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直线与圆方程(2013年高三数学一轮复习精品资料)


2013 年高三数学一轮复习精品资料:第八章 平面解析几何 第二节
【高考目标定位】
一、圆的方程 (一)考纲点击 1、掌握确定圆的几何要素; 2、掌握确定圆的标准方程与一般方程。 (二)热点提示 1、能利用待定系数法求圆的标准方程和一般方程; 2、直线和圆的位置关系是考查的热点; 3、本部分在高考试题中多以选择、填空的形式出现,属中低档题目。 二、直线、圆的

位置关系 (一)考纲点击 1、能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置 关系; 2、能用直线和圆的方程解决一些简单的问题; 3、初步了解用代数方法处理几何问题的思想。 (二)热点提示 1、直线与圆,圆与圆的位置关系一直是高考考查的重点和热点问题,主要考查: (1)方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判断; (2)利用相切或相交的条件确定参数的值或取值范围; (3)利用相切或相交求圆的切线或弦长。 2、本部分在高考试题中多为选择、填空题,有时在解答题中考查直线与圆位置关系的综合问题。

直线与圆

【考纲知识梳理】
一、圆的方程 1.圆的定义 (1)在平面内,到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

(2)确定一个圆的要素是圆心和半径。 2.圆的方程 圆的标准方程 方程 圆心坐标 圆的一般方程

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 (r ? 0)
(a,b)

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
? D F? ?? ,? ? 2? ? 2

半径

r
2 2

1 D2 ? E 2 ? 4F 2

注:方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 表示圆的充要条件是 D2 ? E 2 ? 4 F ? 0 3.点与圆的位置关系 已知圆的方程为 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,点 M ( x0 , y0 ) 。则:
2 2 2

(1)点在圆上: ( x0 ? a) 2 ? ( y0 ? b) 2 ? r 2 ; (2)点在圆外: ( x0 ? a) 2 ? ( y0 ? b) 2 ? r 2 ; (3)点在圆内: ( x0 ? a) 2 ? ( y0 ? b) 2 ? r 2 。 4.确定圆的方程方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法,大致步骤为: (1)根据题意,选择标准方程或一般方程; (2)根据条件列出关于 a,b,r 或 D、E、F 的方程组; (3)解出 a,b,r 或 D、E、F 代入标准方程或一般方程。 注:用待定系数法求圆的方程时,如何根据已知条件选择圆的方程?(当条件中给出的是圆上几点坐 标, 较适合用一般方程, 通过解三元方程组求相应系数; 当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某条直线上、 圆的切线方程、圆弦长等条件,适合用标准方程。对于有些题,设哪种形式都可以,这就要求根据条件具 体问题具体分析。 ) 二、直线、圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系 位置关系 公共点个数 相离 0个 相切 1个 相交 2个

几何特征(圆心到直线的距离 d ,半径 r ) 代数特征(直线与圆的方程组成的方程组)

d ?r
无实数解

d ?r
有两组相同实数解

d ?r
有两组不同实数解

注:在求过一定点的圆的切线方程时,应首先判断这点与圆的位置关系,若点在圆台上,则该点为切 点,切线只有一条;若点在圆外,切线应有两条,谨防漏解。 2.圆与圆的位置关系 位置关系 公共点个数 几何特征(圆心距 两圆半径 R , , d, r 外离 0 外切 1 相交 2 内切 1 内含 0

d ? R?r

d ? R?r

R?r ? d ? R?r

d ? R?r

d ? R?r

R?r)
代数特征 (两个圆的 方程组成的方程组) 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解

【热点难点精析】
一、圆的方程 (一)圆的方程的求法 ※相关链接※ 1.确定圆的方程的主要方法是待定系数法。如果选择标准方程,即列出关于 a、b、r 的方程组,求 a、 b、r 或直接求出圆心(a,b)和半径 r. 2.如果已知条件中圆心的位置不能确定,则选择圆的一般方程。圆的一般方程也含有三个独立的参 数,因此,必须具备三个独立的条件,才能确定圆的一般方程,其方法仍采用待定系数法。设所求圆的方 程为: x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0( D ? E ? 4 F ? 0), 由三个条件得到关于 D、E、F 的一个三元一次方程
2 2 2 2

