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定积分在几何上的应用


高等数学
题 目 本讲计 划学时 教学目的 教学重点 教学难点 2

教案
对应教材章(课)节 §6.2

定积分在几何上的应用

熟练地应用公式计算平面图形的面积及旋转体体积 运用定积分求平面图形的面积及旋转体体积 运用定积分求旋转体体积

序号 一、 二、

本讲主要环节(内容) 定积分求面积 定积分的求体积

时间(分) 90 90

教学方法

教学手段

讲授为主

板书

高等数学

一、平面图形的面积 由曲线 线x

教案
内 容 (教 学 时 数:2 ) 备注:



y ? f ( x ) ( f ( x ) ? 0 ) 及直
)与 x 轴所

? a与 x ? b ( a ? b

围成的曲边梯形面积 A 。

A ? ? f ( x)dx 其中: f ( x )dx 为面积
a

b

元素。 由曲线

y ? f ( x ) 与 y ? g( x ) 及 直 线 x ? a , x ? b ( a ? b

)且

f ( x ) ? g( x ) 所围成的图形面积

A ? ? f ( x) dx ? ? g ( x) dx
a a

b

b

? ? [ f ( x) ? g ( x) ]dx
a

b

其中 [ f ( x ) ?

g( x ) ]dx 为面积元素。
y 2 ? 2 x 与直线

【例 1 】计算抛物线

y ? x ? 4 所围成的图形面积。
解:1、先画所围的图形简图

解方程

? y2 ? 2x ? ?y ? x ? 4


,得交点:

(2,?2)

(8, 4) 。
x?8

2、选择积分变量并定区间 选取 x 为积分变量,则 0 ?


3、给出面积元素 在0 ?







(教 学 时 数:

) 备注:

x ? 2 上, x ? 8 上,
2

dA ? [ 2 x ? ( ? 2 x ) ]dx ? 2 2 xdx dA ? [ 2 x ? ( x ? 4) ]dx

在2 ?

? ( 4 ? 2 x ? x )dx
8

4、列定积分表达式

A ? ? 2 2xdx ? ? [ 4 ? 2x ? x ]dx
0 2

另解:若选取

y 为积分变量,则 ?2 ? y ? 4

dA ? [ ( y ? 4) ?
4

1 2 y ]dy 2
1 2 y )dy 2
4 ?2

A ? ?( y ? 4 ?
?2

y2 y3 ? ? 4y ? 2 6 ? 18
=18

显然,解法二较简洁,这表明积分变量的选取有个合理性的问题。 【例 2】求 y

? x2 ? 2 , y ? 2x ? 1围成的面积

? y ? x2 ? 2 2 解: ? , x ? 2 ? 2 x ? 1 , x ? ?1 , x ? 3 。 ? y ? 2x ? 1 2 当 ?1 ? x ? 3 时 x ? 2 ? 2 x ? 1 ,于是 3 1 2 A ? ? [(2 x ? 1) ? ( x 2 ? 2)]dx ? ( x 2 ? x3 ? 3x) 3 ?1 ? 10 3 3 1
【例 3】求椭圆

x2 a2

? 2 ? 1 所围成的面积 ( a ? 0 , b ? 0 ) 。 b

y2

解:据椭圆图形的对称性,整个椭圆面积应为位于第一象限内面积的 4 倍。 取 x 为积分变量,则






2



(教 学 时 数:

) 备注:

x 0 ? x ? a , y ? b 1? 2 a dA ? ydx ? b 1 ? 2 dx a


x2

A ? 4? ydx ? 4? b 1 ?
0 0

a

a

x2 dx a2

作变量替换

x ? a cos t

(0?t ?

?
2

)



y ? b 1 ? 2 ? b sin t , dx ? ?a sin tdt a
A ? 4?? (b sin t )(?a sin t )dt
2 0

x2

? 4ab ? 2 sin 2 tdt ? 4ab ?
0

?

(2 ? 1)! ? ? ? ? ab 2! 2

一、旋转体的体积
旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体, 该定直线称为旋转轴。 计算由曲线 y ?

f ( x) 直线 x ? a , x ? b 及 x 轴所围成的曲边梯形,绕

x 轴旋转一周而生成的立体的体积。









(教 学 时 数:

) 备注:

取 x 为积分变量,则 x ?[a, b] ,对于区间 [a, b] 上的任一区间 [ x, x ? dx] , 它所对应的窄曲边梯形绕 x 轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以

dx 为高的圆柱体体积。 即: 体积元素为 dV ? ? ? f ( x) ? dx f ( x) 为底半径,
2

所求的旋转体的体积为 V

? ? ? ? f ( x)? dx
2 a

b

2)绕 y 轴旋转一周形成旋转体: 位于区间 [ x, x ? dx] 上的部分绕 y 轴旋转一周而形成的旋转

?v ? ? ( x ? dx)2 ? f ( x) ? ? x 2 f ( x) ? 2? xf ( x)dx ,
原曲边梯形绕 y 轴旋转一周形成的旋转体体积 V 【例1】 求由曲线 y

? 2? ? xf ( x)dx
a

b

r ? ? x 及直线 x ? 0 , x ? h ( h ? 0 ) h

和 x 轴所围成的三角形绕 x 轴旋转而生成的立 体的体积。

解:取 x 为积分变量,则 x

?[0, h]
h

? ? r2 ?r ? V ? ? ? ? x ? dx ? 0 h2 ?h ?
h

2

?

0

x 2 dx ?

?
3

r 2h

【例 2】计算椭圆

x2 a2

? 2 ?1 b

y2

所围成的图形绕 x 轴旋转而成的立体体积。

解: 这个旋转体可看作是由上半个椭圆 形绕 x 轴旋转所生成的立体。

y?

b 2 a ? x 2 及 x 轴所围成的图 a









(教 学 时 数:

) 备注:

在 x 处(

? a ? x ? a ) ,用垂直于 x 轴的平面去截立体所得截面积为

A( x) ? ? ? (
a

b 2 a ? x 2 )2 a

V ? ? A( x)dx ?
?a

? b2

4 2 2 ( a ? x ) dx ? ? ab2 2 ?? a a 3
a

作业、讨论题、思考题:


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