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极坐标和参数方程-一轮复习


教学内容

【知识结构】 知识点一:极坐标
1.极坐标系 平面内的一条规定有单位长度的射线 , 为极点, 为极轴,选定一个长度单位和角的正方向

(通常取逆时针方向) ,这就构成了极坐标系。

2.极坐标系内一点 平面上一点

的极坐标 到极点 的距离 称为极径 , 与 轴的夹角 称为极角,

有序实数对

就叫做点

的极坐标。

3. 极坐标与直角坐标的互化 当极坐标系与直角坐标系在特定条件下(①极点与原点重合;②极轴与 轴正半轴重合;③长度单位 相同) ,平面上一个点 的极坐标 和直角坐标 ; 有如下关系:

直角坐标化极坐标:

极坐标化直角坐标:

.

此即在两个坐标系下,同一个点的两种坐标间的互化关系.

知识点三:参数方程
1. 概念:一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 都是某个变数 的函数:

,并且对于 的每一个允许值,方程所确定的点 这条曲线的参数方程,联系

都在这条曲线上,那么方程就叫做

间的关系的变数 叫做参变数(简称参数).
-1-

相对于参数方程来说, 前面学过的直接给出曲线上点的坐标关系的方程 方程。

, 叫做曲线的普通

知识点四:常见曲线的参数方程
1.直线的参数方程 (1)经过定点 ,倾斜角为 的直线 的参数方程为:

( 为参数) ; 其中参数 的几何意义: (当 在 上方时, , 在 ,有 下方时, ,即 )。 表示直线上任一点 M 到定点 的距离。

(2)过定点

,且其斜率为

的直线 的参数方程为:

( 为参数, 其中 的几何意义为:若 2.圆的参数方程 (1)已知圆心为

为为常数, 是直线上一点,则

) ; 。

,半径为 的圆

的参数方程为:

( 是参数,

) ;

特别地当圆心在原点时,其参数方程为

( 是参数) 。

(2)参数 的几何意义为:由 轴的正方向到连接圆心和圆上任意一点的半径所成的角。

(3)圆的标准方程明确地指出圆心和半径,圆的一般方程突出方程形式上的特点,圆的参数方程则 直接指出圆上点的横、纵坐标的特点。 3. 椭圆的参数方程

-2-

(1)椭圆



)的参数方程

( 为参数) 。

(2)参数 的几何意义是椭圆上某一点的离心角。 如图中,点 交大圆即以 对应的角为 为直径的圆于 (过 作 轴, 。

) ,切不可认为是

(3)从数的角度理解,椭圆的参数方程实际上是关于椭圆的一组三角代换。

椭圆

上任意一点可设成



为解决有关椭圆问题提供了一条新的途径。 4. 双曲线的参数方程

双曲线 5. 抛物线的参数方程



,

)的参数方程为

( 为参数) 。

抛物线

(

)的参数方程为

( 是参数) 。

参数 的几何意义为:抛物线上一点与其顶点

连线的斜率的倒数,即



【例题精讲】 类型一:极坐标方程与直角坐标方程
例 1.在极坐标系中,点 关于极点的对称点的坐标是_____ ,关于极轴的对称点的坐标是

_____,关于直线

的对称点的坐标是_______,

思路点拨:画出极坐标系,结合图形容易确定。 解析:它们依次是 或 ; ; ( ).

示意图如下: 总结升华:应用数形结合,抓住对称点与已知点之间的极径与极角的联系,同时应注意点的极坐标的
-3-

多值性。 举一反三: 【变式】已知点 ,则点

(1)关于 (2)关于直线 【答案】

对称点 的对称点

的坐标是_______, 的坐标为________ 。

(1)

由 图 知 :

,

, 所 以



(2) 直线



,所以







例 2. 化下列极坐标方程为直角坐标方程,并说明它是什么曲线。

(1)



(2)



(3)



(4)

