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辽宁省大连市第二十高级中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试题


2015-2016 学年度上学期期中考试 高二数学(理科)试卷
考试时间:120 分钟 试题分数:150 分 卷Ⅰ
一、选择题: 本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.下列所给点中,在方程 x 2 ? xy ? 2 y ? 1 ? 0 表示的曲线上的是 (A) (0,0) (B) (1,?1) (C) (1,?2) (D) (1,1)

命题人:卢永娜

2. 椭圆 9 x2 ? y 2 ? 36 的短轴长为 (A) 2 (B) 4 3. 双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的离心率为 (A) 2 (B) 2

(C) 6

(D) 12

(C) 2 2

(D) 4

4. 已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,则椭圆的离心率等于 (A)

1 3

(B)

3 3

(C)

1 2

(D)

3 2

5. “点 P 到两条坐标轴距离相等”是“点 P 的轨迹方程为 y ?| x | ”的 (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (A)椭圆 7. 若椭圆 (B) 线段 (B) 必要不充分条件 (D) 不充分不必要条件 (C) 双曲线 (D) 两条射线

6.平面内,到两定点 F1 ?? 3,0? 、 F2 ?3,0? 的距离之差的绝对值等于 6 的点 M 的轨迹

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率为 ,则 m = 2 3 m
(B) 4 (C)

(A)

9 4

9 或4 4

(D)

3 2

8.焦点为 ?0,?3? ,且与双曲线

x2 ? y 2 ? 1 有相同的渐近线的双曲线方程是 2
(B)

(A)

x2 y2 ? ?1 3 6

y2 x2 ? ?1 3 6

(C)

y2 x2 ? ?1 6 3

(D)

x2 y2 ? ?1 6 3

9.已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上,若 P, F1 , F2 是一个直 16 7
7 3 7 7 或 4 3 7 6

角三角形的三个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为 (A)

7 4

(B)

(C)

(D)

x2 y2 10.已知 F1 , F2 是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两焦点,以点 F1 为直角顶点作等腰直 a b
角三角形 MF1F2 ,若边 MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是

(A)

5 ?1 2

(B) 5 ? 1

(C) 5 ? 1

(D)

5 2

11. 已知命题 p : 椭圆离心率越大,椭圆越扁;命题 q : 双曲线

x2 y 2 ? ? 1 上一点 P 到左焦 9 16
(D) (?p) ? (?q)

点距离为 7 ,则 P 到右焦点距离为 1 或 13 . 则下列命题中为真命题的是 (A) (?p) ? q (B) p ? q (C) (?p) ? (?q)

12.已知圆 C1 : ( x ? 1) ? y ? 1, C2 : ( x ? 1) ? y ? 25 ,动圆 C 与圆 C1 外切,与圆 C 2 内
2 2 2 2

切,则圆 C 的圆心的轨迹方程为 (A)

x2 y2 ? ?1 3 2

(B)

x2 y2 ? ?1 9 4

(C)

x2 y2 ? ?1 9 5

(D)

x2 y2 ? ?1 9 8

卷Ⅱ
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 椭圆 2 x ? 3 y ? 1 的焦点坐标为
2 2



14. 命 题 “ 如 果 一 个 双 曲 线 的 离 心 率 为 ________ .

2 ,则它的渐近线互相垂直”的否命题为

15. 对 于 任 意 实 数 ? , 曲 线 (1 ? ? ) x2 ? (1 ? ? ) y 2 ? (6 ? 4? ) x ?16 ? 6? ? 0 恒 过 定 点 .

16. 曲线 C 是平面内与两个定点 F1 (?1,0) 和 F2 (1,0) 的距离的积等于常数 a(a ? 1) 的点的 轨迹,给出下列四个结论: ①曲线 C 关于坐标轴对称; ②曲线 C 上的点都在椭圆

x2 y2 ? ? 1 外; a a ?1

③曲线 C 上点的横坐标的最大值为 a ? 1 ; ④若点 P 在曲线 C 上(不在 x 轴上) ,则 ?PF 1 F2 的面积不大于 其中,所有正确结论的序号是 .

1 a. 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 已知命题 p : “方程

x2 y2 ? ? m? 2 表示的曲线是椭圆” ,命题 q : “方程 2m ? 1 2 ? m

x2 y2 ? ? 2m ? 1 表示的曲线是双曲线”.且 p ? q 为真命题, p ? q 为假命题,求实 m ?1 m ? 3
数 m 的取值范围.

18.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)已知某椭圆的左右焦点分别为 F1 (?1,0), F2 (1,0) ,且经过点 P( , 标准方程以及离心率; (Ⅱ)某圆锥曲线以坐标轴为对称轴,中心为坐标原点,且过点 (2, 3 ), ( ,? 的标准方程、焦点以及离心率;

1 2

14 ) ,求该椭圆的 4

3 2

6 ) ,求该曲线 4

19.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1( y ? 0) ,其左右焦点分别为 F1 , F2 .对于命题 p : “ ? 点 P ? C , 4 3

?F1 PF2 ?

?
2

”.写出 ? p ,判断 ? p 的真假,并说明理由.

20. (本小题满分 12 分) 试推导焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程:

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) . a2 b2

21. (本小题满分 12 分) 已知动点 P 在双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 上,定点 A(m,0)(m ? 0) ,求 | PA | 的最小值以及取最小 值时 P 点的横坐标.