组,解方程组确定 D、E、F 的值。 3.以 为直径的两端点的圆的方程为

( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0
注:在求圆的方程时,常用到圆的以下必修性质: (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上; (2)圆心在任一弦的中垂直上;

(3)两圆心或外切时,切点与两圆圆心三点共线。 ※例题解析※ 〖例〗求与 x 轴相切,圆心在直线 3x-y=0 上,且被直线 x-y=0 截得的弦长为 2 7 的圆的方程。 思路解析:由条件可设圆的标准方程求解,也可设圆的一般方程,但计算较繁琐。 解答: (方法一) 设所求的圆的方程是 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r ,
2 2 2

则圆心(a,b)到直线 x-y=0 的距离为

| a ?b| , 2

∴ 即 2r ? (a ? b) ? 14 ………………………………………………①
2 2

由于所求的圆与 x 轴相切,∴ r 2 ? b2 ………………………………② 又因为所求圆心在直线 3x-y=0 上, ∴3a-b=0………………………………………………………………③ 联立①②③,解得 a=1,b=3, r 2 =9 或 a=-1,b=-3, r 2 =9. 故所求的圆的方程是: ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 9或( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 9
2 2 2 2

(方法二)设所求的圆的方程是

=0,圆心为

,半径为

令 y=0,得

=0,由圆与 x 轴相切,得⊿=0,即

……④

又圆心

到直线 x-y=0 的距离为

由已知,得 即 …………………………………………⑤

又圆心 联立④⑤⑥,解得

在直线 3x-y=0 上,∴3D-E=0…………………………⑥

D=-1,E=-6,F=1 或 D=2,E=6,F=1。 故所求圆的方程是 (二)与圆有关的最值问题 ※相关链接※ 1.求与圆有关的最值问题多采用几何法,就是利用一些代数式的几何意义进行转化。如(1)形如 =0 或

m=

的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题; (2)形如 t=ax+by 的最值问题,可转化为直线 的最值问题,可转化为两点间的距离

在 y 轴上的截距的最值问题; (3)形如 m= 平方的最值问题。 2.特别要记住下面两个代数式的几何意义: 表示点(x,y)与原点(0,0)连线的直线斜率, ※例题解析※ 〖例〗已知实数 x 、 y 满足方程 x ? y ? 4 x ? 1 ? 0 。
2 2

表示点(x,y)与原点的距离。

y 的最大值和最小值; x (2)求 y - x 的最大值和最小值;
(1)求 (3)求 x ? y 的最大值和最小值。
2 2

思路解析:化 x , y 满足的关系为 ( x ? 2) ? y ? 3 ? 理解
2 2

y 2 2 , y - x , x ? y 的几何意义 ? 根据 x y 的几何意 x

几何意义分别求之。
2 2 解答: (1)原方程可化为 ( x ? 2) ? y ? 3 ,表示以(2,0)为圆心, 3 为半径的圆,

义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设

y = k ,即 y ? kx 。当直线 y ? kx 与圆相切时,斜率 k 取最大值 x

或最小值,此时

| 2k ? 0 | k 2 ?1

? 3 ,解得 k =± 3 。

y 的最大值为 3 ,最小值为﹣ 3 x (2) y - x 可看作是直线 y=x+b 在 y 轴上的截距,当直线 y=x+b 与圆相切时,纵截距 b 取得最大值或
所以 最小值,此时

| 2?0?b| ? 3 ,解得 b ? ?2 ? 6 。所以 y - x 的最大值为 ?2 ? 6 ,最小值为 ?2 ? 6 。 2
2

(3) x ? y 表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点与圆心连线与圆的两个
2 2 2 2 2 交点处取得最大值和最小值。又圆心到原点的距离为 (2 ? 0) ? (0 ? 0) ? 2 ,所以 x ? y 的最大值是

(2 ? 3)2 ? 7 ? 4 3 , x 2 ? y 2 的最小值是 (2 ? 3)2 ? 7 ? 4 3 。
(三)与圆有关的轨迹问题 ※相关链接※ 1.解决轨迹问题,应注意以下几点: (1)求方程前必须建立平面直角坐标系(若题目中有点的坐标,就无需建系) ,否则曲线就不可转化 为方程。 (2)一般地,设点时,将动点坐标设为(x,y) ,其他与此相关的点设为 ( x0 , y0 ) 等。 (3)求轨迹与求轨迹方程是不同的,求轨迹方程得出方程即可,而求轨迹在得出方程后还要指出方 程的曲线是什么图形。 2.求轨迹方程的一般步骤: (1)建系:设动点坐标为(x,y) ; (2)列出几何等式; (3)用坐标表示得到方程; (4)化简方程; (5)除去不合题意的点,作答。 ※例题解析※ 〖例〗设定点 M(-3,4) 动点 N 在圆 x ? y ? 4 上运动,以 OM、ON 为两边作平行四边形 MONP, ,
2 2

