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第8讲 函数的图像


第2章

第8讲

函数的图像

一、选择题 1 1.函数 f(x)= -x 的图象关于( x A.y 轴对称 2.函数 y=1- ) C.坐标原点对称 ) D.直线 y=x 对称

B.直线 y=-x 对称

1 的图象是下列图象中的( x-1

x+3 3.(2009· 北京)为了得到函数 y=lg 的图象,只需把函数 y=lgx 的图象上所有的点( 10 A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个 单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 4.设函数 y=f(x)的定义域为 R,则函数 y=f(x-1)与 y=f(1-x)的图象关于( A.直线 y=0 对称 B.直线 x=0 对称 C.直线 y=1 对称 ) )

)

D.直线 x=1 对称

5.函数 y=2|log2x|的图象大致是(

6.(2010· 课标,6)如图,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置为 P0( 2,- 2),角速度为 1,那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为( )

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二、填空题 1 1 7.把函数 y=log3(x-1)的图象向右平移 个单位,再把横坐标缩小为原来的 ,所得图象的 2 2 函数解析式是________. 8.已知函数 f(x)是定义在(-3,3 )上的偶函数,当 0≤x<3 时,f(x)的图象如下图所示,那么 不等式 f(x)· 的解集是________. x<0

9.方程 2 x+x2=3 的实数解的个数为________. ax+a2+1 10.已知函数图象 C′与 C:y= 关于直线 y=x 对称,且图象 C′关于(2,-3)对 x+a+1 称,则 a 的值为________. 三、解答题 11.已知函数 y=f(x)的定义域为 R,并对一切实数 x,都有 f(2+x)=f(2- x). 证明:函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称.



1 1 1 12.已知函数 f(x)=m(x+ )的图象与 h(x)= (x+ )+2 的图象关于点 A(0,1)对称. x 2 x (1)求 m 的值; a (2)若 g(x)= f(x)+ ,且 g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数 a 的取值范围. 2x

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第2章

第8讲

函数的图像

一、选择题 1 1.函数 f(x)= -x 的图象关于( x A.y 轴对称 C.坐标原点对称 [解析] ∵f(-x)= ) B.直线 y=-x 对称 D.直线 y=x 对称 1 1 -(-x)=-( -x)=-f(x), x -x

∴f(x)为奇函数,∴f(x)的图象关于原点对称.[答案] C 2.函数 y=1- 1 的图象是下列图象中的( x-1 )

1 1 [解析] x≠1,y≠1 且 y=1- 是由 y=- 平移而得,选 B. [答案] B x x-1 x+3 3.(2009· 北京)为了得到函数 y=lg 的图象,只需把函数 y=lgx 的图象上所有的点( 10 A.向左平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度 B.向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个 单位长度 C.向左平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 D.向右平移 3 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度 [解析] A.y=lg(x+3)+1=lg10(x+3), B.y=lg(x-3)+1=lg10(x-3), x+3 C.y=lg(x+3 )-1=lg , 10 x-3 D.y=lg(x-3)-1=lg . 故应选 C. [答案] C 10 ) )

4.设函数 y=f(x)的定义域为 R,则函数 y=f(x-1)与 y=f(1-x)的图象关于( A.直线 y=0 对称 C.直线 y=1 对称 B.直线 x=0 对称 D.直线 x=1 对称

[解析] 函数 y=f(x)与 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称,y=f(1-x)=f[-(x-1)]. 将 y=f(x)与 y=f(-x)的图象同时向右平 移 1 个单位,就得到 y=f (x-1)与 y=f(1-x)的

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图象.对称轴 y 轴向右平移 1 个单位,就得到直线 x=1,故选 D. 也可以 用特例判断,取 f(x)=x, 则 f(x-1)=x-1,f(1-x)=1-x 在同一坐标系下作出这两个函数的图象来判断. [答案] D 5.函数 y=2|log2x|的图象大致是( )

?2 log2x=1 ?0<x<1? ? x [解析] y=? ∴选 C. [答案] C ?2log2x=x ?x≥1? ?


