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河北省定兴第三中学2015-2016学年高二上学期第二次月考数学(理)试题


定兴三中 2015-2016 学年第一学期 10 月考试
高二理科数学试卷 命题人:王立民 (考试时间:120 分钟;分值:150 分)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.) 2 1.已知 p:|x|<2;q:x -x-2<0,则

q 是 p 的____条件( ) A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要
2 2

2.若在区间[-5,5]内任取一个实数 a,则使直线 x+y+a=0 与圆(x-1) +(y+2) =2 有公共点的概率为( A. 2 5 ) 2 B. 5
2

3 C. 5

3 2 D. 10
2

3.已知命题 p:?x∈[1,2],x -a≥0,命题 q:?x0∈R,x0+2ax0+2-a=0,若“p 且 q”为真命题,则实数 a 的取值范围是( A.a=1 或 a≤-2 ) C.a≥1 D.-2≤a≤1

B.a≤-2 或 1≤a≤2

4.已知 M(-2,0),N(2,0),则以 MN 为斜边的直角三角形的直 角顶点 P 的轨迹方程为 A.x +y =2 C.x +y =2(x≠±2)
2 2 2 2

( B.x +y =4 D.x +y =4(x≠±2)
2 2 2 2

)

5.执行如图所示程序框图,若输出的结果为 3,则可输入的实 数 x 的个数为( A.1 ) B.2 C.3 )
2

D.4

6.下列命题错误的是(

A.命题“若 m>0,则方程 x +x-m=0 有实数根”的逆否命题 为:“若方程 x +x-m=0 无实数根,则 m≤0” B.“x=1”是“x -3x+2=0”的充分不必要条件 C.若 p∧q 为假命题,则 p,q 均为假命题 D.对于命题 p:?x∈R,使得 x +x+1<0,则?p:?x∈R,均有 x +x+1≥0 7.为规范学校办学,省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查.抽到的班级一共有 52 名学生.现将该班学生随机编号,用系统抽样的方法抽到一个容量为 4 的样本,已知 7 号, 33 号,46 号同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应是( A.13 B.19 C.51 D.20 )
2 2 2 2

8.已知 F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点,过 F2 且垂直于 x 轴的直线与椭圆 C 交 于 A、B 两点,且|AB|=3,则 C 的方程为( )

A. +y =1 2

x2

2

B. + =1 3 2

x2 y2

C. + =1 4 3

x2 y2

D. + =1 5 4

x2 y2

9.已知 x,y 取值如下表:

x y

0 1.3

1 1.8

4 5.6

5 6.1

6 7.4

8 9.3 )

^ ^ 从所得散点图中分析可知:y 与 x 线性相关,且y=0.95x+a,则 x=13 时,y=( A.1.45 B.13.8 C.13 D.12.8

1 1 8 10. 设事件 A, B, 已知 P(A)= , P(B)= , P(A∪B)= , 则 A, B 之间的关系一定为( 5 3 15 A.互斥事件 B.非互斥事件 C.两个任意事件 D.对立事件

)

11.如图是某位篮球运动员 8 场比赛得分的茎叶图,其中一 据染上污渍用 x 代替,那么这位运动员这 8 场比赛的得分平均数 于得分中位数的概率为( A. 2 10 3 B. 10 ) 6 C. 10 7 D. 10

个数 不小

x2 y2 ?1 ? 12.设 e 是椭圆 + =1 的离心率,且 e∈? ,1?,则实数 k 4 k ?2 ?
值范围是( A.(0,3) ) B.?3,

的取

? ?

16? ? 3?

?16 ? C.(0,3)∪? ,+∞? ?3 ?
第Ⅱ卷(共 90 分)

D.(0,2)

二、填空题: (本大题共 6 小题,每题 5 分,共 30 分,把最简答案填在答题卡的横线上) x 2 13.命题“?x∈R,2 ≤x ”的否定为________. 14.一个总体分为 A,B 两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本,已 1 知 B 层中每个个体被抽到的概率都为 ,则总体中的个数为________. 12 15.已知命题 p:?x∈R,mx +1≤0,命题 q:?x∈R,x +mx+1>0.若 p∨q 为假命题, 则实数 m 的取值范围为________. 16.从三男三女 6 名学生中任选 2 名(每名同学被选中的机会相等),则 2 名都是女同学 的概率等于________. 17.已知方程
2 2

x2

m-1 1+2m



y2

=1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是________.

