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高考专题辅导与测试第2部分 专题一 第二讲 数形结合思想


质量铸就品牌 品质赢得未来

第2部分

专题一

数学思想与方法

数 学

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第二讲

数形结合思想

第二讲

数形结合思想

1.数形结合的含义

(1)数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形 的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.数形结合思想 通过“以形助数,以数辅形”,使复杂问题简单化,抽象问题具 体化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质, 它是数学的规律性与灵活性的有机结合.
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数形结合思想

(2)数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方 面,其应用大致可以分为两种情形:一是借助形的生动性和 直观性来阐明数形之间的联系,即以形作为手段,数作为目 的,比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质;二是借 助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数 作为手段,形作为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲 线的几何性质.

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数形结合思想

2.数形结合的途径 (1)通过坐标系“形题数解” 借助于直角坐标系、复平面,可以将几何问题代数化.这 一方法在解析几何中体现得相当充分(在高考中主要也是以解析 几何作为知识载体来考查的). 值得强调的是, “形题数解”时, 通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧(这是因为三角公 式的使用,可以大大缩短代数推理).

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数形结合思想

实现数形结合,常与以下内容有关:①实数与数轴上的点 的对应关系;②函数与图像的对应关系;③曲线与方程的对应 关系;④以几何元素和几何条件为背景,建立起来的概念,如 复数、三角函数等;⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的 几何意义. 如等式(x-2)2+(y-1)2=4, 表示坐标平面内以(2,1) 为圆心,2 为半径的圆.

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(2)通过转化构造“数题形解” 许多代数结构都有着相对应的几何意义,据此,可以将数与 形进行巧妙地转化.例如,将 a(a>0)与距离互化;将 a2 与面积互 化,将 a2+b2+ab=a2+b2-2|a||b|cos θ(θ=60° θ=120° 或 )与余弦 定理沟通;将 a≥b≥c>0 且 b+c>a 中的 a、b、c 与三角形的三边 沟通;将有序实数对(或复数)和点沟通;将二元一次方程与直线、 将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几 何结构的转化常常表现为构造一个图形(平面的或立体的).另外, 函数的图像也是实现数形转化的有效工具之一,正是基于此,函 数思想和数形结合思想经常相互渗透,演绎出解题捷径.
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数形结合思想

利用数形结合讨论方程的解或图像的交点
[例 1] 1 (2013· 长沙模拟)若 f(x)+1= ,当 x∈[0,1]时, f?x+1?

f(x)=x,若在区间(-1,1]内 g(x)=f(x)-mx-m 有两个零点,则 实数 m 的取值范围是
? 1? A.?0,2? ? ? ? 1? C.?0,3? ? ? ?1 ? B.?2,+∞? ? ? ? 1? D.?0,2? ? ?

(

)

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[思维流程]

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[解析]

当 x∈(-1,0]时,x+1∈(0,1],

∵当 x∈(0,1]时,f(x)=x,∴f(x+1)=x+1. 1 1 而由 f(x)+1= ,可得 f(x)= -1 f?x+1? f?x+1? 1 = -1(x∈(-1,0]). x+1 如图所示,作出函数 f(x)在区间(-1,1]内的图像, 而函数 g(x)零点的个数即为函数 f(x)与 y=mx+m 图像交点 的个数,显然函数 y=mx+m 的图像为经过点 P(-1,0),斜率为 m 的直线.
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1-0 如图所示, f(1)=1, B(1,1). 故 直线 PB 的斜率 k1= 1-?-1? 1 =2;直线 PO 的斜率为 k2=0.由图可知,函数 f(x)与 y=mx+ m 的图像有两个交点,则直线 y=mx+m 的斜率 k2<m≤k1,即
? 1? m∈?0,2?. ? ?

[答案]

D

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第二讲

数形结合思想

总结 ——————————规律· —————————————

利用数形结合求方程解应注意两点 (1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数, 使问题转 化为讨论两曲线的交点问题, 但用此法讨论方程的解一定要注意 图像的准确性、全面性,否则会得到错解. (2)正确作出两个函数的图像是解决此类问题的关键,数形 结合应以快和准为原则而采用,不要刻意去数形结合.

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1.若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x),且 x∈[-1,1] ?lg x,x>0, ? ?0,x=0, 2 时,f(x)=1-x ,函数 g(x)=? ? 1 ?-x,x<0, ? f(x)-g(x)在区间[-5,5]内零点的个数是 A.5 C.8 B.7 D.10

则函数 h(x)=

(

)

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数形结合思想

解析:依题意得,函数 f(x)是以 2 为周期的函数,在同一坐 标系下画出函数 y=f(x)与函数 y=g(x)的图像,结合图像得, 当 x∈[-5,5]时, 它们的图像的公共点共有 8 个, 即函数 h(x) =f(x)-g(x)在区间[-5,5]内的零点的个数是 8.

答案:C
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数形结合思想

利用数形结合解不等式或求参数
[例 2] (1)使 log2(-x)<x+1 成立的 x 的取值范围是_______.

1 (2)若不等式|x-2a|≥2x+a-1 对 x∈R 恒成立, a 的取值范围 则 是________.

[思维流程]

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[解析]

(1)在同一坐标系中,分别作出 y=

log2(-x),y=x+1 的图像,由图可知,x 的取 值范围是(-1,0). 1 (2)作出 y=|x-2a|和 y=2x+a-1 的简图, 依题意知应有 2a≤2-2a, 1 故 a≤2.

[答案]
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(1)(-1,0)

? 1? (2)?-∞,2? ? ?

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第二讲

数形结合思想

总结 ——————————规律· —————————————
利用数形结合解不等式应注意的问题 解含参数的不等式时,由于涉及到参数,往往需要讨论, 导致运算过程繁琐冗长.如果题设与几何图形有联系,那么利 用数形结合的方法,问题将会顺利地得到解决.

