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【新步步高】2014-2015学年高二数学人教B版必修5 学案:2.1.2 数列的递推公式(选学) Word版含解析


2.1.2

数列的递推公式(选学)
自主学习

知识梳理 1.通项公式与递推公式的区别与联系 定义 通 项 公 式 递 推 公 式 如果数列{an}的第 n 项 an 与项数 n 之间的关系 可用一个函数式 an=f(n)来表示, 则这个公式称 为{an}的通项公式

不同点 给出 n 的值, 可求出 {an

}的第 n 项 an

相同点

如果已知数列{an}的第一项(或前几项), 且从第 由第一项(或前几 二项(或某一项)开始的任一项 an 与前一项 an- 项)的值,经过一次 (或多次)运算,逐项 1(或前几项)之间的关系可用一个公式来表示, 则这个公式叫做{an}的递推公式 地求出 an 2.由数列的递推公式求通项公式的常用方法 (1)累加法:an+1=an+f(n) (f(n)可求和) an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+?+(an-an-1)=a1+f(1)+f(2)+?+f(n-1). (2)累乘法:an+1=an· f(n) (f(n)为含 n 的代数式) a2 a3 an an=a1· · · ?· =a1· f(1)· f(2)· ?· f(n-1). a1 a2 an-1 3.数列{an}的通项 an 与其前 n 项和 Sn 之间的关系是:当 n=1 时,a1=S1,当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1. 4.Sn 与 an 的混合关系式有两个思路 (1)消去 Sn,转化为 an 的递推关系式,再求 an; (2)消去 an,转化为 Sn 的递推关系式,求出 Sn 后,再求 an. 自主探究 1.已知数列{an},a1=2,an+1=an+2,试用累加法推导{an}的通项公式.

可确定一个 数列;可求出 数列中任意 一项

2.已知数列{an},a1=2,an+1=2an,试用累乘法推导{an}的通项公式.

对点讲练 知识点一 例1 利用累加法求通项公式

已知:a1=1,an+1=an+(2n+1),求 an.

总结 形如 an+1=an+f(n)的递推数列,常用累加法求其通项公式,关键是不断变换递 推公式中的“下标”. 1 变式训练 1 已知数列{an},a1=1,以后各项由 an+1=an+ 给出,试用累加法求 n?n+1? 1 1 1 通项公式 an.(提示: = - ). n?n+1? n n+1

知识点二 例2

利用累乘法求通项公式

已知:a1=1,an+1=2n· an,求 an.

总结 形如 an+1=anf(n)的递推数列,常用累乘法求其通项公式. 变式训练 2 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足: Sn=n2an, 且 a1=1, 求{an}的通项公式.

知识点三

由实际问题提炼出递推公式

例 3 某县位于沙漠地带,人与自然长期进行着顽强的斗争,到 2010 年底全县的绿化 率已达 30%.从 2011 年开始,每年将出现这样的局面,即原有沙漠面积的 16%将被绿化,与 此同时,由于各种原因,原有绿化面积的 4%又被沙化.设全县面积为 1,2010 年底绿化面积 3 4 4 为 a1= ,经过 n 年绿化总面积为 an+1.求证:an+1= + an. 10 25 5

总结 在实际问题中, 若题目条件给出的是相邻年份的数量关系时, 可以考虑构建递推 数列模型. 变式训练 3 在一次珠宝展览会上, 某商家展出一套珠宝首饰, 第一件首饰是 1 颗珠宝, 第二件首饰是由 6 颗珠宝(图中圆圈表示珠宝)构成如图 1 所示的正六边形,第三件首饰如图 2,第四件首饰如图 3,第五件首饰如图 4,以后每件首饰都在前一件上按照这种规律增加一 定数量的珠宝, 使它构成更大的正六边形, 设第 n 件首饰所用珠宝数为 f(n), 求 f(n+1)-f(n) 的值.

1.数列的递推公式是给出数列的另一重要形式,一般地,只要给出数列的首项或前几 项以及数列的相邻两项或几项之间的运算关系,就可以依次求出数列的各项. 2.由数列的递推公式求通项公式是数列的重要问题之一,是高考考查的热点,累加法、 累乘法是解决这类问题的常用技巧. 课时作业 一、选择题 1.数列{an}满足 an+1=an+n,且 a1=1,则 a5 的值为( ) A.9 B.10 C.11 D.12 1 1 2.已知数列{an}的首项为 a1=1,且满足 an+1= an+ n,则此数列的第 4 项是( ) 2 2 5 1 3 5 A. B. C. D. 16 2 4 8 1 3.已知数列{an}满足 a1= ,anan-1=an+an-1,则这个数列的第 5 项是( ) 2 1 3 5 A.1 B. C. D. . 2 4 8 * 4.已知数列{an}对任意的 p,q∈N 满足 ap+q=ap+aq,且 a2=-6,那么 a10 等于( ) A.-165 B.-33 C.-30 D.-21 5.在数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n-1,求出 a2,a3,a4 后,归纳猜想 an 的表达式 为( ) A.3n-2 B.n2-2n+2 - C.3n 1 D.4n-3 二、填空题 a4 n+1 6.数列{an}中,a1=1,an+1an=a2 (n∈N*),则 =________. n+(-1) a2 7.数列{an}中,a1=3,a2=7,当 n≥1 时,an+2 等于 anan+1 的个位数,则该数列的第 2 010 项是______.