18.已知 F1、F2 是椭圆 C 的左、右焦点,点 P 在椭圆上,且满足|PF1|=2|PF2|,∠PF1F2 =30°,则椭圆的离心率为________. 三、解答题(本题共 5 小题,共 60 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤)

19.(本小题满分 12 分) 已知 p:?x∈R,2x>m(x +1),q:?x0∈R,x0+2x0-m-1=0, 且 p∧q 为真,求实数 m 的取值范围.

2

2

20.(本小题满分 12 分)对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了 6 次测试,测得他 们的最大速度(m/s)的数据如下表: 甲 乙 (1)画出茎叶图; (2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度 (m/s)数据的平均数、方差,并判断选谁参 加比赛更合适? 27 33 38 29 30 38 37 34 35 28 31 36

21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C: + =1 和点 P(1,2),直线 l 经过点 P 并与椭圆 C 交于 A、B 两点,求当 l 16 9 的倾斜角变化时,弦中点的轨迹方程.

x2

y2

22.(本小题满分 12 分) 为了了解某年段 1 000 名学生的百米成绩情况,随机抽取了若 干学生的百米成绩,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间,将成绩按如下方式分成五组:第一组 [13,14);第二组[14,15);??;第五组[17,18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如 图所示,已知图中从左到右的前 3 个组的频率之比为 3∶8∶19,且第二组的频数为 8. (1)将频率当作概率,请估计该年段学生中百米成绩在[16,17)内的人数; (2)求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩; (3)若从第一、五组中随机取出两个成绩,求这两个成绩的差的绝对值大于 1 秒的概率.

x2 y2 1 ? 3? 23. (本小题满分 12 分) 椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)过点 A?1, ?,离心率为 ,左、右焦 a b 2 ? 2?
点分别为 F1,F2.过点 F1 的直线 l 交椭圆于 A、B 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)当△F2AB 的面积为 12 2 时,求 l 的方程. 7

定兴三中理科数学参考答案
1.答案:A 解析:由|x|<2 得-2<x<2,∴p:-2<x<2;由 x -x-2<0,得-1<x<2,∴ ,∴q 是 p 的充分不必要条件.
2

q:-1<x<2,∴q?p,
2.答案:B

|1-2+a| |a-1| 解析:若直线与圆有公共点,则圆心到直线的距离 d= = 2 2

4 2 ≤ 2,解得-1≤a≤3.又 a∈[-5,5],故所求概率为 = ,故选 B. 10 5 3.答案:A
2

解析:若命题 p:?x∈ [1,2],x -a≥0 为真,则 a≤1.若命题 q:?x0
2

2

∈R,x0+2ax0+2-a=0 为真,则 Δ =4a -4(2-a)≥0,得 a≥1 或 a≤-2,又 p 且 q 为真 命题,所以 a=1 或 a≤-2. 4.答案:D 5.答案:C 的 x 的值有 3 个. 6.答案:C 不正确. 7. 答案: D 解析: 由 52 =13, 知抽样间隔为 13, 故抽取的样本编号为 7,13+7,7+13×2,7 4 解析:由于当 p、q 中有一个为假,如 p 真 q 假时,p∧q 为假命题,故 C 解析 设 P(x,y),则|PM| +|PN| =|MN| ,所以 x +y =4(x≠±2).
2 2 2 2 2 2

解析:由 x -1=3,得 x=-2 或 x=2,由 log2x=3,得 x=8.故可输入

+13×3.即 7,20,33,46 号.

8.答案:C

c=1, ? ?2b 解析:由题意得? =3, a ? ?a -b =c ,
2 2 2 2

得?

