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福建省漳州八校2015届高三上学期联考数学(理)试卷


福建省漳州八校 2015 届高三上学期联考数学(理)试卷 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项 是符合题目要求的). 1.复数 i(i ? 1) 等于 A. 1 ? i B. 1 ? i C.-1+i D.-1-i

2.命题“对任意的 x ? R,x 3 ? x 2 ? 1 ≤ 0 ”的否定是 A. 不存在 x ? R,x 3 ? x 2 ? 1 ≤ 0 B. 存在 x ? R,x 3 ? x 2 ? 1 ≤ 0 C. 存在

x ? R,x 3 ? x 2 ? 1 ? 0

D. 对任意的 x ? R,x 3 ? x 2 ? 1 ? 0

3.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 A. 9 π C. 11π B. 10 π D. 12 π

4.设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3a 与3b 的等比中项,则 A 8 B 4 C1 D

1 1 ? 的最小值为 ( ) a b

1 4
)

5.如果执行右面的框图,输入 N ? 5 ,则输出的数等于( A

5 4

B

4 5

C

6 5

D

5 6

6. 若 m 、 n 为 两 条 不 同 的 直 线 , α 、 β 正确的是( )

为两个不同的平面,则以下命题

A.若 m∥α ,n ? α ,则 m∥n C.若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n

B.若 m∥α ,m ? β ,α ∩β =n,则 m∥n D.若 α ∩β =m,m⊥n,则 n⊥α

7. 如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好取自阴 影部分的概率为( ) 1 A 4 1 B 5 1 C 6 1 D 7 )

8.为得到函数 y ? cos ? 2 x ? A.向左平移

? ?

π? ? 的图象,只需将函数 y ? sin 2 x 的图象( 3?
B.向右平移

5π 个长度单位 12

5π 个长度单位 12

第 1 页 共 10 页

C.向左平移

5π 个长度单位 6

D.向右平移

5π 个长度单位 6
)

?x ? y ? 3 ? 9.设变量 x,y 满足约束条件: ? x ? y ? ?1 .则目标函数 z=2x+3y 的最小值为( ?2 x ? y ? 3 ?
A6 B7 C8
2

D 23

10.设非空集合 S ?| ? | m ? ? ? l | 满足:当 ? ? S 时,有 ? ? S 。给出如下三个命题工: ①若 m ? 1 ,则 S ?|1| ;②若 m ? ?

2 1 1 1 ,则 ? l ? 1 ;③若 l ? ,则 ? ? m ? 0 。其 2 2 4 2

中正确命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 把答案填在答题卷中的横线上). 11.设向量 a=(cosθ ,1),b=(1,3cosθ ),且 a∥b,则 cos2θ =________. 12. (2 x ?

1 6 ) 的展开式的常数项是 2x

(用数字作答)

13.如右图,一矩形铁皮的长为 8cm,宽为 5cm,在四个角上截去四个相同的小正方形,制 成一个无盖的小盒子,问小正方形的边长为_________ cm 时,小盒子 容积最大。

14. 已知函数 f ( x) ? ( ) x ? log 2 x , 实数 d 是函数 f ( x) 0 ? a ? b ? c ,f (a ) f (b) f (c) ? 0 , 的一个零点.给出下列四个判断:① d ? a ;② d ? b ;③ d ? c ;④ d ? c .其中可能成立 的是____________(填序号)

1 3

15. 设△ABC 的三边长分别为 a, b, c, △ABC 的面积为 S, 则△ABC 的内切圆半径为 r= . a+b+c
将此结论类比到空间四面体:设四面体 S-ABC 的四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,体 积为 V,则四面体的内切球半径为 r=________. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤). 16. (本小题满分 13 分) 已知向量 m ? (sinx,1), n ? ( 3 cosx, ) ,函数 f (x) ? (m ? n) ? m (1)求函数的最小正周期 T 和单调递增区间 (2)已知角 A,B,C 所对应的边分别为 a, b, c ,A 为锐角, a ? 2 3, b ? 4 ,且 f ( A) 是函 数在 [0,

2S

1 2

?
2

] 上的最大值,求 S ?ABC

第 2 页 共 10 页

17.(本小题满分 13 分) 甲、乙两运动员进行射击训练,已知他们击中的环数都稳定在 7,8,9,10 环,且每次 射击成绩互不影响.射击环数的频率分布条形图如下:

