关的定值.试对双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) 写出类似的性质,并加以证明. a 2 b2

例3

已知命题: “若数列 ?an ? 为等差数列, 且 am ? a ,an ? b(m ? n,m,n ? N* ) ,

则 am ? n ?

bn ? an . ” 现 已 知 数 列 ?bn ? (bn ? 0,n ? N* ) 为 等 比 数 列 , 且 bm ? a , n?m


bn ? b(m ? n,m,n ? N* ) ,若类比上述结论,则可得到 bm?n ?

课题:2.1.1 合情推理——类比推理检测案
班级: 【课堂检测】
1. 类比平面向量基本定理:“如果 e1 , e2 是平面 ? 内两个不共线的向量,那么对于平面 内任一向量 a ,有且只有一对实数 ?1 , ?2 ,使得 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 ”,写出空间向量基 本定理是: 。 2.三角形的面积为 S ?

姓名:

学号:



学习小组

1 ?a ? b ? c ? ? r , a, b, c 为三角形的边长, r 为三角形内切圆的半 2

径,利用类比推理,可得出四面体的体积为

1 1 1 abc (2) 、 V ? Sh (3) 、 V ? ?S1 ? S 2 ? S 3 ? S 4 ?r 3 3 3 ( S1 , S 2 , S 3 , S 4 分别为四面体的四个面的面积,r 为四面体内切球的半径) 1 (4)、 V ? (ab ? bc ? ac )h, (h为四面体的高 ) 3
(1) 、 V ?

3.在平面直角坐标系中,直线一般方程为 Ax ? By ? C ? 0 ,圆心在 ( x0 , y0 ) 的圆的 一般方程为 ( x ? x0 ) 2 ? ( y ? y0 ) 2 ? r 2 。 则类似的,在空间直角坐标系中,平面的一般方程为__________ ______,

球心在 ( x0 , y0 , z 0 ) 的球的一般方程为_______________________. 4. 设 P 是 ?ABC 内一点, ?ABC 三边上的高分别为 hA 、 hB 、 hC ,P 到三边的

距离依次为 la 、 lb 、 lc ,则有

la lb lc ? ? ? ___________; hA hB hC

类比到空间, 设 P 是四面体 ABCD 内一点, 四顶点到对面的距离分别是 hA 、 hB 、 P 到这四个面的距离依次是 la 、lb 、lc 、ld , 则有_________________。 hC 、hD , 【课后巩固】
1. 现有一个关于平面图形的命题:如图,同一个平面内有两个边长都是 a 的正方 形, 其中一个的某顶点在另一个的中心, 则这两个正方形重叠部分的面积恒为

a2 . 类 4

比到空间,有两个棱长均为 a 的正方体,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两 个正方体重叠部分的体积恒为 .

2.已知 ?ABC 的三边长为 a, b, c , 内切圆半径为 r (用 S ?ABC 表示?ABC的面积) , 则 S ?ABC ?

1 r (a ? b ? c) ; 类比这一结论有: 若三棱锥 A ? BCD 的内切球半径为 R , 2

则三棱锥体积 V A? BCD ?

B 两点, 3.已知抛物线有性质: 过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于 A 、 则当 AB
与抛物线的对称轴垂直时, AB 的长度最短;试将上述命题类比到其他曲线,写出相 应的一个真命题为 .

4.已知正三角形内切圆的半径是高的 结论是_____

1 ,把这个结论推广到空间正四面体,类似的 3


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