. ,对已有方程进行变形、配凑。

思路点拨:依据关系式 解析: (1)方程变形为 ∴ 或 ,即 , 或



故原方程表示圆心在原点半径分别为 1 和 4 的两个圆。 (2) 变形得 故原方程表示直线 (3) 变形为 , 即 ,即 。 , ,

整理得



-4-

故原方程表示中心在

,焦点在 x 轴上的双曲线



(4)变形为 ∴ ,即

, , 。 ,把

故原方程表示顶点在原点,开口向上的抛物线

总结升华:极坐标方程化为直角坐标方程,关键是依据关系式 极坐标方程中的 用x、y表示。

举一反三: 【变式 1】把下列极坐标方程化为直角坐标方程,并说明它们是什么曲线.

(1)



(2)

, 其中



(3) 【答案】 : (1)∵ ,∴

(4)

即 .

,

故原方程表示是圆

(2)∵

, ∴



∴ ∴ 或

,∴





故原方程表示圆

和直线

.

(3)由

,得 .



,整理得

故原方程表示抛物线

(4)由



,

-5-



,即

故原方程表示圆 【变式 2】圆的直角坐标方程 【答案】将

. 化为极坐标方程为_______________. 代入方程得 .

例 3. 求适合下列条件的直线的极坐标方程:

(1)过极点,倾斜角是

; (2)过点

,并且和极轴垂直。 的直线为 .过点 垂直于极轴

思路点拨:数形结合, 利用图形可知过极点倾斜角为 的直线为 解析:

;或者先写出直角坐标方程,然后再转化成极坐标方程。

(1)由图知,所求的极坐标方程为



(2) (方法一)由图知,所求直线的方程为

,即

.

(方法二)由图知,所求直线的方程为

,即

.

总结升华:抓住图形的几何性质,寻找动点的极径与极角所满足的条件,从而可以得到极坐标方程. 也可以先求出直角坐标方程 运用所得的方程形式,可以更简捷地求解. 举一反三:

【变式 1】已知直线的极坐标方程为

,则极点到该直线的距离是______。

【答案】 :

。 ,

(方法一)把直线的极坐标方程化为直角坐标方程:
-6-

则原点(极点)到该直线的距离是



(方法二)直线

是将直线

绕极点顺时针旋转

而得到,易知,

极点到直线的距离为 【变式 2】解下列各题



(1)在极坐标系中,以 (2)极坐标系中,两圆

为圆心,半径为 1 的圆的方程为____,平行于极轴的切线方程为____; 和 的圆心距为______ ;

(3)极坐标系中圆 【答案】 (1) (方法一)

的圆心为________。



在圆上,则









由余弦定理得



,为圆的极坐标方程。

其平行于极轴的切线方程为 (方法二)





圆心

的直角坐标为



则符合条件的圆方程为



∴圆的极坐标方程:

整理得

,即

.

-7-

又圆

的平行于( 轴)极轴的切线方程为:









(2) (方法一)

的圆心为



的圆心为

,∴两圆圆心距为

.

(方法二)圆 圆

即 即

的圆心为 的圆心为

, ,

∴两圆圆心距为

.

(3) (方法一)令



,∴圆心为



(方法二)圆



的圆心为

,即

.

类型二:参数方程与普通方程互化
例 4.把参数方程化为普通方程

(1)

(

, 为参数);

(2)

(

, 为参数) ;

(3)

(

, 为参数);

(4)

( 为参数).

思路点拨: (1)将第二个式子变形后,把第一个式子代入消参; (2)利用三角恒等式进行消参; (3)观察式子的结构,注意到两式中分子分母的结构特点,因而可以采取加减消参的办法;或把 用 表示,反解出 后再代入另一表达式即可消参; 而已,因而消参方法依旧,但需要注意 、 的范围。

(4)此题是(3)题的变式,仅仅是把 换成 解析: (1)∵

,把

代入得



-8-

又∵

,

, ∴ (

, , ,把

, ) 代入得 .

∴ 所求方程为: (2)∵

又∵





,

. ∴ 所求方程为

(

,

).

(3) (法一) :

,

又 ∴ 所求方程为 (

, , ).

