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湖北省宜昌市葛洲坝中学2015-2016学年高一数学上学期期末考试试题


2015-2016 学年度上学期期末考试高一数学试题
时间:120 分钟 总分:150 分

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.设全集 U ? {0,1,2,3} ,集合 A ? {0,1,2} ,集合 B ? {2,3} ,则 (? U A)

? B = A. ? B. {1,2,3} C. {0,1,2,3} D. {2,3}

2.设集合 A ? {x | 0 ? x ? 2015} , B ? {x | x ? a} .若 A ? B ,则实数 a 的取值范围是 A. {a | a ≤ 0} C. {a | a ≥ 2015} B. {a | 0 ? a ≤ 2015} D. {a | 0 ? a ? 2015}

3.幂函数的图象过点 (2, 2) ,则该幂函数的解析式为 A. y ? x ?1 B. y ? x 2
1

C. y ? x 2

D. y ? x 3

4. 已知函数 f ( x ) ? ? A.

?log2 x, x ? 0
x

1 8

?3 , x ≤ 0 1 B. 16

,则 f ( f ( )) = C.

1 8

1 9

D.

1 27

5.函数 y ? sin(2 x ?

2? ) 3 ? 7? ] 上单调递增 A.在区间 [ , 12 12
C.在区间 [ ?

B.在区间 [

, ] 上单调递增 6 3 6.已知角 2? 的顶点在原点,始边与 x 轴的非负半轴重合,终边经过点 (?1, 3) ,且 2? ? [0,2? ) ,则 tan ? 等于
A. 3 B. ? 3
x

? ?

, ] 上单调递减 12 12

? 7?

, ] 上单调递减 6 3

D.在区间 [ ?

? ?

C.

3 3

D. ?

3 3

7.在同一个坐标系 中画出函数 y ? a , y ? sin ax 的部分图象,其中 a ? 0且a ? 1 ,则下 列所给图象中可能正确的是

1

A.

B.

C.

D.

8.已知 f ( x ) ? 2 x ? 4 , g ( x) ? x 2 .则 y ? f ( g ( x )) 的零点为 A. 2 B. ? 2 C.

2 2
??? ?

D. ?

2 2

9.设 e1 , e2 是两个互相垂直的单位向量, 且 OA ? 上的投影为 A.

??? ? ??? ? ??? ? 1 1 e1 ? e2 ,OB ? e1 ? e2 则 OA 在 OB 2 4
D.

10 4

B.

5 3

C.

3 5 10

2 2 3

10.设 a ? log3 6, b ? log5 10, c ? log6 12 ,则 A. a ? b ? c B. a ? c ? b
3

C. b ? c ? a

D. c ? b ? a

11.对于函数 f ( x) ? a sin x ? bx ? c (其中, a, b ? R , c ? Z ) ,选取 a, b, c 的一组值 计算 f (1) 和 f ( ?1) ,所得出的正确结果一定不可能是 A.4 和 6 B.3 和 2 C.2 和 4 D.3 和 5

12.已知 A、B、C 是平面上不共线的三点,O 是 ?ABC 的重心(三条中线的交点),AB 边的中点为 D .动点 P 满足 OP ? A.线段 CD 的中点 C.重心

??? ?

? 1 ??? ? ??? ? 1 1 ??? ( OA ? OB ? 2OC ) ,则点 P 一定为三 ?ABC 的 3 2 2 B.线段 CD 靠近 C 的四等分点 D.线段 CD 靠近 C 的三等分点

2

第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 13.已知 m ? (a, ?2), n ? (1,2 ? a) ,且 m || n ,则 a =__________. 14.若 sin(

?
2

??) ?

