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河南省扶沟县高级中学2015-2016学年高二上学期开学考试数学试题


扶沟高中 2015-2016 学年度(上)高二开学考试 数 学 试 卷 命题:韩松峰 做题:焦金玲 审题:聂电锋 2015.08.23.

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知集合 A ? {x x ? 2}, B ? {x 1 ? x ? 3}, 则 A ? B

? ( )

A.{x x ? 2}

B.{x x ? 1}

C.{x 2 ? x ? 3}
) C. ?

D.{x1 ? x ? 3}

2.已知角 ? 的终边经过点 (?4,3) ,则 cos? =( A.

4 5

B.

3 5

3 5

D. ?

4 5

3.某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人,为了了 解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的中年职工为 5 人, 则样本容量为( A. 7 ) B. 15 ) D. y ? ? x( x ? 2) C. 25 D. 35

4.下列函数在 (0,??) 上为减函数的是( A. y ? ? x ? 1 B. y ? e
x

C. y ? ln( x ? 1)

5.设函数 f ( x), g ( x) 的定义域都为 R,且 f ( x ) 是奇函数, g ( x) 是偶函数,则下列结论中正 确的是( ) B. f ( x) g ( x) 是奇函数 D. f ( x) g ( x) 是奇函数
2

A. f ( x) g ( x) 是偶函数 C. f ( x) g ( x) 是奇函数

6.设定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x) ? x ? 4( x ? 0) ,则 f ( x ? 2) ? 0 的解集为( A. (?4,0) ? (2, ??) B. (0, 2) ? (4, ??) C. (??,0) ? (4, ??) D. (?4, 4)



7.将函数 f ? x ? ? sin ?2 x ? ? ? 的图象向左平移

?
8

个单位,所得到的函数图象关于 y 轴对称,则

? 的一个可能取值为(
A.

) B.

3? 4

?
4

C. 0

D. ?

?
4

8. 给出下列关于互不相同的直线 m 、 l 、 n 和平面 ? 、 ? 的四个命题: ① 若 m ? ? , l ? ? ? A ,点 A ? m ,则 l 与 m 不共面;

② 若 m 、 l 是异面直线, l // ? , m // ? ,且 n ? l , n ? m ,则 n ? ? ; ③ 若 l // ? , m // ? , ? // ? ,则 l // m ; ④ 若 l ? ? , m ? ? , l ? m ? A , l // ? , m // ? ,则 ? // ? , 其中为真命题的是( A.①③④ 9. 在区间 [ ? A. B.②③④ C.①②④ D.①②③ ). )

? ?
2

1 , ] 上随机取一个数 x, cos x 的值介于 0 到 之间的概率为( 2 2 2

1 3

B.

?

C.

1 2

D.

2 3


10. 已知 OA ? ?4,6 ?, OB ? ?3,5?, 且 OC ? OA, AC // OB ,则向量 OC 等于( A. ? ?

? 3 2? , ? ? 7 7?

B. ? ?

? 2 4? , ? ? 7 21 ?

C. ?

?3 2? ,? ? ?7 7?

D. ? ,?

?2 ?7

4? ? 21 ?

11.从五件正品,一件次品中随机取出两件,则取出的两件产品中恰好是一件正品,一件次 品的概率是( A. 1 ) B. C. D.

12. 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, 当 x≥0 时 f ( x) ? x 2 ? 3x , 则函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? 3 的零点的集合为( ) ,1,3} D. {﹣2﹣ ,1,3}
开始

A. {1,3} B. {﹣3,﹣1,1,3} C. {2﹣

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分) 13. cos600 =____________. 14.阅读下图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的 s 值 等于__________.
?

k ? 1, s ? 1
k ? k ?1 s ? 2s ? k
k ? 4?
输 出s

???? ??? ? 15.在 ? ABC 中,AB=2,AC=4,O 是 ? ABC 的外心,则 AO?BC ? _____.
16.已知单位向量 e1 , e2 的夹角为 ? ,且 cos ? ? 与 b ? 3e1 ? e2 的夹角为 ? ,则 cos ? =

1 ,向量 a ? 3e1 ? 2e2 3


结束

三、解答题:(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知 tan(? ?