6.(2010· 课标,6)如图,质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动,其初始位置为 P0( 2,- 2),角速度为 1,那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图象大致为( )

[解析] 当 P 在初始位置时,t=0,d= 2,故排除 A、D;当 P 开始逆时针方向运动 时,d 减小,故选 C. [答案] C

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二、填空题 1 1 7.把函数 y=log3(x-1)的图象向右平移 个单位,再把横坐标缩小为原来的 ,所得图象的 2 2 函数解析式是________. [解析] 1 1 将 y = log3(x - 1) 的 图 象 向 右 平 移 个 单 位 得 到 函 数 y = log3 ?x-2-1? = ? ? 2

3 1 log3?x-2?,再把得到的函数图象上的各点横坐标缩小为原来的 ,得到的函数是 y=log3(2x ? ? 2 3 3 - ). [答案] y=lo g3?2x-2? ? ? 2 8.已知函数 f(x)是定义在(-3,3 )上的偶函数,当 0≤x<3 时,f(x)的图象如下图所示,那么 不等式 f(x)· 的解集是________. x<0

[解析] 偶函数的图象关于 y 轴对称,画图可知,x<0 时, f(x)>0 的解集为(-3,-1),x>0 时,f(x)<0 的解集为(0,1). ∴f (x)· 的解集为(-3 ,-1)∪(0,1) x<0


[答案] (-3,-1)∪(0,1)

9.方程 2 x+x2=3 的实数解的个数为________. [解析] ∵2 x+x2=3,∴2 x=3-x2,作 y=2 x 及 y=3-x2 的图 象如右图所示,由图可知原方程有 2 个实数解. [答案] 2 ax+a2+1 10.已知函数图象 C′与 C:y= 关于直线 y=x 对称,且图 x+a+1 象 C′关于(2,-3)对称,则 a 的值为________. 1-a [解析] 由题意:函数 C 的图象关于(-3,2)对称,y=a+ ,由-3+a+1=0, x+a+1 得 a=2. [答案] 2
- - -

三、解答题 11.已知函数 y=f(x)的定义域为 R,并对一切实数 x,都有 f(2+x)=f(2- x). 证明:函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称. [证明] 设点 P0(x0,y0)在 y=f(x)上,P(x,y)与点 P0 关于 x=2 对称
? ? ?x=4-x0 ?x0=4-x 所以有? ?? ? ? ?y=y0 ?y0=y

∵y0=f(x0)∴y=f(4-x)
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又∵f(2+x)=f(2-x) ∴f(x)=f(4-x) 即 y=f(4-x)=f(x) ∴点 P(x,y)也在 y=f(x)上 即函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称. 1 1 1 12.已知函数 f(x)=m(x+ )的图象与 h(x)= (x+ )+2 的图象关于点 A(0,1)对称. x 2 x (1)求 m 的值; a (2)若 g(x)= f(x)+ ,且 g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数 a 的取值范围. 2x [解] (1)解法一:设 P(x,y)是函数 h(x)的图象上任意一点,则点 P 关于 A 点的对称点 (x′,y′)在函数 f(x)的图象上.
?x′+x=0, ?x′=-x, ? ? ∵? 故? ? ? ?y′+y=2, ?y′=2-y.

1 1 于是有 2-y=m(-x- ),即得 y=m(x+ )+2, x x

1 ∴m= . 2 1 解法二:易知 h(x)经过点(1,3),故 f(x)经过点(-1,-1),代入得 m= . 2 a+1 1 1 1 1 a 1 (2)由(1)得 f(x)= (x+ ), 故有 g(x)= (x+ )+ = (x+ ), 2 x 2 x 2x 2 x a+1 1 解法一:g′(x)= (1- 2 ).当 0<x≤ a+1(a≥-1)时,g′(x)≤0, 2 x ∵g(x)在区间(0,2]上为减 函数,故有 a+1≥2,得 a≥3. 即 a 的取值范围为[3,+∞). 解法二:任意取 x1,x2∈(0,2],不妨设 x1<x2. x1x2-?a+1? 1 则 g(x1)-g(x2)= (x1-x2) >0 恒成立.故 x1x2-(a+1)<0,对 0<x1<x2≤2 2 x1x2 恒成立. ∴1+a≥4,∴a≥3.即 a 的取值范围为[3,+∞).

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