,

(法二) :由 ∴



,代入 (余略).

,

(4)由



, ∴

,由



,



时,

;当

时,

,从而

.

法一: 即 ( ) ,故所求方程为 (

, )

法二: 由



,代入



,即

-9-

∴再将

代入



,化简得

.

总结升华: 1. 消参的方法主要有代入消参,加减消参,比值消参,平方消参,利用恒等式消参等。 2.消参过程中应注意等价性,即应考虑变量的取值范围,一般来说应分别给出 、 中实际上是求函数值域的过程,因而可以综合运用求值域的各种方法. 举一反三: 【变式 1】化参数方程为普通方程。 的范围.在这过程

(1) 【答案】 :

(t 为参数) ;

(2)

(t 为参数).

(1)由 ∵ , ∴



,代入 , ( , )

化简得 .

.

故所求方程为

(2)两个式子相除得

,代入



,即

.



,故所求方程为

(

).

【变式 2】 (1)圆

的半径为_________ ;

(2)参数方程

(

表示的曲线为(

) 。

A、双曲线一支,且过点

B、抛物线的一部分,且过点

C、双曲线一支,且过点
- 10 -

D、抛物线的一部分,且过点

【答案】 : (1)

其中



,∴ 半径为 5。

(2)

,且

,因而选 B。

【变式 3】 (1)直线 : A、 B、

(t 为参数)的倾斜角为( C、 D、

) 。

(2)

为锐角,直线

的倾斜角(

) 。

A、 【答案】 :

B、

C、

D、

(1)

,相除得

,∴倾斜角为

,选 C。

(2)

,相除得





,∴

倾角为

,选 C。

例 5.已知曲线的参数方程 (1)当 为常数( ), 为参数(





为常数) 。

)时,说明曲线的类型;

(2)当 为常数且

, 为参数时,说明曲线的类型。

思路点拨:通过消参,化为普通方程,再做判断。
- 11 -

解析: (1)方程可变形为 取两式的平方和,得 曲线是以 为圆心,

( 为参数, 为常数)

为半径的圆。

(2)方程变形为

( 为参数, 为常数),

两式相除,可得 曲线是过点 且斜率

,即 的直线。

,

总结升华:从本例可以看出:某曲线的参数方程形式完全相同,但选定不同的字母为参数,则表示的 意义也不相同,表示不同曲线。因此在表示曲线的参数方程时,一般应标明选定的字母参数。 举一反三:

类型三:其他应用

例 6.椭圆

内接矩形面积的最大值为_____________.

思路点拨: 由椭圆的对称性知内接矩形的各边平行于两轴,只需求出其中一个点的坐标就可以用来表 示面积,再求出最大值。 解析:设椭圆上第一象限的点 ,则

当且仅当

时,取最大值,此时点

.

总结升华:利用参数方程结合三角函数知识可以较简洁地解决问题。 举一反三:

【变式 1】求椭圆 【答案】 :设

上的点到直线 : 到 的距离为 ,则

的最小距离及相应的点

的坐标。



- 12 -

(当且仅当



时取等号) 。

∴点 【变式 2】圆

到直线 的最小距离为

,此时点 上到直线 , 的距离为

,即



的点共有_______个.

【答案】 :已知圆方程为

设其参数方程为 则圆上的点



) 到直线 的距离为

,即





又 【变式 3】实数 、 【答案】 :

,∴ 满足

,从而满足要求的点一共有三个. ,求(1) , , (2) 的取值范围.

(1)由已知

设圆的参数方程为 ∴ ∵ (2) ,∴

( 为参数)



,∴

.

【巩固练习】
- 13 -

? 1. 已知点 M 的极坐标为 ? ?5, ? ,下列所给出的四个坐标中不能表示点 M 的坐标为 ? ?
? 3?

? A. ? 5, ? ? ? ?
? 3?

4? B. ? 5, ? ? ? ? 3?

2? C. ? 5, ? ? ? ? ? 3?