12 ,那么 cos(? ? ? ) =_________. 13

15.已知奇函数 f ( x ) 在区间[0,+∞)单调递增,则满足 f (2 x ? 1) ? f (1) 的 x 取值范围 是_________ 16. 如图, 平面内有三个向量 OA, OB, OC , 其中 OA 与 OB 的夹角为 120? ,OA 与 OC 的 夹 角 为 30 ? , 且 | O A ?|

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? 2 O ,? | C

, | 若 4

3

? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? O C ? ? O? A ? ( O ,? R B? ?,则 ) ? =_______.
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 计算: (Ⅰ) log5 25 ? lg (Ⅱ) ( )

1 ? ln e ? 2log2 3 100

9 4

0.5

? ( ?3) ?1 ? 0.75?2

18. (本小题满分 12 分) 已知集合 A ? {x | x ≤ ?2或x ≥ 2} , B ? {x |1 ? x ? 5} , C ? {x | m ? 1 ≤ x ≤ 3m} . (Ⅰ)求 A ? B , (? R A) ? B ; (Ⅱ)若 B ? C ? C ,求实数 m 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分) 某同学用“五点法”画函数 f ( x ) ? A sin(? x ? ? )(? ? 0,| ? |? 象时,列表并填入了部分数据,如下表:

?
2

) 在某 一个周期内的图

?x ? ?

0

? 2 ? 3

?

3? 2 5? 6
-5

2?

x
Asin(? x ? ? )
0

5

0

3

(Ⅰ)请将上表数据补充完整,并直接写出函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)将 y ? f ( x ) 的图象向左平移 方程 g ( x ) ? m ? 1 ? 0 在 [0,

?
2

? 个单位,得到函数 y ? g ( x ) 的图象.若关于 x 的 6

] 上有两个不同的解,求实数 m 的取值范围.

20. 已知 A(1,0), B(0,2), C(cos ?,sin ?),(0 ? ? ? ?) . (Ⅰ)若 | OA ? OC |?

??? ?

??? ?

(Ⅱ)若 AC ? BC ,求 3sin ? ? cos ? 的值.

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? 2 ? 3 ( O 为坐标原点) ,求 OB 与 OC 的夹角;

2 1. 黄 瓜从 2 月 1 日起开始上市. 通过市场调查, 得到黄瓜种植成本 Q(单位: 元/10 kg) 与上市时间 t(单位:天)的数据如下表: 时间 t 50 110 250 (1)根据上表的数据, 从下列函数中选取一个 成本 Q 150 108 150 函数描述黄瓜种植成本 Q 与时间 t 的变化关 2 t 系:Q=at+b,Q=at +bt+c,Q=a·b ,Q=a·logbt; (2)利用你选取的函数,求黄瓜种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.

2

22 . 设 f ( x) ? loga g ( x)
2

(a ? 0且a ? 1) (Ⅰ)若 f ( x ) ? log 1 (2 x ?1) ,且满足 f ( x) ? 1 ,求 x 的取值范围;
(Ⅱ)若 g ( x) ? ax 2 ? x ,是否存在 a 使得 f ( x ) 在区间[ 说明 a 可以取哪些值;如果不存在,请说明理由. (Ⅲ)定义在 ? p, q ? 上的一个函数 m( x) ,用分法 T :

1 ,3]上是增函数?如果存在, 2

成立,则称函数 m( x) 为在 ? p, q ? 上的有界变差函数.试判断函数 f ( x) = log 是否为在[

p ? x0 ? x1 ? ? ? xi ?1 ? xi ? ? ? xn ? q 将区间 ? p, q ? 任意划分成 n 个小区间,如果存在一个常数 M ? 0 ,使得不等式 | m( x1 ) ? m( x0 ) | ? | m( x2 ) ? m( x1 ) | ??? | m( xi ) ? m( xi ?1 ) | ??? | m( xn ) ? m( xn ?1 ) |≤ M 恒
66

(4 x 2 ? x)

1 ,3]上的有界变差函数?若是,求 M 的最小值;若不是,请说明理由. 2

4

高一数学参考答案 题号 1 2 答案 D C 13. 1 ? 3

3 B 14. ?

4 D

5 A

6 A

7 C

8 B 16.4

9 C

10 A

11 B

12 D

12 13

15. (1, ??)

7.C

正弦函数的周期公式 T=

2? 2? ,∴y=sinax 的最小正周期 T= ; a |? |
x

对于 A:T>2π ,故 a<1,因为 y=a 的图象是减函数,故错; x 对于 B:T<2π ,故 a>1,而函数 y=a 是增函数,故错; x 对于 C:T>2π ,故 a<1,∴y=a 是减函数,故对; x 对于 D:T=2π ,故 a=1,∴y=a =1,故错.