若将频率视为概率,回答下列问题. (Ⅰ)求甲运动员在 3 次射击中至少有 1 次击中 9 环以上(含 9 环)的概率; (Ⅱ)若甲、 乙两运动员各自射击 1 次, ξ 表示这 2 次射击中击中 9 环以上(含 9 环)的次数, 求 ξ 的分布列及 Eξ . 18.(本小题满分 l3 分) 设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , a n ?1 ? a n ? 3 ? 2 2 n ?1 (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式: (Ⅱ)令 bn ? nan ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n . 19.(本小题满分 13 分) 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD -A1B1C1D1 中,E、F 分别为 A1D1 和 CC1 的中点. (I)求证:EF∥平面 ACD1; (Ⅱ)求异面直线 EF 与 AB 所成的角的余弦值; (Ⅲ)在棱 BB1 上是否存在一点 P, 使得二面角 P-AC-B 的大小为 30°?若存在, 求出

BP 的长;若不存在,请说明理由.

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ?

ax (a ? R). x ?1

(I)当 a ? 2 时,求函数 y ? f ( x) 的图像在 x ? 0 处的切线方程;
第 3 页 共 10 页

(II)判断函数 f ( x) 的单调性; (III)求证: ln(1 ?

1 1 1 ) ? ? 2 (n ? N ? ). n n n

21.本题有(1) 、 (2) 、 (3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如 果多做,则按所做的前两题记分. (1)(本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换

? 1 0? ?1 0 ? ? 2 ? ,矩阵 MN 对应的变换把曲线 y ? sin x 变为曲线 C,求 已知矩阵 M ? ? , N ? ? ?0 1 ? 0 2 ? ? ? ?
C的方程. (2)(本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos ? .以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正

? ?x ? ? 半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 ? ?y ? ? ?
①. 把直线 l 与曲线 C 的方程化为普通方程 ②.求直线 l 与曲线 C 相交所成弦的弦长.

2 t ? 1, 2 2 t, 2

(t 为参数)

(3)(本小题满分 7 分)选修 4 一 5:不等式选讲 ①.设函数 f(x)=|x+1|-|x-4|,解不等式 f(x)<2; ②.已知 x, y, z ? R ,且 x ? y ? z ? 3 ,求 x 2 ? y 2 ? z 2 的最小值.



第 4 页 共 10 页

2014—2015 学年漳州八校高三第一次联考理科数学答案
一、选择题:(每小题 5 分,满分 50 分). 1.D. 2.C. 3.D. 4. B. 5.D.6.B. 7.C. 8.A. 9.B. 10.D. 二、填空题:(每小题 4 分,满分 20 分). 1 11.-3.

12.-20.

13.1.

3V S ? S 2 ? S3 ? S 4 14. .①②③ 15. 1

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分) (1)

f ( x) ? (m ? n) ? m ? sin 2 x ? 1 ? 3 sin x cos x ? ? sin(2 x ? ) ? 2 6
?T ? 2? ?? 2

?

1 2 ??????????4 分

令 2 k? ?

?

2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

得 k? ?

?
6

? x ? k? ?

?
3

所以单调递增区间是 [k? ? (2)解: f ( A) ? sin(2 A ? 因为 2 A ?

?
6

?

, k? ? ] ????????????????7 分 3

?

?
6

? [?

? 5?
6 , 6

6

)?2

] ,则当 A ?

?
3

时,有最大值为 3

由余弦定理知 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,解得 c=2???????????????11 分 则S ?

1 bc sin A ? 2 3 ??????????????????????13 分 2

17. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)甲运动员击中 10 环的概率是:1 一 0.1—0.1—0.45=0.35. 设事件 A 表示“甲运动员射击一次,恰好命中 9 环以上(含 9 环,下同)”, 则 P(A)=0.35+0.45=0.8. 事件“甲运动员在 3 次射击中,至少 1 次击中 9 环以上”包含三种情况: 恰有 1 次击中 9 环以上,概率为 p1=C 1 3 ·0.8 ·(1-0.8) =0.096;
1 2