5? D. ? ?5, ? ? ? ? ? 3?

2. 点 ?2 , ? 2 ? 的极坐标为(
? 6?

) ) )

? 3. 圆心为 C ? 3, ? ,半径为 3 的圆的极坐标方程为( ? ?

4. 极坐标方程为 ? ? cos? ? 3sin ? ? 0 表示的圆的半径为(
? 3? ? 6?

? ? 5. 若 A ? 3, ? ,B ? ?3, ? ,则|AB|=___________,S ?AOB ? ___________。 (其中 O 是极点) ? ? ? ?

6. 极点到直线 ? ? cos? ? sin ? ? ? 3 的距离是_____________。 7. 极坐标方程 ? sin 2 ? ? 2 ? cos? ? 0 表示的曲线是____________。 8. 若圆 C 的方程是 ? ? 2a sin ? ,则它关于极轴对称的圆心方程为____________,它关于直 线? ?
3? 对称的圆的方程为____________。 4

9. 方程 ?

? x ? a sec? (? 为参数,ab ? 0) 表示的曲线是____________。 ? y ? b cos ?
?x ? x 0 ? t ?y ? y 0 ? 3t

10. 直线 ?

(t 为参数)上任一点 P 到 P0 ? x 0 ,y 0 ? 的距离为__________。

1 ? ?x ? 1? 2 t 11. 直 线 ? (t为参数)与圆x 2 ? y 2 ? 16交于A、B两点 , 则 AB 的 中 点 坐 标 为 ? ? y ? ?3 3 ? 3 t ? ? 2

__________。 12. 若F1、F2是椭圆
x2 y 2 ? ? 1的焦点,P为椭圆上不在x轴上的点,则?PF1F2的重心G 25 16

的轨迹方程为____________。 13. 求椭圆
x2 y 2 ? ? 1上一点P与定点( , 1 0)之间距离的最小值 。 9 4

14. 若方程 m? cos2 ? ? 3? sin2 ? ? 6cos? ? 0的曲线是椭圆,求实数m的取值范围。 15. 已知曲线C: ?
? x ? 2cos ? ,若 A、B 是 C 上关于坐标轴不对称的任意两点,AB 的垂直平 ? y ? sin ?

分线交 x 轴于 P(a,0) ,求 a 的取值范围。

- 14 -

【试题答案】 1. A. 能表示点 M 的坐标有(三)个,分别是 B、C、D。
? 2. 由 x ? 2,y ? ? 2 ,得 ? ? x 2 ? y 2 ? 6,而点 2, 2 位于第四象限且
tg? ? y 2 ? 7? ,故点 2, ?? ,? ? ? 或 ? ? ( ? 4 x 2 4

?

?

? 7? 的极坐标为 ? 6, ? ? 或写成 ? 6, ? 。 ? ? ? ? 2) ? ? 4? 4 ?

3. 如下图,设圆上任一点为 P( ? ,? ) ,则 ? OP? ? ?,?POA ? ? ? ,OA? ? 2 ? 3 ? 6 ?
6

?

Rt?OAP中, ? ? ?OA? ? cos ?POA ?OP
?? ? ? ? ? 6 c o?s ? ? ? 6? ?
P A C O x

?? ? 4. 方法一: 方程变形为 ? ? cos ? ? 3 sin ? ? 2cos ?? ? ? , 该方程表示的圆的半径与圆 ? ? 2cos ?
? 6?

的半径相等,故所求的圆的半径为 r=1 方法二:把方程化为 ? 2 ? ? cos? ? 3? sin? ? 0 化为直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? x ? 3 y ? 0
2 1? ? 3? ? 即? x ? ? ?? y ? ? ?1 2? ? 2 ? ? ? ? 2

可见所求圆的半径 r=1

5. 在极坐标系中画出点 A、B,易得 ?AOB ? 150?
?AOB中,由余弦定理,得:

? AB?