9.C

1 1 1 1 ??? ? ? ??? ? OB ( e1 ? e2 ) ? (e1 ? e2 ) 3 5 2 ? ? 4 投影为 OA ? ??? . ? 4 2 ? 10 | OB | 1 2 1 (e1 ? e2 ) 1? 2 4
f (1) ? f ( ?1) ? 2c 一定是偶数.
??? ? 1 1 ??? ? 1 ??? ? ??? ? 1 ???? ??? ? 1 ???? ???? ???? OP ? ( OA ? OB ? 2OC ) ? (OD ? 2OC ) ? (OD ? 4OD ) ? ?OD . 3 2 2 3 3
【解析】如图所示,过点 C 作 CE // OB 交 OA 的延长线于点 E ,过点 C 作

11.B

12.D

16.2

??? ? ??? ? CF // OA 交 OB 的延长线于点 F , 因为向量 OA 与 OC ??? ? ??? ? 的夹角为 30 ? ,因为向量 OA 与 OB 的夹角为 120? ,所 ??? ? ??? ? 以因为向量 OB 与 OC 的夹角为 90 ? ,在 Rt ?OCF 中, ??? ? ??? ? ??? ? | OA |? 2,| OC |? 4 3 , ?COE ? 30? .所以 | OE |? 8 , ??? ? | OE | ? ? 4. 所以 ? ? ??? | OA |
17.解: (Ⅰ)原式= 2 ? ( ?2) ? (Ⅱ)原式=

O

1 7 ? 3 ? ?????????????????5 分 2 2

3 1 9 21 ? ? ? ?????????????????????10 分 2 3 16 16

5

18.解: (Ⅰ) A ? B ? {x | 2 ≤ x ? 5} ??????????????????3 分

??R A ? {x | ?2 ? x ? 2} ,∴ (?R A) ? B ? {x | ?2 ? x ? 5}.?????????6 分 (Ⅱ)∵ B ? C ? C ,∴ C ? B ,???????????????????7 分 1 ①当 C ? ? 时, m ? 1 ? 3m , m ? ? .此时 C ? B .???????????9 分 2 ?m ? 1 ≤ 3m ? 当 C ? ? 时, ? m ? 1 ? 1 ,解得 m ?? ,???????????????11 分 ?3m ? 5 ?
综上 m 的取值范围是 ( ??, ? ) .???????????????????12 分

1 2

19.解: (Ⅰ)根据表中已知数据,解得 A ? 5 , ? ? 2 , ? ? ? 函数表达式为 f ( x ) ? 5sin(2 x ? 数据补全如下表:

?
6

.

?
6

) .??????????????????3 分

?x ? ?

0

x
Asin(? x ? ? )

? 12
0

? 2 ?
3
5

?
7? 12
0

3? 2 5? 6
-5

2?

13? 12
0

??????????????????????????????????6 分 (Ⅱ)通过平移, g ( x ) ? 5sin(2 x ?

?
6

) .?????????????????8 分

方程 g ( x ) ? (m ? 1) ? 0可看成函数 y ? g ( x ) , x ? [0,

?
2

] 和函数 y ? m ? 1 的图像有两

个交点. ?????????????????????????????9 分

? 7? ? [ , ] ,为使横线 y ? m ? 1 与函数 y ? g ( x ) 有两个交点, 2 6 6 6 5 3 只需 ≤ m ? 1 ? 5 ,解得 m ? [ ,4] .?????????????????12 分 2 2
当 x ? [0,

?

] 时, 2 x ?

?

6

2 2 20.解: (Ⅰ) | OA ? OC |?| (1 ? cos ? ,sin ? ) |? (1 ? cos ? ) ? sin ? ? 2 ? 2cos ? ? 2 ? 3 ,

??? ? ????