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第二讲

数形结合思想

2.当 x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax 恒成立,则 a 的取值 范围为 A.(2,3] C.(1,2] B.[4,+∞) D.[2,4) ( )

解析:设 y1=(x-1)2,y2=logax,则 y1 的图 像为如图所示的抛物线.要使对一切 x∈(1,2), y1<y2 恒成立,显然 a>1,并且只需当 x=2 时, logax≥1,即 a≤2,所以 1<a≤2.

答案:C
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第二讲

数形结合思想

利用数形结合求最值
y [例 3] (1)如果实数 x, 满足(x-2)2+y2=3, x的最大值为( y 则 1 A.2 3 C. 2 3 B. 3 D. 3 )

(2)已知 a,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足 (a-c)· (b-c)=0,则|c|的最大值是 A.1 C. 2
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(

)

B.2 2 D. 2

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[思维流程]

(1)

(2)

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[解析]

(1)(x-2)2+y2=3 表示坐标平面

上的一个圆,圆心为 M(2,0),半径 r= 3, y y-0 如图,而x= 表示圆上的点(x,y)与原点 x-0 O(0,0)连线的斜率. 该问题转化为如下几何问题:点 A 在 M(2,0)为圆心, 3为半 径的圆上移动,求直线 OA 的斜率的最大值. 由图可知, 当点 A 在第一象限, OA 与圆相切时 OA 的斜率 且 最大.
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连接 AM,则 AM⊥OA,|OA|= |OM|2-|AM|2= 22-? 3?2=1, y 可得x的最大值为 tan ∠AOM= 3,故选 D.

???? (2)因为(a-c)· (b-c)=0,所以(a-c)⊥(b-c).如图所示,设 OC = ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? ??? ? c,OA=a,OB =b, CA =a-c,CB =b-c,即 AC ⊥ BC ,又 OA⊥ ??? ? OB ,所以 O,A,C,B 四点共圆.
当且仅当 OC 为圆的直径时,|c|最大,且最大值为 2.
[答案]
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(1)D

(2)C

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总结 ——————————规律· —————————————
利用数形结合求最值的方法步骤 第一步:分析数理特征,确定目标问题的几何意义.一般从图形结 构、图形的几何意义分析代数式是否具有几何意义. 第二步:转化为几何问题. 第三步:解决几何问题. 第四步:回归代数问题. 第五步:回顾反思.应用几何意义数形结合法解决问题需要熟悉常 见的几何结构的代数形式,主要有:(1)比值——可考虑直线的斜率; (2)二元一次式——可考虑直线的截距;(3)根式分式——可考虑点到直线 的距离;(4)根式——可考虑两点间的距离.
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第二讲

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3 1 3.对于任意 x∈R,函数 f(x)表示-x+3,2x+2,x2-4x+3 中的较大者,则 f(x)的最小值是 A.2 C.8 B.3 D.-1 ( )

3 1 解析:分别画出 y=-x+3,y=2x+2,y=x2-4x+3 三个函数 的图像,如图所示,得到三个交点 A(0,3),B(1,2),C(5,8).

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?x2-4x+3,x≤0, ? ?-x+3,0<x≤1, 函数 f(x)的表达式为 f(x)=?3 1 ?2x+2,1<x≤5, ? 2 ?x -4x+3,x>5, f(x)的图像是图中的实线部分,图像的最低点是 B(1,2), 所以函数 f(x)的最小值是 2.
答案:A

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1+cos 2x+4sin2x π 4.当 0<x<2,函数 f(x)= 的最小值为 sin 2x A.-4 C.4 B.-2 2

(

)

D.2 2 1+cos 2x+2?1-cos 2x? 3-cos 2x 解析:f(x)= = ,它表示点(0,3) sin 2x 0-?-sin 2x?
与点(-sin 2x, 2x)连线的斜率, cos 而点(-sin 2x, 2x)在 cos 时是圆 x2+y2=1 的左半圆(不含端点),数形结合 可知当过(0,3)的直线与该半圆相切时,斜率最小, |3| 即 f(x)最小.设切线方程为 y=kx+3,则 2 = k +1 1?k=2 2或 k=-2 2(舍),故 f(x)的最小值为 2 2. 答案:D
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? π? ?0, ? x∈ 2? ?

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数形结合思想

1.应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化 (1)集合的运算及韦恩图; (2)函数及其图像; (3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图像; (4)方程(多指二元方程)及方程的曲线; (5)对于研究距离、角或面积的问题,直接从几何图形入手 进行求解即可;
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数形结合思想

(6)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题,可通过函数的图 像求解(函数的零点、顶点是关键点),做好知识的迁移与综合运用. 2.运用数形结合的思想分析解决问题时,应把握以下三个原则 (1)等价性原则 在数形结合时,代数性质和几何性质的转换必须是等价的,否则 解题将会出现漏洞,有时,由于图形的局限性,不能完整地表现数的 一般性,这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明,但它同时也 是抽象而严格证明的诱导.

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数形结合思想

(2)双向性原则 在数形结合时,既要进行几何直观的分析,又要进行代数抽象 的探索,两方面相辅相成,仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何 问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的. 例如,在解析几何中,我们主要是运用代数的方法来研究几何 问题,但是在许多时候,若能充分地挖掘利用图形的几何特征,将 会使得复杂的问题简单化. (3)简单性原则 就是找到解题思路之后,至于用几何方法还是用代数方法或者 兼用两种方法来叙述解题过程,则取决于哪种方法更为简单,而不 是去刻意追求代数问题运用几何方法,几何问题运用代数方法.
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数学思想专练(二)

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