2 恰有 2 次击中 9 环以上,概率为 p2=C 3 ·0.8 ·(1-0.8) =0.384;
2 1

恰有 3 次击中 9 环以上,概率为 p3=C 3 3 ·0.8 ·(1-0.8) =0.512.
3 0

第 5 页 共 10 页

因为上述三个事件互斥,所以甲运动员射击 3 次,至少 1 次击中 9 环以上的概率 p= p1+ p2+ p3=0.992.????????????????????????????5 分 (Ⅱ)记“乙运动员射击 1 次,击中 9 环以上”为事件 B, 则 P(B)=1—0.1—0.15=0.75. 因为 ? 表示 2 次射击击中 9 环以上的次数,所以 ? 的可能取值是 0,1,2. 因为 P( ? =2)=0.8·0.75=0.6; P( ? =1)=0.8·(1-0.75)+ (1-0.8)·0.75=0.35; P( ? =0)=(1-0.8)·(1-0.75)=0.05.????????????????????? 10 分 所以 ? 的分布列是 ξ P 分 18(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由已知,当 n≥1 时, 0 0.05 1 0.35 2 0.6

所以 Eξ =0×0.05+1×0.35+2×0.6=1.55.??????????????? 13

an ?1 ? [(an ?1 ? an ) ? (an ? an ?1 ) ? ? 3(22 n ?1 ? 22 n ?3 ? ? 2) ? 2

? (a2 ? a1 )] ? a1

? 22( n ?1) ?1 。??????????????????????????????? 4
分 而 a1 ? 2, 所以数列{ an }的通项公式为 an ? 22 n ?1 。?????????????????6 分 (Ⅱ)由 bn ? nan ? n ? 22 n ?1 知

S n ? 1 ? 2 ? 2 ? 23 ? 3 ? 25 ?

? n ? 22 n ?1



从而 22 ? S n ? 1 ? 23 ? 2 ? 25 ? 3 ? 27 ? ①-②得
第 6 页 共 10 页

? n ? 22 n ?1



(1 ? 22 ) ? S n ? 2 ? 23 ? 25 ?
即 分 19. (本小题满分 13 分)

? 22 n ?1 ? n ? 22 n ?1



1 S n ? [(3n ? 1)22 n ?1 ? 2] ????????????????????????13 9

解:如图分别以 DA、DC、DD1 所在的直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 D-xyz, 由已知得 D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、B1(2,2,2)、D1(0,0,2)、

E(1,0,2 )、F(0,2,1).
(Ⅰ)取 AD1 中点 G,则 G(1,0,1) , CG =(1,-2,1) ,又 EF =(-1,2,-1) ,由
??

??

EF = ? CG ,
∴ EF 与 CG 共线.从而EF∥CG,∵CG ? 平面 ACD1,EF ? 平面 ACD1,∴EF∥平 面 ACD1. ????????????????????????4 分 (Ⅱ) ∵ AB =(0,2,0), cos< EF , AB >=
??
??

??

??

EF ? AB 4 6 , ? ? 3 | EF | ? | AB | 2 6
6 .???????????????????8 3

∴异面直线 EF 与 AB 所成角的余弦值为 分

(Ⅲ)假设满足条件的点 P 存在, 可设点 P(2, 2, t)(0<t≤2), 平面 ACP 的一个法向量为 n =(x,

y,z),
则?

? ?n ? AC ? 0, ? ? n ? AP ? 0.

∵ AP =(0,2,t), AC =(-2,2,0),

∴?

??2 x ? 2 y ? 0, 2 取 n ? (1,1, ? ) . t ? 2 y ? tz ? 0,

易知平面 ABC 的一个法向量 BB1 ? (0, 0, 2) , 依题意知,< BB1 , n >=30°或< BB1 , n >=150°,

第 7 页 共 10 页

∴|cos< BB1 , n >|=

4 |? | t 2? 2 ? 4 t2

?

3 , 2



6 4 3 4 . ? (2 ? 2 ) ,解得 t ? 2 3 t 4 t 6 6 时, ? (0, 2] ,∴在棱 BB1 上存在一点 P,当 BP 的长为 3 3



二面角 P-AC-B 的大小为 30°. ????????????????????????13 分 20. (本小题满分 14 分) 解: (I)当 a ? 2 时, f ( x) ? ln( x ? 1) ?

2x , x ?1

? f / ( x) ?

1 2 x?3 ? ? , 2 x ? 1 ( x ? 1) ( x ? 1) 2

? f ' (0)=3,所求得切线的斜率为 3.
又? f (0) ? 0, ? 切点为 (0,

0) 。

故所求的切线方程为 y ? 3 x 。????????????????????????? 4 分 (II)? f ( x) ? ln( x ? 1) ?

ax ( x ? ?1), x ?1

? f / ( x) ?

1 a ( x ? 1) ? ax x ? 1 ? a ? ? . x ?1 ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 2
/

①当 a ? 0 时,? x ? ?1,? f ( x) ? 0.