2

? ? OA? ? ? OB ? ? 2 ? OA? ? ? OB ? cos ?AOB
2 2

? ? AB? ? 32 ? 32 ? 2 ? 3 ? 3 ? cos150? ? 18 ? 9 3 ? 3 2 ? 3 ? S?OAB ? 1 1 9 ? OA? ? ? OB? ? sin ?AOB ? ? 3 ? 3 ? sin150? ? 2 2 4

3 2

?

6? 2

?

6.

极点为(0,0) ,直线的直角坐标方程为 x ? y ? 3 ? 0

- 15 -

? 极点到直线的距离 d ?

3 2

?

6 。 2

2 7. 方程两边同乘以 ? ,则 ? ? sin ? ? ? 2 ? cos ? ? 0,即y 2 ? 2 x,它表示抛物线。

8. 关于极轴对称的圆方程为 ? ? ?2a sin ? ,关于直线 ? ?

3? 对称的圆的方程为 ? ? ?2a cos ? 。 4

9. 方程表示的曲线为双曲线(可把参数方程化为普通方程 xy=ab) 10. 所求距离为 2|t|(把直线的参数方程化为标准形式) 11. 中点坐标为 ?3, ? 3 ?
3 t 代入 x2 ? y 2 ? 16,得:t 2 ? 8t ? 12 ? 0 ,设 A、B 对应的参数分 2 1 1 别为 t 1 ,t 2 ,则 AB 中点对应的参数为 t0 ? ? t1 ? t2 ? ? ? 8 ? 4 ,将 t 0 ? 4 代入直线参数方程, 2 2

(把 x ? 1 ? t,y ? ?3 3 ?

1 2

可求得中点的坐标。 )

12. 设 G ? x,y ?,P ?5cos?, ? ?,而F1 ? ?3, ,F2 ?3,? 4sin 0? 0
5cos ? ? ? ?3? ? 3 5cos ? ? ? ?x ? ? 3 3 (? 为参数) 由重心坐标公式,得: ? 4sin ? ? 0 ? 0 4sin ? ?y ? ? ? 3 3 ?

消参,得点 G 的轨迹方程为

9 x2 9 y 2 ? ?1 25 16

13. 解: (先设出点 P 的坐标,建立有关距离的函数关系)
设P ? 3cos ?, ? ?,则P到定点( , 2sin 1 0)的距离为 d ?? ? ?

? 3cos? ? 1? ? ? 2sin ? ? 0 ?
2

2

3 ? 16 ? ? 5cos 2 ? ? 6cos ? ? 5 ? 5 ? cos ? ? ? ? 5? 5 ?

2

3 4 5 当c o ? ? 时,d ?? 取最小值 s ) 5 5

14. 解:将方程两边同乘以 ? ,化为:
m ? ? cos ? ? ? 3 ? ? sin ? ? ? 6 ? cos ? ? 0
2 2

- 16 -

即mx 2 ? 3y 2 ? 6x ? 0 3? ? ?x ? ? ? m? 整理,得: 9
2

y2 ?1 3 m m2 若方程表示椭圆,则m须满足: ?

? 9 ? m2 ? 0 ? ?3 且 ? 0 ? ? ? ? 0 ? m ? 0 m ? 3 m ? ? ,? 3 ? ,3? ? ?m 3 ? 9 ? m2 ? m ?

15. 解: 设A?2 cos ?, sin ? ? ,B?2 cos ?, sin ? ?
? A、B关于坐标轴不对称 ? ? ? 2 k? ? ?,且? ? ?2 k ? 1?? ? ?,k ? z ? AB的 垂直平分线 与x轴交于点P ····· ? PA ? PB
? ? a ? 2 c o? ? ? ? s
2

s? ? ? ? a ? in
2

2?c o? ? ? s
2

?? s i n
2

解之,得:a ? 当c o ? ? s

3 ? c o? ? s 4

c ? ?s o

3 c o s? 时,a取最大值 ; ? 1 2

3 c o s? ? 时,a取最小值 ? 。 ? 1 2 3 3? ? ? a的取值范围为? ? , ? ? 2 2? 当c o ? ? s

- 17 -


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