?

1 ? ) ? ? , ? ? ? ?. 4 2 2

(1)求 tan? 的值; (2)求

sin 2? ? 2 cos2 ? 的值. ?? ? sin ? ? ? ? 4? ?

18.(本小题满分 12 分)某校从高一年级周末考试 的学生中抽出 60 名学生,其成绩(均为整数)的 频率分布直方图如图所示: (1)依据频率分布直方图,估计这次考试的及格 率(60 分及以上为及格)和平均分; (2)已知在 [90,100] 段的学生的成绩都不相同, 且都在 94 分以上,现用简单随机抽样方法,从 95,96,97,98,99,100 这 6 个数中任取 2 个数,求这 2 个数恰好是两个学生的成绩的概率.

19.(本小题满分 12 分)已知直线 l 过点 P(1,1) , 并与直线 l1:x-y+3=0 和 l2:2x+y- 6=0 分别交于点 A、B,若线段 AB 被点 P 平分. 求: (Ⅰ)直线 l 的方程; (Ⅱ)以 O 为圆心且被 l 截得的弦长为

8 5 的圆的方程. 5

20. (本小题满分 12 分) 如图, 四边形 ABCD 为矩形,DA ? 平面 ABE , AE ? EB ? BC ? 2 ,

BF ? 平面 ACE 于点 F ,且点 F 在 CE 上.
(1)求证: AE ? BE ; (2)求三棱锥 D ? AEC 的体积.

21. (本小题满分 12 分)函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,? 如图所示. (1)求函数 y = f ( x) 的解析式; (2)当 x ? [?? ,?

?
2

?? ?

?
2

) 的部分图象

?
6

] 时,求函数 f(x)的取值范围.

cos ( ( xx + + )) - 3 sin2 x +1. 22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) =2 cos - 6 6
(Ⅰ)求 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)当 x ? (

22

? ?

? ?

, ) 时,若 f ( x) ≥ log2 t 恒成立,求 t 的取值范围. 6 2

扶沟高中 2015-2016 学年度(上)高二开学考试 数学参考答案 1.C 2.D 3.B 4.D 5.C 6.B 7.B 8.C 9.A 10.D 11.C 12.D

13. ?

1 2

14. ? 3 15. 6

16.

17.(1)解:由 tan( ? ?

?
4

)??

1 1 ? tan ? 1 ? ? . 解之,得 tan ? ? ?3 ,得 2 1 ? tan ? 2

sin 2? ? 2 cos2 ? sin (? ? ) 4
?

?

?

2 sin ? cos? ? 2 cos2 ? ? 2 2 cos? . 2 (sin ? ? cos? ) 2
2 5 10 . , ? 原式 ? ? 5 10

?
2

? ? ? ? 且 tan ? ? ?3 ,? cos? ? ?

18. ( 1 ) 由 图 知 , 60 及 以 上 的 分 数 所 在 的 第 三 、 四 、 五 、 六 组 的 频 率 和 为 , (0.020+0.030+0.025+0.005) ? 10=0.80,所以,抽样学生成绩合格率是 80% 利用组中值估计抽样学生的平均分:

x ? 45? 0.05 ? 55? 0.15 ? 65? 0.2 ? 75? 0.3 ? 85? 0.25 ? 95? 0.05 ? 72
估计这次考试的平均分是 72 分。 (2)从 95,96,97,98,99,100 中抽取 2 个数, 全部的可能的基本事件由: (95,96( )95,97) (95,98) (95,99) (95,100) (96,97) (96,98) (96,99) (96,100)(97,98)(97,99) (97,100) (98,99) (98,100) (99,100)共 15 个基本事件 如果这 2 个数恰好是两个学生的成绩,则这两个学生在段,而的人数是 3 人,不妨设这 3 个 人的成绩是 95,96,97 则事件 A: “2 个数恰好是这两个学生的成绩”包括的基本事件有(95,96) (95,97) (96,97) 共有 3 个基本事件所以所求的概率为 P( A) ?