求点 P 的轨迹。 思路解析:先设出 P 点、N 点坐标,根据平行四边形对角线互相平分,用 P 点坐标表示 N 点坐标, 代入圆的方程可求。 解答:如图所示,

设 P(x,y) ( x0 , y0 ) ,则线段 OP 的中点坐标为 ( , ) ,线段 MN 的中点坐标为 ( ,N 因为平行四边形的对角线互相平分,故

x y 2 2

x0 ? 3 y0 ? 4 , )。 2 2

? x0 ? x ? 3 x x0 ? 3 y y0 ? 4 ? , ? , 从而 ? 。N(x+3,y-4)在圆上, 2 2 2 2 ? y0 ? y ? 4
2 2

故 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4 。 因 此 所 求 轨 迹 为 圆 : ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4 , 担 应 除 去 两 点 :
2 2

9 12 21 28 。 (? , )和(? , ) (点 P 在 OM 所在的直线上时的情况) 5 5 5 5
(四)有关圆的实际应用 〖例〗有一种大型商品,A、B 两地都有出售,有价格相同,某地居民从两地之一购得商品后运回的 费用是:A 地每公里的运费是 B 地每公里运费的 3 倍。已知 A、B 两地距离为 10 公里,顾客选择 A 地或 B 地购买这件商品的标准是: 包括运费和价格的总费用较低。 P 地居民选择 A 地或 B 地购物总费用相等 求 时,点 P 所在曲线的形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点? 思路解析:根据条件,建立适当坐标系,求出点 P 的轨迹方程,进而解决相关问题。 解答:如图,

以 A、B 所在的直线为 x 轴,线段 AB 的中点为原点建立直角坐标系,∵|AB∣=10,∴A(-5,0) ,B (5,0) 。设 P(x,y),P 到 A、B 两地购物的运费分别是 3a、a(元/公里) 。当由 P 地到 A、B 两地购物总 费用相等时,有:价格+A 地运费=价格+B 地运费,
2 2 2 2 ∴3a· ( x ? 5) ? y =a· ( x ? 5) ? y .

化简整理,得 ( x ?

25 2 15 ) ? y 2 ? ( )2 4 4

(1)当 P 点在以(-

15 25 ,0)为圆心、 为半径的圆上时,居民到 A 地或 B 地购物总费用相等。 4 4

(2)当 P 点在上述圆内时,

?(x ?

25 2 15 ) ? y 2 ? ( )2 , 4 4 25 2 15 ) ? y 2 ? ( )2 ] ? 0 4 4

?[9( x ? 5) 2 ? 9 y 2 ] ? [( x ? 5) 2 ? y 2 ] ? 8[( x ? ? 3 ( x ? 5) 2 ? y 2 ? ( x ? 5) 2 ? y 2 . 故此时到A地购物合算.
当 P 点在上述圆外时,

?(x ?

25 2 15 ) ? y 2 ? ( )2 , 4 4 25 2 15 ) ? y 2 ? ( )2 ] ? 0 4 4

?[9( x ? 5) 2 ? 9 y 2 ] ? [( x ? 5) 2 ? y 2 ] ? 8[( x ? ? 3 ( x ? 5) 2 ? y 2 ? ( x ? 5) 2 ? y 2 . 故此时到B地购物合算.