?b =3, ? ? ?a =4,
2

2

∴所求的椭圆方程为 + =1. 4 3 9.答案:B - 1 - 1 解析:由题意, x = (0+1+4+5+6+8)=4, y = (1.3+1.8+5.6+6.1 6 6

x2 y2

^ +7.4+9.3)=5.25.∵y 与 x 线性相关,且y=0.95x+a,∴5.25=0.95×4+a,∴a=1.45. ^ 从而当 x=13 时,有y=13.8.故选 B. 10.答案:A 8 15 1 1 1 1 8 解析:因为 P(A)= ,P(B)= ,所以 P(A)+P(B)= + = ,又 P(A∪ 5 3 5 3 15

B)= ,所以 P(A∪B)=P(A)+P(B),所以 A,B 为互斥事件.
11.答案:B 10×4+20×2+7×2+9+8+3+1+x 解析:这 8 场比赛的平均分为 ,中 8

20+7+x 115+x 27+x 7 3 位数为 ,由题意得 ≥ ,得 x≤ ,又 x∈N,∴x=0,1,2,∴其概率 P= . 2 8 2 3 10 12.答案:C 1 k-4 16 解析:当 k>4 时,c= k-4,由条件知 < <1,解得 k> ;当 0<k<4 4 k 3

1 4-k 时,c= 4-k,由条件知 < <1,解得 0<k<3,综上知选 C. 4 4 13.答案:?x∈R,2 >x
x
2

14.答案:120 解析:由分层抽样定义知,任何个体被抽到的概率都是一样的,设总体 10 1 个数为 x,则 = ,故 x=120. x 12 15.答案:m≥2 解析:若 p∨q 为假命题,则 p、q 均为假命题,则?p:?x∈R,mx
2 2 2

+1>0 与?q:?x∈R,x +mx+1≤0 均为真命题.根据?p:?x∈R,mx +1>0 为真命题可得

m≥0,根据?q:?x∈R,x2+mx+1≤0 为真命题可得 Δ =m2-4≥0,解得 m≥2 或 m≤-2.综
上,m≥2. 1 16.答案: 5 解析:从 6 名学生中任选 2 名共有 15 种不同的情形,其中 2 名都是女同

3 1 学的情形有 3 种,其概率为 P= = . 15 5 17.答案: m>1
?1+2m>m-1, ? 解析 由题意得? ? ?m-1>0,

解得 m>1. π ,设 2

18.答案:

3 解析 3

在△PF1F2 中,由正弦定理得 sin ∠PF2F1=1,即∠PF2F1=

2c 3 |PF2|=1,则|PF1|=2,|F2F1|= 3,所以离心率 e= = . 2a 3 19.解:2x>m(x +1)可化为 mx -2x+m<0. 若 p:?x∈R,2x>m(x +1)为真,则 mx -2x+m<0 对任意的 x∈R 恒成立.??2 分 当 m=0 时,不等式可化为-2x<0,显然不恒成立;??????????3 分
? ?m<0, 当 m≠0 时,有? 2 ?4-4m <0, ?
2 2 2 2 2

∴m<-1. ?????5 分
2

若 q:?x0∈R,x0+2x0-m-1=0 为真,则方程 x +2x-m-1=0 有实根,???7 分 ∴4+4(m+1)≥0,∴m≥-2. ????9 分 又 p∧q 为真,故 p,q 均为真命题.?????10 分
? ?m<-1, ? ?m≥-2, ?

∴-2≤m<-1. ????12 分

20.解:(1)画茎叶图如图所示,中间数为数据的十位数.

????5 分 (2)由茎叶图把甲、乙两名选手的 6 次成绩按从小到大的顺序依次排列为 甲:27,30,31,35,37,38; 乙:28,29,33,34,36,38. 1 - 所以 x 甲= ×(27+30+31+35+37+38)=33,?????6 分 6 -

x 乙= ×(28+29+33+34+36+38)=33. ????7 分
1 6 1 6 47 3

1 6

2 2 2 2 2 2 s2 ,???9 分 甲= ×[(-6) +(-3) +(-2) +2 +4 +5 ]=

2 2 2 2 2 s2 .????11 分 乙= ×[(-5) +(-4) +0+1 +3 +5 ]=

38 3

- - 2 2 因为 x 甲= x 乙,s甲>s乙,所以乙的成绩更稳定,故乙参加比赛更合适.????12 分 21.解:设弦中点为 M(x,y),交点为 A(x1,y1),B(x2,y2). 当 M 与 P 不重合时,A、B、M、P 四点共线. ∴(y2-y1)(x-1)=(x2-x1)(y-2),①??????2 分 由 + =1, + =1 两式相减得 16 9 16 9 ????4 分 ②???8 分

