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2012年南平、三明、龙岩第二次市质检文科数学三套卷


福建省南平市 2012 届高三适应性考试数学(文)试题 一、选择题: 1.已知集合 A ? { x | ? 1 ? x ? 2}, B ? { x | 0 ? x ? 3}, 则 A ? B = A. { x | 0 ? x ? 2} C. { x | 0 ? x ? 2} 2.复数 z ?
2?i 2?i

B. { x | ? 1 ? x ? 2

} D. { x | ? 1 ? x ? 3}

在复平面内对应的点所在象限为 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限

3.已知命题 p:对 ? x ? R , 有 sin x ? 1, 则 A. ? p : ? x 0 ? R , 使 sin x 0 ? 1 C. ? p : ? x 0 ? R , 使 sin x 0 ? 1 B. ? p : ? x 0 ? R , 使 sin x ? 1 D. ? p : ? x 0 ? R , 使 sin x ? 1

4.对于定义在 R 上的奇函数 f ( x ), 满 足 f ( x ? 3) ? f ( x ), 则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? A.0 B.—1
2

C.3

D.2

5.已知向量 a ? ( x ? 4,1), b ? ( x , 2), 则 " x ? 4 " 是 "a//b" 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ? ? 6.把函数 f ( x ) ? cos( ? 2 x ) 的图象向左平移 个单位,可得到函数 g ( x ) 的图象,则函 2 6 数 g ( x ) 的解析式为 A. g ( x ) ? cos(2 x ? C. g ( x ) ? sin(2 x ?

?
6

) )

B. g ( x ) ? cos(2 x ? D. g ( x ) ? sin(2 x ?

?
3

) )

?
6

?
3

7.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 5 A. 3 B. 3 3 C.
3 2

D.2 3

8. 椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

F 过点 F1 的直线交椭圆于 A、 两点, B 若△ ABF2 ? 1 的左右焦点分别为 F1, 2,
3 5

的周长为 20,离心率为

,则椭圆方程为

1

A.

x

2

?

y

2

25

9

? 1 B.

x

2

?

y

2

25

16

? 1 C.

x

2

?

y

2

9

25

? 1 D.

x

2

?

y

2

?1

16

25
x

9.已知函数 f ( x ) ? ( x ? a )( x ? b )(其 中 a ? b ) 的图象如图所示,则函数 g ( x ) ? a ? b 的 大致图象是

10.在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=BC=2,AA1=1,则异面直线 A1C1 和 AB1 所成角的余弦 值为 A.
2 2

B.

3 6

C.
??? ??? ? ? ??? 2 ?

10 5

D.

1 2

11.在△ ABC 中,若 A=30°,b=2,且 2 A B ? B C ? A B ? 0 ,则△ ABC 的面积为 A.2 3 B.1 C. 3
? ? x ? 2 y ? 5 ? 0, ? ? x , y ? R ? , 集合 ? x ? 3, ? y ? m x, ? ? ?

D.2

? ? 12.设 m 为实数,集合 A ? ? ( x , y ) | ? ?
2 2

B ? {( x , y ) | x ? y ? 25, x , y ? R |}, A ? B ,则 m 的最小值是

4 二、填空题:

A. ?

3

B. ?

4 3

C. ?

3 2

D. ?

2 3

13.双曲线

x

2

? y ? 1 的渐近线方程为
2



4

? log 2 x , x ? 0, 14.已知函数 f ( x ) ? ? 2 若 f ( a ) ? 3 ,则 a= ? ? 2 , x ? 0,

。 。

15. 在区间[0,9]内任取两个数, 则这两个数的平方和也在[0, 9]内的概率为 16.已知 [ x ) 表示大于 x 的最小整数,例如 [3) ? 4,[ ? 1, 2) ? ? 1. 下列命题中真命题为 。 (写出所有真命题的序号)

①函数 f ( x ) ? [ x ) ? x 的值域是 (0,1]; ②若 { a n } 为等差数列,则 [ a n ) 也是等差数列;

2

③若 { a n } 为等比数列, [ a n ) 也是等比数列; 则 ④若 x ? (1, 4), 则 方 程 [ x ) ? x ? 三、解答题: 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? sin(2 x ? (1)求 f (

1 2

有 3 个根。

?
6

) ? cos(2 x ?