注:在解决实际问题时,关键要明确题意,掌握建立数学基本模型的方法将实际问题转化为数学问题 解决。 二、直线、圆的位置关系 (一)直线和圆的位置关系 ※相关链接※ 直线和圆的位置关系的判定有两种方法 (1)第一种方法是方程的观点,即把圆的方程和直线的方程联立组成方程组,转化为一元二次方程, 再利用判别式⊿来讨论位置关系,即 ⊿>0 ? 直线与圆相交; ⊿=0 ? 直线与圆相切; ⊿<0 ? 直线与圆相离. (2)第二种方法是几何的观点,即将圆心到直线的距离 d 与半径 r 比较来判断,即 d<r ? 直线与圆相交; d>r ? 直线与圆相切; d=r ? 直线与圆相离。 ※例题解析※

〖例〗已知圆 x ? y ? 6mx ? 2(m ? 1) y ? 10m ? 2m ? 24 ? 0(m ? R).
2 2 2

(1)求证:不论 m 为何值,圆心在同一直线上; (2)与 l 平行的直线中,哪些与圆相交、相切、相离; (3)求证:任何一条平行于 l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等。 思路解析:用配方法将圆的一般方程配成标准方程,求出圆心坐标,消去 m 就得关于圆心的坐标间 的关系,就是圆心的轨迹方程;判断直线与圆相交、相切、相离,只需比较圆心到直线的距离 d 与圆半径 的大小即可;证明弦长相等时,可用几何法计算弦长。 解答: (1)配方得: ( x ? 3m) ? [ y ? (m ? 1)] ? 25, 设圆心为(x,y),则 ?
2 2

? x ? 3m ,消去 m 得 ? y ? m ?1

l : x ? 3 y ? 3 ? 0, 则圆心恒在直线 l : x ? 3 y ? 3 ? 0, 。
(2)设与 l 平行的直线是: x ? 3 y ? b ? 0 ,

当 ? 5 10 ? 3 ? b ? 5 10 ? 3时,直线与圆相交; b ? ?5 10 ? 3时,直线与圆相切; b ? ?5 10 ? 3或b ? 5 10 ? 3时,直线与圆相离.
(3)对于任一条平行于 l 且与圆相交的直线 l1 : x ? 3 y ? b ? 0 ,由于圆心到直线 l1 的距离

d?

|3?b | 2 2 (与 m 无关) 。弦长= 2 r ? d 且r和d 均为常量. 10

∴任何一条平行于 l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等。 (二)圆与圆的位置关系 ※相关链接※ 1.判断两圆的位置关系常用几何法,即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系,一般不采用代 数法; 2.若两圆相交,则两圆公式弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去 x , y 项即可得到; 3.两圆公切线的条数(如下图)
2 2

O1

O2

O1

O2

O1

O2

O1

O2

O1

O2

(1)两圆内含时,公切线条数为 0; (2)两圆内切时,公切线条数为 1; (3)两圆相交时,公切线条数为 2; (4)两圆外切时,公切线条数为 3; (5)两圆相离时,公切线条数为 4。 因此求两圆的公切线条数主要是判断两圆的位置关系,反过来知道两圆公切线的条数,也可以判断出两圆 的位置关系。 ※例题解析※ 〖例〗求经过两圆 ( x ? 3) ? y ? 13 和 x ? ( y ? 3) ? 37 的交点,且圆心在直线 x-y-4=0 上的圆的
2 2

2

2

方程

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?( x ? 3) 2 ? y 2 ? 13 ? 思路解析:根据已知,可通过解方程组 ? 2 得圆上两点,由圆心在直线 x-y-4=0 上, 2 ? x ? ( y ? 3) ? 37 ?
三个独立条件,用待定系数法求出圆的方程;也可根据已知,设所求圆的方程为

( x ? 3)2 ? y 2 ? 13 ? ? ( x 2 ? ( y ? 3)2 ? 37) ? 0 ,再由圆心在直线 x-y-4=0 上,定出参数λ ,得圆方程
解答:因为所求的圆经过两圆(x+3) +y =13 和 x +(y+3) =37 的交点, 所以设所求圆的方程为 ( x ? 3) ? y ? 13 ? ? ( x ? ( y ? 3) ? 37) ? 0
2 2 2 2
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展开、配方、整理,得 ( x ? 圆心为 (?