x2 1

y2 1

x2 2

y2 2

?x1-x2??x1+x2? ?y1-y2??y1+y2? + =0. 16 9 又 x1+x2=2x,y1+y2=2y,∴
2 2

2x?x1-x2? 2y?y1-y2? =- , 16 9 ③?????10 分

由①②可得:9x +16y -9x-32y=0,

当点 M 与点 P 重合时,点 M 坐标为(1,2)适合方程③, ∴弦中点的轨迹方程为:9x +16y -9x-32y=0. ????12 分 22. 解:(1)百米成绩在[16,17)内的频率为 0.32×1=0.32.∴0.32×1 000=320(人). ∴估计该年段学生中百米成绩在[16,17)内的人数为 320 人.?????2 分 (2)设图中从左到右前 3 个组的频率分别为 3x,8x,19x 依题意, 得 3x+8x+19x+0.32×1 +0.08×1=1,∴x=0.02. ?????4 分 8 设调查中随机抽取了 n 个学生的百米成绩,则 8×0.02= ,∴n=50,
2 2

n

∴调查中随机抽取了 50 个学生的百米成绩.?????6 分 (3)百米成绩在第一组的学生数有 3×0.02×1×50=3,记他们的成绩为 a,b,c, 百米成绩在第五组的学生数有 0.08×1×50=4,记他们的成绩为 m,n,p,q,

则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有 {a,b},{a,c},{a,m},{a,n},{a,p},{a,q},{b,c},{b,m},{b,n},{b,

p},{b,q},{c,m},{c,n},{c,p},{c,q},{m,n},{m,p},{m,q},{n,p},{n, q},{p,q},共 21 个.????8 分
记事件 A 为满足成绩的差的绝对值大于 1 秒,则事件 A 所包含的基本事件有{a,m},{a,

n},{a,p},{a,q},{b,m},{b,n},{b,p},{b,q},{c,m},{c,n},{c,p},{c, q},共 12 个,?????10 分
12 4 ∴所求的概率 P(A)= = .????12 分 21 7

x2 y2 1 9 ? 3? 23. 解:(1)∵椭圆 C: 2+ 2=1 过点 A?1, ?,∴ 2+ 2=1.① a b a 4b ? 2?
1 c 1 ∵离心率为 ,∴ = .② 2 a 2
2 2

又∵a =b +c ,③

2

2

2

解①②③得 a =4,b =3,∴椭圆 C 的方程为 + =1. ?????4 分 4 3 (2)由(1)得 F1(-1,0), π ①当 l 的倾斜角是 时,l 的方程为 x=-1, 2

x 2 y2

A?-1, ?,B?-1,- ?, 2 2

? ?

3?

?

? ?

3?

?

1 1 12 2 此时 S△ABF2= |AB|×|F1F2|= ×3×2=3≠ ,不合题意.???6 分 2 2 7 π ②当 l 的倾斜角不是 时,设 l 的斜率为 k,则其直线方程为 y=k(x+1), 2

x y ? ? + =1, 由? 4 3 ? ?y=k?x+1?,

2

2

消去 y 得:(4k +3)x +8k x+4k -12=0. ????7 分

2

2

2

2

设 A(x1,y1),B(x2,y2), 8k 4k -12 则 x1+x2=- 2 ,x1x2= 2 ,????8 分 4k +3 4k +3 1 ∴S△F2AB=S△F1F2B+S△F1F2A= |F1F2|(|y1|+|y2|) 2 1 = ×2|y1-y2| 2 =|k(x1+1)-k(x2+1)| =|k| |x1-x2|
2 2 2

=|k| ?x1+x2? -4x1x2

2

=|k|

k ?2 4k -12 12|k| k +1 ?- 8 ? 4k2+3? -4× 4k2+3 = 4k2+3 ?????10 分 ? ?

2

2

2

12 2 又已知 S△F2AB= , 7 ∴ 12|k| k +1 12 2 4 2 = ?17k +k -18=0? 2 4k +3 7
2 2 2 2

(k -1)(17k +18)=0?k -1=0,解得 k=±1. 故直线 l 的方程为 y=±1(x+1), 即 x-y+1=0 或 x+y+1=0. ????12 分


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