?
3

) ? 2 cos x .
2

?
12

(2)求 f ( x ) 的最大值及相应 x 的值。 ) 的值;

18. (本小题满分 12 分) 如图,已知 AB⊥平面 ACD,BE//AB,AD=DE=2AB,△ ACD 为正三角形,且 F 是边 CD 的 中点。 (1)求证:AF//平面 BCE; (2)求证:平面 BCE⊥平面 CDE。

19. (本小题满分 12 分)为了培养学生的安全意识,某中学举行了一次“安全自救”的知识竞 赛活动,共有 800 名学生参加了这次竞赛,为了解本次竞赛的成绩情况,从中抽取了部分学 生的成绩(得分均为整数,满分为 100 分)进行统计,请你根据频率分布表解答下列问题: (1)求出频率分布表中①、②、③、④、⑤的值; (2)为鼓励更多的学生了解“安全自救”知识,成绩不低于 85 分的学生能获奖,请估 计在参加的 800 名学生中大约有多少名学生获奖? (3)在上述统计数据的分析中,有一项计算的程序框图如右图所示,求输出的 S 的值。

3

20. (本小题满分 12 分)已知无穷数列 { a n } 中, a1 a 2 , ? , a m 是以 1 为首项,1 为公差的等 差数列; a m ?1 , a m ? 2 , ? , a 2 m 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列 ( m ? 3, m ? N *) . (1)当 m=10 时,求 a10 及 a 20 的值; (2)若对任意 n ? N *, 均 有 a n ? 2 m ? a n 成立。 (i)当 m=10 时,求 a2012 的值; (ii)设 S 12 m ? 3 为 数 列{ a n }的 前 12 m ? 3 项和,求 S12m+3。

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 4 x ? 3 x cos ? ?
3 2

1 32

, 其 中 x ? R.

(1)当 ? ?

?
2

时,判断函数 f ( x ) 是否有极值;
, ] 时, f ( x )总 是 区 间 (2 a , ? 1, a ) 上的增函数,求实数 a 的取值范围。

(2)若 ? ? (

? ?
3 2

4

22. (本小题满分 14 分) 已知抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 上一个横坐标为 2 的点到其焦点的距离为
2

5 2

.

(1)求此抛物线方程; (2)若 A ( x 0 , y 0 ) 是抛物线 y ? 2 p x 上的一动点,过 A 作圆 M : ( x ? 1) ? y ? 1 的
2
2 2

两条切线分别切圆于 E、F 两点,交 y 轴于 B、C 两点,当 x 0 ? 2 时,求△ ABC 的面积的 最小值。

5

6

7

8

9

10

2012 年三明市普通高中毕业班质量检查

文科数学
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) .本试卷共 6 页.满分 150 分.考试 时间 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上,请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内 作答,超出答题区域书写的答案无效,在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 样本数据 x1 , x 2 ,…, x n 的标准差 锥体体积公式
s?
?

1 n

[( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? … ? ( x n ? x ) ]
2 2

?

?

?

V ?

1 3

Sh

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式
V ? Sh

其中 S 为底面面积, h 为高

其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积、体积公式 4 2 3 S ? 4 ?R ,V ? ?R 3 其中 R 为球的半径

第 I 卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M ? { x ? 1 ? x ? 1} , N ? {0 ,1 , 2} ,则 M ? N 为

11

A. {1}

B. {0 ,1}

C. {0 ,1, 2}

D. { x | 0 ? x ? 1}

2. x 2 ? 1 ”是“ x ? 1 ”的 “ A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.已知平面向量 a ? (3 , 1) , b ? ( x , ? 3) ,若 a ? b ,则实数 x 等于 A. ? 3 B. ? 1 C. 1 D. 3 4.已知 i 是虚数单位,且复数 m ( m ? 1) ? ( m ? 1) i 是纯虚数,则实数 m 的值为 A. ? 1 B.1 C.0 或 1 D.0

5.阅读如图所示的程序框图,运算相应程序,若输入的 m ? 1 ,则输出 m 应为 A. 1 B. 2 C. 3
1 x
输入 m

D. 4
,c ? x .则
开始

6.已知 0 ? x ? 1 ,若 a ? x 2 , b ? A. a ? b ? c C. c ? b ? a

B. b ? c ? a D. c ? a ? b 5 7.若 ? 是第四象限角,且 tan ? ? ? ,则 sin ? ? 12 B. ? C. D. 5 5 13 13 8.已知 m , n 是两条不同的直线, ? , ? , ? 是三个不同的 A. ? 平面,下列命题正确的是 A.若 m // ? , n // ? ,则 m // n . B.若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? . C.若 m // ? , m // ? ,则 ? // ? . D.若 m ? ? , m ? ? ,则 ? // ? .
5 1 1 5

m ? lg m ? 1



否 输出 m
m ? m ?1

结束
(第 5 题图)