3 2 3? 2 4 ? 28? 9(1 ? ?2 ) + ) +(y ? ) = 1? ? (1 ? ? ) 2 1? ? 1? ?
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3 3? ,? ) ,代入方程 x-y-4=0,得λ =-7 1? ? 1? ? 1 7 89 故所求圆的方程为 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? 2 2 2
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注:圆 C1:x +y +D1x+E1y+F1=0,圆 C2:x +y +D2x+E2y+F2=0,若圆 C1、C2 相交,那么过两圆公共点的圆 2 2 2 2 系方程为(x +y +D1x+E1y+F1)+λ (x +y +D2x+E2y+F2)=0(λ ∈R 且λ ≠-1) 它表示除圆 C2 以外的所有经 过两圆 C1、C2 公共点的圆
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(三)圆的切线及弦长问题 ※相关链接※ 1.求圆的切线的方法 (1)求圆的切线方程一般有两种方法: ①代数法:设切线方程为 次方程,然后令判别式⊿=0 进而求得 k。 与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二

②几何法:设切线方程为 离 d,然后令 d=r,进而求出 k。

利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距

两种方法,一般来说几何法较为简洁,可作为首选。 注:在利用点斜式求切线方程时,不要漏掉垂直于 x 轴的切线,即斜率不存在时的情况。 (2)若点 M ( x0 , y0 ) 在圆 x ? y ? r 上,则 M 点的圆的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r 2 。
2 2 2

2.圆的弦长的求法

(1)几何法:设圆的半径为 r,弦心距为 d,弦长为 L,则 (2)代数法:设直线与圆相交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 两点,解方程组 ? 后得关于 x 的一元二次方程,从而求得 x1 ? x2 , x1 , x2 , 则弦长为



? y ? kx ? b
2 2 2 ?( x ? x0 ) ? ( y ? y0 ) ? r

消y

| AB |? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ](k为直线斜率) 。
(四)直线、圆位置关系的综合应用 〖例〗如图,矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M (2, , AB 边所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 , 点 0)

T (?11) 在 AD 边所在直线上. ,

(I)求 AD 边所在直线的方程; (II)求矩形 ABCD 外接圆的方程; (III)若动圆 P 过点 N (?2, ,且与矩形 ABCD 的外接圆外切,求动圆 P 的圆心的方程. 0) 解答: (I)因为 AB 边所在直线的方程为 x ? 3 y ? 6 ? 0 ,且 AD 与 AB 垂直, 所以直线 AD 的斜率为 ?3 .又因为点 T (?11) 在直线 AD 上, , 所以 AD 边所在直线的方程为 y ? 1 ? ?3( x ? 1) . 3x ? y ? 2 ? 0 .-----------------3 分

(II)由 ?

? x ? 3 y ? 6 ? 0, 解得点 A 的坐标为 (0, 2) , ? ?3 x ? y ? 2 = 0

------------4 分

因为矩形 ABCD 两条对角线的交点为 M (2, . 0) 所以 M 为矩形 ABCD 外接圆的圆心. 又 AM ? -----------------6 分

(2 ? 0) 2 ? (0 ? 2) 2 ? 2 2 .
2 2

从而矩形 ABCD 外接圆的方程为 ( x ? 2) ? y ? 8 .----------------------9 分 (III)因为动圆 P 过点 N ,所以 PN 是该圆的半径,又因为动圆 P 与圆 M 外切, 所以 PM ? PN ? 2 2 ,即 PM ? PN ? 2 2 .------------------------11 分 故点 P 的轨迹是以 M,N 为焦点,实轴长为 2 2 的双曲线的左支. 因为实半轴长 a ? 2 ,半焦距 c ? 2 . 所以虚半轴长 b ?

c2 ? a2 ? 2 .

x2 y 2 ? ? 1( x ≤ ? 2) . -----------------14 分 从而动圆 P 的圆心的轨迹方程为 2 2

【感悟高考真题】
1. (2010 江西理数)8.直线 y ? kx ? 3 与圆 ? x ? 3? ? ? y ? 2 ? ? 4 相交于 M,N 两点,若 MN ? 2 3 ,则
2 2

k 的取值范围是

? 3 ? 0 ? ? ,? A. ? 4 ?
【答案】A

? 3 3? 3? ? , ? ?? ??, ? ? ? 0, ? ? ? ? ? 4? ? 3 3 ? ? B. C.

? 2 ? 0 ? ? ,? D. ? 3 ?