3 1 ? 15 5

19. 解: (Ⅰ)依题意可设 A (m, n ) 、 B(2 ? m,2 ? n ) ,则

?m ? n ? 3 ?m ? n ? 3 ? 0 , ? ,解得 m ? ?1 , n ? 2 . ? ?2m ? n ? 0 ?2(2 ? m) ? (2 ? n) ? 6 ? 0

即 A(?1,2) , 又

l 过点 P (1,1) ,易得 AB 方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 . (Ⅱ) 设圆的半径为 R, 则 R 2 ? d2 ? ( 故所求圆的方程为 x 2 ? y 2 ? 5 . 20.解: (Ⅰ)证明:由 AD ? 平面 ABE 及 AD // BC ∴ BC ? 平面 ABE ,∴ AE ? BC 而 BF ? 平面 ACE , ∴ BF ? AE ,又 BC ? BF ? B , ∴ AE ? 平面 BCE ,又 BE ? 平面 BCE ,∴ AE ? BE 。 (Ⅱ)在 ?ABE 中,过点 E 作 EH ? AB 于点 H ,则 EH ? 平面 ACD . 由已知及(Ⅰ)得 EH ? 故 VD ? AEC ? VE ? ADC ?

3 4 5 2 ) , 其中 d 为弦心距,d ? , 可得 R 2 ? 5 , 5 5

1 AB ? 2, S ?ADC ? 2 2 . 2

1 4 ?2 2? 2 ? 3 3 T 2? ? ? 21.(1)由图像得 A ? 1, ? ? ? , 所以 4 3 6 2

? ? ? ? ?? ? T ? 2? , 则? ? 1. 将点? , 1?代入 sin( ? ? ) ? 1而 ? ? ? ? ,所以 ? ? , 6 3 2 2 ?6 ?
因此 f ( x) ? sin(x ?

) 3 ? 2? ? ? ? 1 ? x ? ? ,所以 ? 1 ? sin(x ? ) ? (2)由于 x ? [?? ,? ], ? 6 3 3 6 3 2 1 所以 f ( x) 的取值范围是 [?1, ] 2

?

22.解: (Ⅰ)∵ ????????????????3 分 由 ∴ f(x)的单调递增区间为 (或者:f(x) = cos(2 x ? ,得 ,?5 分 .????6 分

?
3

) — 3 sin 2 x +2=

3 1 sin 2 x +2 cos2x— 2 2

=— sin(2 x ?

?
6

) +2

???????????????????3 分



? ? 3? +2kπ ≤ 2 x ? ≤ +2kπ k∈Z 2 6 2 ? 5? +kπ ≤x≤ +kπ 3 6
f(x)的单调递增区间为:[ k∈Z ??????????????5 分





? 5? +kπ , +kπ ] 3 6

k∈Z

????6 分)

(Ⅱ) ∵ x ? (

? ?

2? ? 4? , ), ∴ ? 2x ? ? , 6 2 3 3 3

????????????7 分



—1≤cos( 2 x ?

?
3

)≤—

1 , 2



????8 分

(或者:∵ x ? (

? ?

? ? 5? , ) ,∴ ? 2 x ? ? 6 2 6 6 6

??????????????7 分

∴ ∴

? 1 ≤ sin(2 x ? ) ≤1 6 2


∴ 1≤— sin(2 x ?

?
6

) +2 ≤

3 2

????8 分)

????????????????9 分 ∴0<t≤2, ???11 分 ????12 分

若 f(x)≥log2t 恒成立, 则 ∴log2t ≤1 即 t 的取值范围为 (0, 2].


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