9.如图是甲、乙两个学生的 8 次数学单元考试成绩的茎叶图.现有如下结论: ① X 甲= X 乙 ; ②乙的成绩较稳定;

③甲的中位数为 83; ④乙的众数为 80。 则正确的结论的序号是 A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④ 10.已知函数 g ( x ) ? 2 ?
x

? g ( x) ,若 f ( x ) ? ? 2 ? g (? x)
1
x

( x ? 0) ( x ? 0)

,则函数 f ( x ) 在定义域内

A.有最小值,但无最大值. C.既有最大值,又有最小值.

B.有最大值,但无最小值. D.既无最大值,又无最小值.

11.若曲线 C 上存在点 M ,使 M 到平面内两点 A ? ? 5, 0 ? , B ? 5, 0 ? 距离之差为 8,则称曲 线 C 为“好曲线” .以下曲线不是“好曲线”的是 .. A. x ? y ? 5 B. x ? y ? 9
2 2
2 2

C.

x

?

y

?1

25

9

D. x ? 16 y
2

12

?????? ? ?????? 12 . 已 知 线 段 P1 P2 , | P1 P2 |? 1 , 对 于 自 然 数 n ( n ? 3 ) 有 Pn ? 2 Pn ? 2 Pn Pn ?1 , 则 ???? ? ???? ? ???? ? ?????? ? | P1 P 3 |? P P 4 ? P| P3 ? ? ? Pn ?| Pn 2 ? ? ? | 2 | | | 5

A.

1 2

B.

2 3

C. 1

D.

3 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在答题卡相应位置. 13.已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 6 x ? 6 y ? 17 ? 0 ,过原点的直线 l 被圆 C 所截得的弦长最长,则 直线 l 的方程是 . 14.在 ? ABC 中, A ? 60 0 , a ?
2

6 , b ? 2 ,则 B 的大小为

. .

15.若 a ? [0 , 3] ,则函数 f ( x ) ? x ? 2 ax ? a 有零点的概率为

16.袋内有 50 个球,其中红球 15 个,绿球 12 个,蓝球 10 个,黄球 7 个,白球 6 个.任 意从袋内摸球,要使一次摸出的球中,一定有 8 个同色的球,那么从袋内摸出的球的只 数至少应是 个. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 { a n } 满足 a n ?1 ?
1 2
* a n ? 1 (n ? N ) .

(Ⅰ)若 a1 ? 2 ,求证数列 { a n ? 2} 是等比数列; (Ⅱ)若数列 { a n } 是等差数列, b n ? a n ? ( ) ,求数列 {b n } 的前 n 项和 S n .
n

1

2

18.(本小题满分 12 分) 某食品厂对生产的某种食品按行业标准分成五个不同等级, 等级系数 X 依次为 A ,B ,
C , D , E .现从该种食品中随机抽取 20 件样品进行检验,对其等级系数进行统计分

析,得到频率分布表如下:
X
A B

C

D

E

频率

a

0.2

0.45

b

c

(Ⅰ)在所抽取的 20 件样品中,等级系数为 D 的恰有 3 件,等级系数为 E 的恰有 2 件, 求 a , b , c 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,将等级系数为 D 的 3 件样品记为 x 1 , x 2 , x 3 ,等级系数为 E 的 2 件样品记为 y 1 , y 2 ,现从 x 1 , x 2 , x 3 , y 1 , y 2 这 5 件样品中一次性任取两件(假定每 件样品被取出的可能性相同),试写出所有可能的结果,并求取出的两件样品是同 一等级的概率.