【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式,重点考察数形结合的运用. 解法 1:圆心的坐标为(3.,2) ,且圆与 y 轴相切.当 | MN |? 2 3时 , 点到直线距离公式,解得 [ ? 由

3 , 0] ; 4


解法 2: 数形结合, 如图由垂径定理得夹在两直线之间即可,不取 ?? , 除 B,考虑区间不对称,排除 C,利用斜率估值,选 A

2. (2010 安徽理数)9、动点 A ? x, y ? 在圆 x 2 ? y 2 ? 1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12 秒旋转一 周。已知时间 t ? 0 时,点 A 的坐标是 ( , 的函数的单调递增区间是 A、 ? 0,1? 9.D 【解析】画出图形,设动点 A 与 x 轴正方向夹角为 ? ,则 t ? 0 时 ? ? B、 ?1, 7 ? C、 ? 7,12? D、 ? 0,1? 和 ? 7,12?

1 3 ) ,则当 0 ? t ? 12 时,动点 A 的纵坐标 y 关于 t (单位:秒) 2 2

?

3 3? 7? ? ? [ , ] ,在 ? 7,12? 上 ? ?[ , ] ,动点 A 的纵坐标 y 关于 t 都是单调递增的。 3 2 2 3

,每秒钟旋转

? ?

? ,在 t ? ? 0,1? 上 6

【方法技巧】由动点 A ? x, y ? 在圆 x 2 ? y 2 ? 1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,可知与三角函数的定 义类似,由 12 秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度,画出单位圆,很容易看出,当 t 在 [0,12] 变化时,点 A 的纵坐标 y 关于 t (单位:秒)的函数的单调性的变化,从而得单 区间. 3. (2010 全国卷 2 文数) (16)已知球 O 的半径为 4,圆 M 与圆 N 的 两 个 小 圆 , AB 为 圆 M 与 圆 N 的 公 共 弦 , AB ? 4 , 若 O B 。 N E A 作 NE 垂 M 为该球 调递增

O M ? O N? 3 ,则两圆圆心的距离 MN ?
【解析】3:本题考查球、直线与圆的基础知识

∵ ON=3, 球半径为 4, ∴小圆 N 的半径为 7 , ∵小圆 N 中弦长 AB=4,

直于 AB,∴ NE= 3 ,同理可得 ME ? 3 ,在直角三角形 ONE 中,∵ NE= 3 ,ON=3,∴

?EON ?

?
6,

?MON ?


?
3 ,∴ MN=3
2

4. (2008·江苏卷 18)设平面直角坐标系 xoy 中,设二次函数 f ? x ? ? x ? 2 x ? b ? x ? R ? 的图象与两坐 标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为 C.求: (Ⅰ)求实数 b 的取值范围; (Ⅱ)求圆 C 的方程; (Ⅲ)问圆 C 是否经过某定点(其坐标与 b 无关)?请证明你的结论. 【解析】本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法. (Ⅰ)令 x =0,得抛物线与 y 轴交点是(0,b) ;

令 f ? x ? ? x ? 2 x ? b ? 0 ,由题意 b≠0 且Δ >0,解得 b<1 且 b≠0.
2

(Ⅱ)设所求圆的一般方程为 x 2 ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2

令 y =0 得 x2 ? Dx ? F ? 0 这与 x 2 ? 2 x ? b =0 是同一个方程,故 D=2,F= b . 令 x =0 得 y ? Ey =0,此方程有一个根为 b,代入得出 E=―b―1.
2

所以圆 C 的方程为 x ? y ? 2 x ? (b ? 1) y ? b ? 0 .
2 2

(Ⅲ)圆 C 必过定点(0,1)和(-2,1) . 证明如下:将(0,1)代入圆 C 的方程,得左边=0 2 +1 2 +2×0-(b+1)+b=0,右边=0, 所以圆 C 必过定点(0,1) . 同理可证圆 C 必过定点(-2,1) .

【考点精题精练】
一、选择题 1.直线 ax ? y ? 1 ? 0 与圆 A. 0

? x ? 1?

2

? y2 ? 1

相切,则 a 的值为( A ) C.2 D. ?1

B. 1

2.已知圆 C 与圆(x-1)2+y2=1 关于直线 y=-x 对称,则圆 C 的方程为(C) A.(x+1)2+y2=1 C.x2+(y+1)2=1 B.x2+y2=1 D.x2+(y-1)2=1
2 2

3. (上海市奉贤区 2010 年 4 月高三质量调研理科)已知圆 x ? y ? 1 与 x 轴的两个交点为 A 、 B ,若圆 内的动点 P 使 | PA | 、 | PO | 、 | PB | 成等比数列,则 PA ? PB 的取值范围为--------------( (A) ? 0, ? 2 B )

? ?

