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2005年全国高中数学联合竞赛试题


2005 年全国高中数学联合竞赛试题
一、 选择题(仅有一个选择支正确) y ) 1.是关于 x 的不等式 x ? 3 + A. 6 ? 3 B . 3

7.将关于 x 的多项式 f ( x) = 1 ? x + x 2 ? x 3 + ? ? x19 + x 20 表为关于 的 多 项 式

g ( y ) = a 0 + a

1 y + a 2 y 2 + ? + a19 y 19 + a 20 y 20








y = x?4



6 ? x ≥ k 有解的实数 k 的最大值是: (
C. 6 + 3 D. 6

a 0 + a1 + ? + a 20 =

2.空间四点 A 、B、C、D 满足 AB = 3 , BC = 7 , CD = 11 , DA = 9 ,则 AC ? BD 的值: ( ) A.只有一个 B .有二个 C. 有四个 D.有无穷多个 3.△ABC 内接于单位圆,三个内角 A、B、C 的平分线延长后分别交此圆于 A1、B 1、C1 则

8.已知 f (x ) 是定义在(0,+∞)上的减函数,若 f ( 2a 2 + a + 1) < f (3a 2 ? 4a + 1) 成立,则 a 的 取值范围是 。

9.设 α、β 、γ 满足 0 < α < β < γ < 2π ,若对于任意 x ∈ R, cos (x+ α )+cos (x+ β )+cos(x+ γ )=0,则 γ ? α = 10. 如图,四面体 DABC 的体积为 且满足∠ACB = 45°, 。 D

A B C AA1 ? cos + BB1 ? cos + CC1 ? cos 2 2 2 sisA + sisB + sisC

的值为





1 , 6

A.2 B .4 C. 6 D.8 4.如图,ABCD-AˊBˊCˊDˊ 为正方 形.任作平面 α 与对角线 A Cˊ垂直,使得 α 与 Dˊ 正方形的每个面都有公共点,记这样得到的截面 Aˊ 多变形的面积为 S,周长为 l. 则 ( ) A.S 为定值,l 不为定值 D B.S 不为定值,l 为定值 C.S 与 l 均为定值 A D.S 与 l 均不为定值 5.方程

Cˊ Bˊ

AD + BC +

AC 2

= 3, 则 CD =

A

45°

C

C B

B 11.若正方形 ABCD 的一条边在直线 y=2x-17 上,另外两个顶点在抛物线 y=x2 上。则该正方形面 积的最小值为 。 12.如果自然数 a 的各位数之和等于 7,那么称 a 为“吉祥数” 。将所有“吉祥数”从小到大排成 一列 a1 , a 2 , a 3 , ? ,若 a n = 2005 ,则 a 5 n = 三、解答题(每题 20 分) 解答题( 。

x2 sis 2 ? sis 3

+

y2 cos 2 ? cos 3

= 1 表示的曲线是





13. 数列 {a n } 满足: a 0 = 1, a n +1 =

2 7 a n + 45a n ? 36

2

,n ∈ N 。

A.焦点在 x 轴上的椭圆 B.焦点在 x 轴上的双曲线 C.焦点在 y 轴上的椭圆 D.焦点在 y 轴上的双曲线 6.记集合 T={0,1,2,3,4,5,6}

证明: (1)对任意 n ∈ n, a n 为正整数; (2)对任意 n ∈ n, a n a n +1 ? 1 为完全平方数

a a a ?a ? M = ? 1 + 2 + 3 + 4 a i ∈ T , i = 1,2,3,4? ,将 M 中的元素按从大到小的顺序排列,则第2005 2 3 4 7 7 ?7 7 ?
个数是

5 5 6 3 + 2 + 3+ 4 7 7 7 7 1 1 0 4 C. + 2 + 3 + 4 7 7 7 7
A. 二、填空题 (每小题 9 分)

5 5 6 2 + 2 + 3+ 4 7 7 7 7 1 1 0 3 D. + 2 + 3 + 4 7 7 7 7
B.

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14.将编号为 1,2,…,9 的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上各有一个小 球.设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为 S.求使 S 达到最小值的放法的概率. (注:如果 某种放法,经旋转或镜面反射后可与另一种放法重合,则认为是相同的放法)

加试题
一、(本题 50 分) 如图,在△ABC 中,设 AB>AC,过 A 作△ABC 的外接圆的切线 l, 又以 A 为园心,AC 为半径做圆分别交线段 AB 与 D;交直线 l 于 E、F。 证明:直线 DE、DF 分别通过△ABC 的内心与旁心。 (注:与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的 旁切圆,旁切圆的圆心称为旁心。 ) F D A E C l

B

15.过抛物线 y=x2 上一点 A(1,1)作抛物线的切线,分别交 x 轴于 D,交 y 轴于 B.点 C 在抛

AE BF 物线上,点 E 在线段 AC 上,满足 = λ1 ;点 F 在线段 BC 上,满足 = λ 2 ,且 λ1 + λ2 = 1 , EC FC
线段 CD 与 EF 交于点 P.当点 C 在抛物线上移动时,求点 P 的轨迹方程.

二、(本题 50 分)设正数 a、b、c、x、y、z 满足 cy + bz = a, az + cx = b, bx + ay = c 。求函数

x2 y2 z2 f ( x, y , z ) = + + 的最小值。 1+ x 1+ y 1+ z

   n为平方数, 当 ?0 ? 三、(本题 50 分)对每个正整数 n,定义函数 f ( n) = ? 1 (其中[x]表示 ?[{ n}]  当n不为平方数. ?
不超过 x 的最大整数,{x} = x - [x] )试求:

∑ f (k ) 的值。
k =1

240

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