13

19.(本小题满分 12 分) 如图 1,正方体 ABCD ? A1 B 1 C 1 D 1 的棱长为 a , E 是 AD 的中点.现截去部分几何体 后得到如图 2 所示的四棱锥 A ? A1 B 1 CD . (Ⅰ)求四棱锥 A ? A1 B 1 CD 的体积; (Ⅱ)求证: AB 1 // 面 A1 EC . D1 A1 B1 C1 A1 B1

D

C A

D E 图2

C

A

图1

B

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? sin( x ?
? 3 )? 3 cos
2

x 2



(Ⅰ)将函数 f ( x ) 的图象向上平移 大值;
? ?x ? 3 ? ? (Ⅱ)设 D ? ? ( x , y ) | ? y ? 3 ? ?x ? y ? ? ?

? 2

个单位后得到函数 g ( x ) 的图象,求 g ( x ) 的最

? ? ? ,若 P ? D ,问:是否存在直线 OP ( O 为坐标原点), 5? ?

使得该直线与曲线 y ? f ( x ) 相切?若存在,求出直线 OP 的方程;若不存在, 请说明理由.

21.(本小题满分 12 分) 已知 F1 、 F2 分别是椭圆 C :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点, M 、 N 分别

14

是直线 l :

x a

?

y b

? m ( m 是大于零的常数)与 x 轴、 y 轴的交点,线段 M N 的中点 P

在椭圆 C 上. (Ⅰ)求常数 m 的值; (Ⅱ)试探究直线 l 与椭圆 C 是否还存在异于点 P 的其它公共点?请说明理由; (Ⅲ) a ? 2 时, 当 试求 ? PF 1 F 2 面积的最大值, 并求 ? PF 1 F 2 面积取得最大值时椭圆 C 的方程.

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? x ? a ? , a 是大于零的常数.
2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在区间 ?1 , 2 ? 上为单调递增,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)证明:曲线 y ? f ( x ) 上存在一点 P ,使得曲线 y ? f ( x ) 上总有两点 M , N ,且
MP ? PN 成立 .

2012 年三明市普通高中毕业班质量检查

文科数学参考答案及评分标准
题号 答案 1 B 2 B 3 C 14. 45
1 2
?

4 D

5 C 15.
2 3

6 B

7 A 16.35
1 2

8 D

9 C

10 A

11 B

12 C

13. x ? y ? 0

17.解: (Ⅰ)由 a n ?1 ?
? a n ?1 ? 2 an ? 2 ? 1 2

a n ? 1 得 a n ?1 ? 2 ?

( a n ? 2 ) ,? a 1 ? 2 ,? a 1 ? 2 ? 0 ,

( n ? 1, n ? N )

所以 { a n ? 2} 是以 a 1 ? 2 为首项, (Ⅱ)解法一:由 a n ?1 ?
1 2

1 2

为公比的等比数列.------------------------------5 分
1 2 a n ?1 ? 1( n ? 2 ) ,

a n ? 1 ,及 a n ? 1 2 ( a n ? a n ?1 ) .

两式相减,得 a n ?1 ? a n ?

又 { a n } 是等差数列,于是 a n ?1 ? a n ? a n ? a n ?1 ? d ,
15

所以 d ?

1 2

d ,解得 d ? 0 , 1 2
* a n ? 1 得 a 1 ? 2 ,于是 a n ? 2 ( n ? N ) .---------------9 分

于是 a n ? a 1 ,代入 a n ?1 ?

1 n 1 n ?1 ? bn ? a n ( ) ? ( ) , 2 2 1 n 1 ? (1 ? ( ) ) 1 n 1 n ?1 2 于是 S n ? ? 2 ? (1 ? ( ) ) ? 2 ? ( ) .---------- ---------------12 分 1 2 2 1? 2

解法二:∵ { a n } 是等差数列,∴设 a n ?1 ? a n ? d ( d 为常数) ,
1 即 a n ? 1 ? a n ? ( a n ? 1) ? a n ? d ? a n ? 2(1 ? d ) 2

从而 { a n } 是常数列,公差 d ? 0 ,故 a n ? 2 .-----------------------------------9 分 下同解法一. 18.解: (Ⅰ)由频率分布表得 a ? 0 .2 ? 0 .45 ? b ? c ? 1 ,即 a ? b ? c ? 0 .35 . 因为抽取的 20 件样品中,等级系数为 D 的恰有 3 件,所以 b ? 等级系数为 E 的恰有 2 件,所以 c ?
2 20 ? 0 .1 .

3 20

? 0 . 15 .