1? ?

(B) ? ? ,0 ?

? 1 ? 2

? ?

(C) ( ? ,0)

1 2

(D) [?1, 0)

4. (上海市徐汇区 2010 年 4 月高三第二次模拟理科) 已知 AC , BD 为圆 O : x ? y ? 4 的两条互相垂直
2 2

的弦, AC , BD 交于点 M 1, 2 ,则四边形 ABCD 面积的最大值为-----( B ) A 4 B 5
2

?

?

C 6

D 7 ( C )

2 5.直线 x+y+1=0 与圆 ?x ? 1? ? y ? 2 的位置关系是

A.相交

B.相离

C.相切

D.不能确定

答案:C 提示:圆心 ?1,0 ?, d ?

1? 0 ?1 2

? 2 ? r,
) D.内含

? x ? ?3 ? 2cos ? ? x ? 3cos ? 6.两圆 ? 的位置关系是( B 与? ? y ? 4 ? 2sin ? ? y ? 3sin ?

A.内切

B.外切

C.相离

7.已知点 P(x,y)是直线 kx + y + 4 = 0(k > 0)上一动点,PA、PB 是圆 C: x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0 的两条 切线,A、B 是切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k 的值为( D ) A.3 答案:D 8.经过圆 C : ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 4 的圆心且斜率为 1 的直线方程为(A)
2 2

B.

21 2

C. 2 2

D.2

A. x ? y ? 3 ? 0
2 2

B. x ? y ? 3 ? 0

C. x ? y ? 1 ? 0

D. x ? y ? 3 ? 0

9.已知圆的方程为 x ? y ? 6 x ? 8 y ? 0 ,设圆中过点 (2,5) 的最长弦与最短弦分别为 AB 、 CD ,则直 线 AB 与 CD 的斜率之和为(B) (A) ?1 (B) 0 (D) ?2

(C) 1

10.已知圆的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,且与直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 相切,则圆的方程是( A ) A. x ? y ? 4 x ? 0
2 2

B. x ? y ? 4 x ? 0
2 2

C. x ? y ? 2 x ? 3 ? 0
2 2

D. x ? y ? 2 x ? 3 ? 0
2 2

11.若直线 y=kx+1 与圆 x2+y2=1 相交于 P、Q 两点,且∠POQ=120° (其中 O 为原点),则 k 的值为(A) 1 A、± 2 B、± 3 2
2

C、±
2

3 3

D、± 3

12.如图,点 P(3,4)为圆 x ? y ? 25 上的一点,点 E,F 为 y 轴上的两点,△PEF 是以点 P 为顶点的等 腰三角形,直线 PE,PF 交圆于 D,C 两点,直线 CD 交 y 轴于点 A,则 sin∠DAO 的值为 ( A )

A.

2 5

B.

3 5

C.

4 5

D.

3 4

二、填空题

? x ? 1 ? cos ? , ? y ? sin ? . 13.圆 C: ? ( ? 为参数)的圆心坐标是
则 a 的值为 0 .

(1, 0 )

;若直线 ax ? y ? 1 ? 0 与圆 C 相切,

14.如图,点 A、B、C 是圆 O 上的点,且 AB=4, ?ACB ? 30 ,则圆 O 的面积等于 16?
o

15. (上海市奉贤区 2010 年 4 月高三质量调研理科)已知实数 a, b, c 成等差数列,点 P(?1,0) 在直线

ax ? by ? c ? 0 上的射影是 Q,则 Q 的轨迹方程是____ x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 ____。
16.(上海市松江区 2010 年 4 月高考模拟文科)已知直线 l : ax ? by ? c ? 0 与圆 O : x ? y ? 1 相交于 A 、
2 2

B 两点, | AB |? 3 ,则 OA · OB =
三、解答题

?