3 .??????????????????????????3 分 2 ? 1 又∵ 0 ? ? ? ? ,∴ ? ? , sin ? ? . 6 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 3 1 ∴ OC ? ( , ) ,又 OB ? (0,2) ,设 OB 与 OC 的夹角为 ? ,则 0 ≤ ? ≤ ? ; 2 2 ??? ? ??? ? ? OB ? OC 1 ? ??? ? ? ,∴ ? ? .?????????????????6 分 ∴ cos? ? ??? 3 | OB | ? | OC | 2 ??? ? ??? ? (Ⅱ)∵ AC ? (cos? ? 1,sin ? ) , BC ? (cos? ,sin ? ? 2) , ??? ? ??? ? 且 AC ? BC ? (cos? ? 1)cos? ? sin ? (sin ? ? 2) ? 0 , ∴ 2sin ? ? cos ? ? 1 .?????????????????????????8 分 2 平方得 4sin ? cos? ? ?3sin ? ? 0 ,又 0 ? ? ? ? ,∴ sin ? ? 0,cos ? ? 0 ???9 分 4 3 2 2 又 sin ? ? cos ? ? 1 .∴ sin ? ? ,cos ? ? ? .?????????????11 分 5 5 ∴ 3sin ? ? cos ? ? 3 .???? ????????????????????12 分
解得 cos ? ? 21.解:(1)由题目所提供的数据知道,描述黄瓜种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的 t 函数不可能是常数函数,从而用函数 Q=at+b,Q=a·b ,Q=a·logbt 中的任意一个 进行描述时都应有 a≠0,而此时上述三个函数均为单调函数,这与表格所提供的数据不 2 能吻合.所以,我们应选取二次函数 Q=at +bt+c,进行描述.????3 分 2 用表格所提供的三组数据分别代入 Q=at +bt+c, 150=2500a+50b+c, ? ? 得?108=12100a+110b+c, ? ?150=62500a+250b+c, ????6 分

1 3 425 解得 a= ,b=- ,c= . ????8 分 200 2 2 所以描述黄瓜种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系的函数为: 1 2 3 425 Q= t - t+ . ????10 分 200 2 2 3 - 2 (2)当 t=- =150 天时,黄瓜的最低种植成本为: 1 2× 200 1 3 425 2 2 Q= ×150 - ×150+ =100(元/10 kg).??????12 分 200 2 2

1 ? 1 ?2 x ? 1 ? 22.解: (Ⅰ) f ( x ) ? log 1 (2 x ? 1) ? 1 ? log 1 (2 x ? 1) ? log 1 ? ? 2 ??3 2 2 2 2 ? ?2 x ? 1 ? 0
7



1 3 ? x ? ??????????????????????????4 分 2 4 1 ?1 ≤ ? ? 2a 2 ? a ? 2 ??????????????6 分 (Ⅱ)当 a ? 1 时, ? ?g( 1 ) ? 1 a ? 1 ? 0 ? ? 2 4 2 1 ? a ≤ ?1 ? ? ≥3 ? 6 ?? 当 0 ? a ? 1 时, ? 2a ,无解???????????7 分 1 ? a? ? g (3) ? 9a ? 3 ? 0 ? ? 3 ? 综上所述 a ? 2 ??????????????????????????????8 分 1 (Ⅲ)函数 f ( x) = log 66 (4 x 2 ? x ) 为[ ,3]上的有界变差函数.???????9 分 2 1 由(2)知当 a ? 66 时函数 f ( x) 为[ ,3]上的单调递增函数, 2 1 且对任意划分 T : ? x 0 ? x1 ? ? ? xi ?1 ? xi ? ? ? x n ? 3 , 2 1 有 f ( ) ? f ( x0 ) ? f ( x1 ) ? ? ? f ( x n ?1 ) ? f ( x n ) ? f (3) , 2 所 以 f ( x1 ) ? f ( x0 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? ? f ( xn ) ? f ( xn?1 ) 1 1 ? f ( xn ) ? f ( x0 ) ? f (3) ? f ( ) ? log 66 33 ? log 66 ? 2 ,???????11 分 2 2
解得 所以存在常数 M ≥ 2 ,使得

? f (x ) ? f (x
i ?1 i

n

i ?1

) ≤ M 恒成立,

所以 M 的最小值为 2.?????????????????????????12 分

8


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