从而 a ? 0 .35 ? b ? c ? 0 . 1 。 所以 a ? 0 . 1, b ? 0 . 15 , c ? 0 . 1 . -----------------------------------------6 分 (Ⅱ)从样品 x 1 , x 2 , x 3 , y 1 , y 2 中任取两件,所有可能的结果为:
( x1 , x 2 ) , ( x1 , x 3 ) , ( x1 , y 1 ) , ( x1 , y 2 ) ,

( x 2 , x 3 ) , ( x 2 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ( x 3 , y 1 ) , ( x 3 , y 2 ) , ( y 1 , y 2 ) ,共计 10 个

设事件 A 表示“从样品 x 1 , x 2 , x 3 , y 1 , y 2 中任取两件,其等级系数相等”, 则 A 包含的基本事件为: ( x 1 , x 2 ) , ( x 1 , x 3 ) , ( x 2 , x 3 ) , ( y 1 , y 2 ) ,共 4 个. 故所求的概率 P ( A ) ?
4 10 ? 0 . 4 . ---------------------------------------12 分

19.解: (Ⅰ)如图,将几何体补形成正方体,-----------------------------------------3 分 则 V A ? A B CD ? V 正方体
1 1

AC 1

? V A1 DD 1 ? B1CC 1 ? V B1 ? ABC ? a ?
3

1 2

a ?
3

1 6

a ?
3

1 3

a --------7 分

3

(Ⅱ)在正方体 AC 1 中,截面 A1 B 1 CD 是矩形, 连接 A1 C , B 1 D ,交于 O ,则 O 为 B 1 D 中点。 又 E 是 AD 的中点,连接 OE ,则 OE 是 ? AB 1 D 的中位线,于是 AB 1 // OE , 又 OE ? 面 A1 EC , A1 B ? 面 A1 EC ,于是 AB 1 // 面 A1 EC 。-------------12 分

16

D1

C1 A1 B1

A1 O D E A
? 3

B1 O C E B
x 2 1 2

D

C

A

20.解:(Ⅰ)函数 f ( x ) ? sin( x ?
3 2 1 2

)?

3 cos

2

?

sin x ?

3 2

,-------------3 分

所以 g ( x ) ? f ( x ) ? 从而 ( g ( x )) m ax ?
1 2

?

sin x ,

,此时 x ? 2 k ? ?

?
2

( k ? z ) .-----------------------------------6 分

?x ? 3 ? (Ⅱ)由 ? y ? 3 知,区域 D 如右图所示. ?x ? y ? 5 ?

y 5 3 O P 3 5 x

于是直线 O P 的斜率的取值范围是 k OP ? [ , ] ,---------------------------------------9 分
3 2

2 3

又由 f ( x ) ? 因为
1 2 ? 2 3

1 2

sin x ?

3 2

知, f ?( x ) ?

1 2

cos x ,于是 f ?( x ) ?? [ ?

1 1 , ], 2 2

,所以直线 OP 不可能与函数 y ? f ( x ) 的图象相切.-------------12 分
ma mb , ), 2 2

21.解: (Ⅰ)由已知可得 M ( m a , 0) 、 N (0, mb ) ,故 M N 的中点为 P (
m 4
2

又点 P 在椭圆 C 上,∴

?

m 4

2

? 1 ,所以 m ?

2 .---------------------4 分

(Ⅱ) (解法一)由(Ⅰ)得 l :
2 2

x a

?

y b
2

?

2,
2 2

y

与方程 C 联立得:2 b x ? 2 2 ab x ? a b ? 0 , 即 2 x ? 2 2 ax ? a ? 0 ,
2 2

N
P

F1 O
17

F2

M

x

由于 ? ? (2 2 a ) ? 4 ? 2 ? a ? 0 ,
2 2

∴此方程有两个相等实根 x ?

2a 2



故直线 l 与椭圆 C 相切,切点为 P ( 除此之外,不存在其他公共点.
x a y b

2a 2

,

2b 2

),

----------------------------------------------8 分

(解法二)由(Ⅰ)得 l :

?

?

2 ,与方程 C 联立得:

2 ? x2 y x y ?x y ?x y ? ? 2, ? 2 ? 2 ? ? 2, ? ? ? 2 , ? 2 ?a b ?a ? ?a b b a b 所以 ? 则? ? 2 2 2 2 ? x ? y ? 1, ? x ? y ? 1, ?x? y ? 1, 2 2 2 2 ?a b ?a ?a 2 ? b ? b ?



x a



y b

是方程 x ?
2

2x ?