三、解答题 n ?n为奇数? ? ? 8.函数 f(n)=? ?n? . f?2? ?n为偶数? ? ? 数列{an}的通项 an=f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2n) (n∈N*). (1)求 a1,a2,a4 的值; - (2)写出 an 与 an-1 的一个递推关系式.(注:1+3+5+?(2n-1)=4n 1)

9.某餐厅供应 1 000 名学生用餐,每星期一有 A、B 两种菜可供选择,调查资料显示星 期一选 A 菜的学生中有 20%在下周一选 B 菜,而选 B 菜的学生中有 30%在下周一选 A 菜, 用 An、Bn 分别表示在第 n 个星期一选 A 菜、B 菜的学生数,试写出 An 与 An-1 的关系及 Bn 与 Bn-1 的关系.

2.1.2
自主探究 1.解 ∵an+1-an=2 a2-a1=2 ∴ a3-a2=2 ?? an-an-1

数列的递推公式(选学)

? ? ?(n-1)个式子相加得: ? =2?

an-a1=2(n-1), ∴an=a1+2(n-1)=2n 或 an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+?+(an-an-1) =2+2(n-1)=2n. an+1 2.解 ∵ =2 an a2 =2 a1 ∴

a3 =2 a2

? ? a (n-1)个式子相乘得: =2 ? a ?? ? a =2? a
n 1 n n-1


n-1



∴an=a1· 2n 1=2n a2 a3 an - 或 an=a1· · · ?· =a1· 2n 1=2n. a1 a2 an-1 对点讲练 例 1 解 ∵an+1-an=2n+1, ∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+?+(an-an-1) n =1+3+5+?+(2n-1)=[1+(2n-1)]× =n2. 2 1 变式训练 1 解 ∵an+1-an= , n?n+1? ∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+?+(an-an-1)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 - ?=2- . 1- ?+? - ?+?+? =1+ + +?+ =1+? n 2 2 3 n - 1 ? ? ? ? n ? ? 1×2 2×3 ?n-1?n an+1 例2 解 ∵ =2n, an a2 a3 an - ∴an=a1· · · ?· =1· 21· 2 2· ?· 2n 1 a1 a2 an-1 n-1? + + +?+(n-1) =21 2 3 =2[1+(n-1)]×? ? 2 ? n2-n =2 . 2 变式训练 2 解 ∵Sn=n2an,∴Sn+1=(n+1)2an+1 ∴Sn+1-Sn=(n+1)2an+1-n2an ∴an+1=(n+1)2an+1-n2an∴(n2+2n)an+1=n2an an+1 n ∴(n+2)an+1=nan.∴ = . an n+2 an-2 an-1 an a2 a3 ∴an=a1· · · ?· · · a1 a2 an-3 an-2 an-1 n-3 n-2 n-1 123 2 =1· · · · ?· · · = . 345 n n-1 n+1 n?n+1? 例 3 证明 由已知可得 an 确定后,an+1 表示如下: an+1=an· (1-4%)+(1-an)· 16%, 4 4 即 an+1=80%an+16%= an+ . 5 25 变式训练 3 解 珠宝的数目依次是: f(1)=1,f(2)=1+5,f(3)=1+5+9, f(4)=1+5+9+13,f(5)=1+5+9+13+17,?, ∴f(2)-f(1)=5,f(3)-f(2)=9,f(4)-f(3)=13, f(5)-f(4)=17,?,∴f(n+1)-f(n)=4n+1. 课时作业 1.C [a5=a4+4=a3+3+4=a2+2+3+4 =a1+1+2+3+4=11.] 1 1 1 1 2.B [∵a1=1,an+1= an+ n,∴a2= ×a1+ =1, 2 2 2 2 1 1 3 1 1 3 1 1 a3= a2+ 2= ,a4= a3+ 3= + = .] 2 2 4 2 2 8 8 2 an-1 1 a1 a2 1 3.B [∵anan-1=an+an-1,a1= ∴an= ,∴a2= =-1,a3= = , 2 an-1-1 a1-1 a2-1 2 1 a4=-1,a5= .] 2 4.C [a2=a1+a1=-6,∴a1=-3, a3=a1+a2=-9,a4=a2+a2=-12, a5=a1+a4=-15,a10=2a5=-30.] 5.B [由 an+1=an+2n-1 a2-a1=1, a3-a2=3, a4-a3=5 ?? an-an-1=2n-3. 相加得 an-a1=1+3+5+?+(2n-3)=(n-1)2, ∴an=(n-1)2+a1=n2-2n+2.]

6.

13 12
2

3 a4 a4a3 a3+1 13 解析 a2=2,a3= , = = 2 = . 2 a2 a2a3 a2 -1 12 7.9 解析 列举出数列的前 9 项,依次是 3、7、1、7、7、9、3、7、1、7,观察发现数列 具有周期性且周期为 6,所以 a2 010=a6=9. 8.解 (1)a1=f(1)+f(2)=f(1)+f(1)=2. a2=f(1)+f(2)+f(3)+f(4) =f(1)+f(3)+f(1)+f(2)=1+3+a1=6. a4=f(1)+f(2)+f(3)+?+f(16)=86. - (2)an-1=f(1)+f(2)+?+f(2n 1) n an=f(1)+f(2)+?+f(2 ) =f(1)+f(3)+f(5)+?+f(2n-1)+f(2)+f(4)+f(6)+?+f(2n) - - =1+3+5+?+(2n-1)+f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2n 1)∴an=an-1+4n 1 (n≥2). An+Bn=1 000 ? ? 9.解 由题意知:?An=0.8An-1+0.3Bn-1 ? ?Bn=0.2An-1+0.7Bn-1 由 An-1+Bn-1=1 000,得 Bn-1=1 000-An-1. 所以 An=0.8An-1+0.3(1 000-An-1)=0.5An-1+300. 同理,Bn=0.2(1 000-Bn-1)+0.7Bn-1=0.5Bn-1+200.


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