? f / ( x) ? 0, ②当 a ? 0 时,由 ? 得 ? 1 ? x ? ?1 ? a ; ? x ? ?1
由?

? f / ( x) ? 0, 得 x ? ?1 ? a 。 x ? ? 1 ?

综上,当 a ? 0 ,函数 f ( x) 在 (? 1, 当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 (? 1,
第 8 页 共 10 页

? ?) 上单调递增;

? 1 ? a) 上单调递减,在 (? 1 ? a, ? ?) 上单调递增。?8

分 (III)证法一:由(II)可知,当 a ? ?1 时,

x 在 (0, ? ?) 上单调递增。 x ?1 x 。 ? 当 x ? 0 时, f ( x) ? f (0) ? 0 ,即 ln( x ? 1) ? x ?1 1 1 1 1 . 令 x ? (n ? N ? ), 则 ln(1 ? ) ? n ? 1 n n ?1 n ?1 n f ( x) ? ln( x ? 1) ?
另一方面,?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ,即 ? ? 2 ,? ? ? 2. n n ?1 n n ?1 n n n(n ? 1) n

1 1 1 ? ln(1 ? ) ? ? 2 (n ? N ? ). ???????????????????????? 14 n n n
分 证法二:构造函数 F ( x) ? ln(1 ? x) ? x ? x (0 ? x ? 1),
2

? F / ( x) ?

1 x(2 x ? 1) ? 1 ? 2x ? . 1? x x ?1

? 当 0 ? x ? 1 时, F / ( x) ? 0 ,

? 函数 F ( x) 在 (0, 1] 上单调递增。
? 函数 F ( x) ? F (0) ,即 F ( x) ? 0 。

? ?x ? (0, 1] , ln(1 ? x) ? x ? x 2 ? 0 ,即 ln(1 ? x) ? x ? x 2 ,
令x ?

1 1 1 1 (n ? N ? ) ,则有 ln(1 ? ) ? ? 2 。 n n n n

21.(本题满分 14 分) (1) (本小题满分 7 分)

?1 ? ?1 ? ?1 0 ? ? 0? ? 0? 解: MN ? ? ,设 P ( x, y ) 是所求曲线 C 上的任意一点,它是曲线 ? 2 ?? 2 ? ?0 2??0 1 ? ?0 2 ? ? ? ? ? ?1 ? ? x ? ? 0 ? ? x0 ? y ? sin x 上 点 P0 ( x0 , y0 ) 在 矩 阵 MN 变 换 下 的 对 应 点 , 则 有 ? ? ? 2 ? ? ,即 ? ? y ? ? ? ? y0 ? ?0 2 ?

第 9 页 共 10 页

1 ? ? x ? x0 , 所以 2 ? ? ? y ? 2 y0 .
1 y ? sin 2 x 2

? x0 ? 2 x, ? ? 1 又 点 P( x0 , y0 ) 在 曲 线 y ? sin x 上 , 故 y0 ? sin x0 , 从 而 y0 ? y. ? ? 2
, 所 求 曲 线 C 的 方 程 为

y ? 2sin 2 x .??????????????????????????7 分
(2) (本小题满分 7 分) 解 : ① . 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 ? ? 4cos ? 化 为 直 角 坐 标 方 程 为 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 , 即

( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 .
? ?x ? ? 直线 l 的参数方程 ? ?y ? ? ?
分 ②.曲线 C 的圆心(2,0)到直线 l 的距离为

2 t ? 1, 2 化为普通方程为 x ? y ? 1 ? 0 .????????????4 2 t 2

1 2

?

2 , 2

所以直线 l 与曲线 C 相交所成的弦的弦长为 2 4 ? 分 (3) (本小题满分 7 分) 5,x≥4, ? ? ①∵f(x)=|x+1|-|x-4|=?2x-3,-1<x<4, ? ?-5,x≤-1,

1 ? 14 .????????????7 2

5 ∴由 f(x)<2 得 x<2.?????????????????????????????4 分 ②.解:注意到 x, y, z ? R ,且 x ? y ? z ? 3 为定值, 利用柯西不等式得到 ( x 2 ? y 2 ? z 2 )(12 ? 12 ? 12 ) ? ( x ? 1 ? y ? 1 ? z ? 1) 2 ? 9 , 从而 x 2 ? y 2 ? z 2 ? 3 ,当且仅当 x ? y ? z ? 1 时取“=”号, 所以 x 2 ? y 2 ? z 2 的最小值为 3.????????????????????????7 分

第 10 页 共 10 页



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