1 2

? 0 的两根,
x a 2 2 2 2 y b 2 2

又? ? ( 2) ? 4?
2

1 2

? 0 ,∴此方程有两个相等实根,即

?

?



∴直线 l 与椭圆 C 的公共点是唯一的点 P (

a,

b) ,

即除点 P 以外,不存在其他公共点.-----------------------------------------------------8 分 (Ⅲ)当 a ? 2 时, S ? P F F ?
1 2

1 2

| F1 F 2 | ?

2 2

b ?

2 2

cb ,

所以 S ? P F F ?
1 2

2 2

?

b ?c
2

2

?

2 4

a ?
2

2,

2

当且仅当 b ? c ?

2 时,等式成立,故 ( S ? P F1 F2 ) m ax ?

2

此时,椭圆 C 的方程为:

x

2

?

y

2

? 1 .-------------------------------------------------12 分

4
2

2
3 2 2

22.解: (Ⅰ) f ? x ? ? x ? x ? a ? ? x ? 2 ax ? a x
2 2 2 f ? ? x ? ? 3 x ? 4 ax ? a ,当 a ? 1 , f ? ? x ? ? 3 x ? 4 x ? 1 ? ? 3 x ? 1 ? ? x ? 1 ?

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ?

1 3

, x2 ? 1 ,

18

f ( x ) 在区间 (0 ,

1 3

) ,(

1 3

, 1) , (1 , ? ? ) 上分别单调递增,单调递减,单调递增, 1 4 27

于是当 x ?

1 3

时,有极大值 f ( ) ?
3
2 2

;当 x ? 1 时有极小值 f (1) ? 0 .------------4 分

(Ⅱ) f ? ? x ? ? 3 x ? 4 ax ? a ,若函数 f ( x ) 在区间 ?1, 2 ? 上为单调递增,
2 2 则 f ? ? x ? ? 3 x ? 4 ax ? a ? 0 在 x ? ?1, 2 ? 上恒成立,

当0 ?

2a 3

? 1 ,即 a ? 3

3 2

时,由 f ? ?1 ? ? 3 ? 4 a ? a ? 0 得 0 ? a ? 1 ;
2
2

当1 ?
2a 3

2a 3

? 2 ,即

a ? 2a ? ? 0 ,无解; ? a ? 3 时, f ? ? ??? 3 2 ? 3 ?



2 ? 2 ,即 a ? 3 时,由 f ? ? 2 ? ? 12 ? 8 a ? a ? 0 得 a ? 6 .

综上,当函数 f ( x ) 在区间 ?1, 2 ? 上为单调递增时, 0 ? a ? 1 或 a ? 6 .--------10 分 (Ⅲ) f ? x ? ? x ? x ? a ? ? x ? 2 ax ? a x , f ? ? x ? ? 3 x ? 4 ax ? a ,
2 3 2 2

2

2

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ?

a 3

, x2 ? a ,

f

? x ? 在区间 ( ?? ,
a 3

a 3

) ,(

a 3

, a ) , ( a , ?? ) 上分别单调递增,单调递减,单调递增,

于是当 x ?

时,有极大值 f ( ) ?
3

a

4a

3



27

当 x ? a 时,有极小值 f ? a ? ? 0 . 记 A(
a 3 , 4 27 a ) , B ( a , 0) , A B 的中点 P (
3

2a

,

2

a ),

3

3 27 ???? ???? 4 4 3 设 M ( x , y ) 是图象任意一点,由 M P ? P N ,得 N ( a ? x , a ? y) , 3 27 4 4 4 3 2 2 4 因为 f ( a ? x ) ? ( a ? x ) ? 2 a ( a ? x ) ? a ( a ? x ) 3 3 3 3 4 3 4 3 3 2 2 ? a ? x ? 2 ax ? a x ? a ? y, 27 27 ???? ???? 由此可知点 N 在曲线 y ? f ( x ) 上,即满足 M P ? P N 的点 N 在曲线 C 上.

所以曲线 y ? f ( x ) 上存在一点 P ( 且 MP ? PN 成立 .

2a 3

,

2 27

a ) ,使得曲线 y ? f ( x ) 上总有两点 M , N ,

3

----------- -----------------------14 分

19

20

21

22

23

24

25

26

27


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