22. (本小题满分 12 分) 已知圆 F1 : ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 16 , 圆心为 F1 , 定点 F2 ( 3,0) ,P 为圆 F1 上一点, 线段 PF2 的垂直平分线与直线 PF1 交于点 Q . (Ⅰ)求点 Q 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 (0,2) 的直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 A 和 B ,且满足 ?AOB ? 90 ( O 为坐标
?

原点) ,求弦 AB 长的取值范围.

2015-2016 学年度上学期期中考试高二数学(理科)试卷参考答案
一、选择题 CBADB DCBCA DD 二、填空题 13. (?

6 , 0) . 6

14. “如果一个双曲线的离心率不为 2 ,则它的渐近线不垂直”. 16.①②③.

15. (2, ?2 2) . 三、解答题

? 2m ? 1 ? 0 1 ? 17.解:命题 p 为真命题时,则有 ? 2 ? m ? 0 ,则有 m ? ( ,1) ? (1, 2) .??3 分 2 ? 2m ? 1 ? 2 ? m ?
命题 q 为真命题时,则有 (m ? 1)(m ? 3) ? 0 ,则有 m ? (1,3) .??6 分 因为 p ? q 为真命题, p ? q 为假命题,所以 p 和 q 一真一假. 所以 m ? ( ,1) ? [2,3) ??10 分 18.解: (Ⅰ) | PF1 | ? | PF2 |? 2a ?

1 2

9 14 1 14 ? ? ? ? 2 2 ,所以 a ? 2 ,又 c ? 1 ,所以椭圆 4 16 4 16

x2 2 ? y 2 ? 1,离心率为 方程为 .??6 分 2 2
(Ⅱ)设该曲线方程为 mx ? ny ? 1 ,将 (2, 3 ), ( ,?
2 2

3 2

6 ) 带入可得 4

? 4m ? 3n ? 1 1 1 x2 y 2 ? m ? , n ? ? ? ? 1 ,是焦点为 (? 5,0) ,离 ,解得 ,所以该方程为 3 ?9 2 3 2 3 m ? n ? 1 ? 8 ?4
心率为

10 的双曲线. ??12 分 2

19.解: ? p 为: ? 点 P ? C , ?F1 PF2 ? 理由如下: 因为 ?F1 PF2 ?

?
2

.该命题为假命题,??4 分

?

2 ???? ???? ? 3 2 2 x 2 ? 3 ? x 2 ? 1 ? 0 ,即 x2 ? ?8 ,无解. 设 P( x, y ) ,则 PF 1 ? PF 2 ? x ? y ?1 ? 0 时,有 4
所以 ? p 为假命题. ??12 分

???? ???? ? ? PF ? PF 1 2 ? 0 ??6 分

P 的轨迹为椭 20. 解:到两定点 F 1 (?c,0), F 2 (c,0)(c ? 0) 距离之和为定值 2 a ( a ? c ) 的点
圆. ??2 分 设 P( x, y ) ,则 | PF1 | ? | PF2 |? 2a ?

y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2

? 所以 2a ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ??4 分

? (2a ? y 2 ? ( x ? c)2 )2 ? y 2 ? ( x ? c)2

2

? 4a 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? 4a y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? 4a 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? 4a y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ?a?
2

c x? a

y 2 ? ( x ? c) 2 (由定义可得 x ? [?a, a] ,所以 a ?

c x ? 0) ??6 分 a

c2 2 ? a ? 2cx ? 2 x ? y 2 ? ( x ? c)2 a

? y2 ?

a2 ? c2 2 y2 x2 2 2 x ? a ? c ? ? 1 ,因为 a ? c ,不妨令 a 2 ? c2 ? b2 , ,即 2 2 2 2 a a ?c a x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) .??12 分 a 2 b2

? 焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程:
21. 解:设 P( x, y ) ,则 | PA |?

( x ? m) 2 ? y 2 ? x 2 ? (2m ? 2) x ? m 2 ( x ? [0, ??) )

设函数 f ( x) ? x2 ? (2m ? 2) x ? m2 ( x ? [0, ??) )??4 分 其对称轴方程为 x ? m ? 1 ,所以: 当 m ? 1 ? 0 ,即 m ? 1 时, f ( x)min ? f (m ?1) ? 2m ?1 ,| PA |min ? 2m ?1 ,此时 P 点横 坐标为 m ? 1 .??8 分 当 m ? 1 ? 0 ,即 0 ? m ? 1 时, f ( x)min ? f (0) ? m2 , | PA |min ? m ,此时 P 点横坐标为

0 .??12 分
22. 解 : (Ⅰ)

C 是 以 | QF1 | ? | QF2 |?| QF1 | ? | QP |?| PF 1 |? 4 , 所 以 Q 的 轨 迹

F1 (? 3,0), F2 ( 3,0) 为焦点,长半轴长为 2 的椭圆,其方程为
(Ⅱ)由题可得直线 l 存在斜率,设其方程为 y ? kx ? 2 ,与椭圆

x2 ? y 2 ? 1.??4 分 4

x2 ? y 2 ? 1联立可得: 4

(1 ? 4k 2 ) x2 ? 16kx ? 12 ? 0 ,设直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 A( x1 , y1 ) 和 B( x2 , y2 ) ,
3 .??8 分 4 ??? ? ??? ? ? 2 因为 ?AOB ? ? OA ? OB ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,解得 k ? 4 . 2
2 则有 ? ? 0 ,解得 k ?

所以 k ? (

3 3 , 2) ? (?2, ? ) ??12 分 2 2

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