1 2

17.已知 A 是圆 x ? y ? 4 上任一点,AB 垂直于 x 轴,交 x 轴于点 B.以 A 为圆心、AB 为半径作圆交已
2 2

知圆于 C、D,连结 CD 交 AB 于点 P. (1)求点 P 的轨迹方程; (2)若(1)所求得的点 P 的轨迹为 M,过点 Q( ? 3 ,0)作直线 l 交轨迹 M 于 E、G 两点,O 为坐标原点,求 △EOG 的面积的最大值,并求出此时直线 l 的倾斜角. 解答:(1)设点 A 的坐标为 A(2cos?,2sin?),

则以 A 为圆心、AB 为半径的圆的方程为 (x-2cos?)2 + (y-2sin?)2 = 4sin2?.……………… 1 分 联立已知圆 x2 + y2 = 4 的方程,相减,

可得公共弦 CD 的方程为 xcos? + ysin? = 1+ cos2?. 而 AB 的方程是 x = 2cos?. (1) ………………3 分 (2)

所以满足(1)、(2)的点 P 的坐标为(2cos?,sin?),消去 ?,即得 点 P 的轨迹方程为 x2 + 4y2 = 4. 说明: 设 A(m,n)亦可类似地解决. (2) △EOG 的最大面积为 1. ……………… 9 分 ……………… 5分

此时直线 l 的倾斜角为 45?或 135?. ……………… 10 分 18. P ? a, b ?? a ? b ? 0 ? 、R ? a , 2 ? 为坐标平面 xoy 上的点, 设 直线 OR( O 为坐标原点) 与抛物线 y 2 ? 交于点 Q (异于 O ). (1) 若对任意 ab ? 0 ,点 Q 在抛物线 y ? mx ? 1? m ? 0 ? 上,试问当 m 为何值时,点 P 在某一圆上,
2

4 x ab

并求出该圆方程 M ; (2) 若点 P(a, b) ? ab ? 0 ? 在椭圆 x 2 ? 4 y 2 ? 1 上,试问:点 Q 能否在某一双曲线上,若能,求出该双 曲线方程,若不能,说明理由; (3) 对(1)中点 P 所在圆方程 M ,设 A 、 B 是圆 M 上两点,且满足 OA ? OB ? 1 ,试问:是否存 在一个定圆 S ,使直线 AB 恒与圆 S 相切.

2 ? ?y ? a x ? ?a 2? ? Q ? , ? ,-------------2 分 解答: (1)? ? ?b b? ? y2 ? 4 x ? ab ?
2 ?a? 代入 y ? mx ? 1? ? m ? ? ? 1 ? ma 2 ? b2 ? 2b ? 0 -非所问------ 4 分 b ?b?
2
2 当 m ? 1时,点 P(a, b) 在圆 M : x ? ? y ? 1? ? 1 上- --------5 分 2

2

2 2 2 (2)? P ? a, b ? 在椭圆 x ? 4 y ? 1 上,即 a ? ? 2b ? ? 1 2

1 ?可设 a ? cos ? , b ? sin ? -- -------------------7 分 2

a ? xQ ? 2 2 2 2 ? ? ?2? ?a? ? 4 ? ? 2 cos ? ? ?a 2? b 2 2 又? Q ? , ? ,于是? ? ? yQ ? mxQ ? ? ? ? m ? ? ? ? ? m? ? ? ?b? ? b ? ? sin ? ? ? sin ? ? ?b b? ?y ? 2 ? Q b ?
? 16 4m cos 2 ? ? ? 16 (令 m ? 4 ) sin 2 ? sin 2 ?

?点 Q 在双曲线 y 2 ? 4 x 2 ? 16 上 ------------10 分
2 (3)?圆 M 的方程为 x ? ? y ? 1? ? 1 2

设 AB : x ? ky ? ? , A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 由 OA ? OB ? 1
2 2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2 ? 1 ? ? y1 ? 1? ? y12 ? 1 ? ? y2 ? 1? ? y2 ? 2 y1 ? 2 y2 ? 1 2 2

1 ? y1 y2 ? --------------------------12 分 4

? x 2 ? ? y ? 1?2 ? 1 ? 又? ? ? x ? ky ? 1 ?
? ? k 2 ? 1? y 2 ? 2 ? k ? ? 1? y ? ? 2 ? 0 ,? y1 y2 ?

?2
k ?1
2

?

? 1 1 ? ? ------------14 分 4 k 2 ?1 2

又原点 O 到直线 AB 距离 d ?

?
1? k
2

1 1 ? d ? ,即原点 O 到直线 AB 的距离恒为 2 2

?直线 AB 恒与圆 S : x 2 ? y 2 ?

1 相切。 4


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