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(精校版)2016年浙江文数高考试题文档版(word含答案)


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)

数学(文科)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. )
1.已知全集 U={1,2,3,4,5,6},集合 P={1,3,5},Q={1,2,4},则 (? ) ?Q = UP A.{1} B.{3,5} C

.{1,2,4,6} D.{1,2,3,4,5} 2.已知互相垂直的平面 ?,? 交于直线 l.若直线 m,n 满足 m∥α,n⊥β,则 A.m∥l B.m∥n 2 3.函数 y=sinx 的图象是 C.n⊥l D.m⊥n

? x ? y ? 3 ? 0, ? 4.若平面区域 ?2 x ? y ? 3 ? 0, 夹在两条斜率为 1 的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是 ?x ? 2 y ? 3 ? 0 ?

A.

3 5 5

B. 2

C.

3 2 2

D. 5

5.已知 a,b>0,且 a≠1,b≠1,若 log4 b>1 ,则 A. (a ? 1)(b ? 1) ? 0 C. (b ? 1)(b ? a) ? 0 B. (a ? 1)(a ? b) ? 0 D. (b ? 1)(b ? a) ? 0

6.已知函数 f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x) )的最小值与 f(x)的最小值相等”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 7.已知函数 f ( x ) 满足: f ( x) ? x 且 f ( x) ? 2 , x ? R .
x

A.若 f (a) ? b ,则 a ? b C.若 f (a) ? b ,则 a ? b

B.若 f (a) ? 2 ,则 a ? b
b

D.若 f (a) ? 2 ,则 a ? b
b

8.如图,点列 ? An ? , ?Bn ? 分别在某锐角的两边上,且

An An?1 ? An?1 An?2 , An ? An?2 , n ? N* , Bn Bn?1 ? Bn?1Bn?2 , Bn ? Bn?2 , n ? N* .
(P≠Q 表示点 P 与 Q 不重合)
第 1 页 共 1 页

若 dn ? An Bn , Sn 为 △An Bn Bn?1 的面积,则 A. ?Sn ? 是等差数列
2 B. S n 是等差数列

? ?

2 C. ?dn ? 是等差数列 D. d n 是等差数列

? ?

二、填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. )
9.某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的表面积是______cm2,体积是______cm3.

10.已知 a ? R ,方程 a x ? (a ? 2) y ? 4x ? 8 y ? 5a ? 0 表示圆,则圆心坐标是_____,半径是______.
2 2 2

11. 某几何体的三视图如图所示(单位:cm) ,则该几何体的表面积是 cm2,体积是 cm3.

12.设函数 f(x)=x3+3x2+1.已知 a≠0,且 f(x)–f(a)=(x–b)(x–a)2,x∈R,则实数 a=_____,b=______. 13.设双曲线 x2–

y2 =1 的左、右焦点分别为 F1,F2.若点 P 在双曲线上,且△F1PF2 为锐角三角形,则 3

|PF1|+|PF2|的取值范围是_______. 14.如图,已知平面四边形 ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD= 5 ,∠ADC=90°.沿直线 AC 将△ACD 翻折
第 2 页 共 2 页

成△ACD',直线 AC 与 BD'所成角的余弦的最大值是______.

15.已知平面向量 a,b,|a|=1,|b|=2,a·b=1.若 e 为平面单位向量,则|a·e|+|b·e|的最大值是______.

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )
16. (本题满分 14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 b+c=2acos B. (Ⅰ)证明:A=2B; (Ⅱ)若 cosB=

2 ,求 cosC 的值. 3

17.(本题满分 15 分)设数列{ an }的前 n 项和为 Sn .已知 S2 =4, an ?1 =2 Sn +1, n ? N* . (I)求通项公式 an ; (II)求数列{ an ? n ? 2 }的前 n 项和.

18. (本题满分 15 分) 如图, 在三棱台 ABC-DEF 中, 平面 BCFE⊥平面 ABC, ∠ACB=90°, BE=EF=FC=1, BC=2,AC=3. (I)求证:BF⊥平面 ACFD; (II)求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值.

第 3 页 共 3 页

19. (本题满分 15 分) 如图, 设抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F, 抛物线上的点 A 到 y 轴的距离等于|AF|-1.
2

(I)求 p 的值; (II)若直线 AF 交抛物线于另一点 B,过 B 与 x 轴平行的直线和过 F 与 AB 垂直的直线交于点 N,AN 与 x 轴交于点 M.求 M 的横坐标的取值范围.

3 20.(本题满分 15 分)设函数 f ( x ) = x ?

1 , x ? [0,1] .证明: 1? x

2 (I) f ( x ) ? 1 ? x ? x ;

(II)

3 3 ? f ( x) ? . 4 2

第 4 页 共 4 页

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)

数学(文科)
一、选择题
1.【答案】C 2. 【答案】C 3. 【答案】D 4.【答案】B 5. 【答案】D 6. 【答案】A 7. 【答案】B 8. 【答案】A

二、填空题
9. 【答案】80 ;40. 10.【答案】 (?2, ?4) ;5. 11. 【答案】 2 ;1. 12. 【答案】-2;1. 13. 【答案】 14. 【答案】

(2 7,8) .
6 9
7

15. 【答案】

三、解答题
16. 【答案】 (1)证明详见解析; (2) cos C ? 【解析】 试题分析:本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力. 试题解析: (1)由正弦定理得 sin B ? sin C ? 2sin A cos B , 故 2sin A cos B ? sin B ? sin( A ? B) ? sin B ? sin A cos B ? cos A sin B , 于是, sin B ? sin( A ? B) , 又 A, B ? (0, ? ) ,故 0 ? A ? B ? ? ,所以 B ? ? ? ( A ? B) 或 B ? A ? B , 因此, A ? ? (舍去)或 A ? 2 B ,
第 5 页 共 5 页

22 . 27

所以, A ? 2 B . (2)由 cos B ?

2 1 5 2 ,得 sin B ? , cos 2 B ? 2 cos B ? 1 ? ? , 3 9 3

故 cos A ? ?

1 4 5 , sin A ? , 9 9

cos C ? ? cos( A ? B) ? ? cos A cos B ? sin A sin B ?
考点:三角函数及其变换、正弦和余弦定理. 【结束】 17.

22 . 27

2, n ? 1 ? ? n 【答案】 (1) an ? 3 , n ? N ; (2) Tn ? ? 3 ? n2 ? 5n ? 11 . * , n ? 2, n ? N ? ? 2
n ?1 *

【解析】 试题分析:本题主要考查等差、等比数列的基础知识,同时考查数列基本思想方法,以及推理论证能力. 试题解析: (1)由题意得: ?

? a1 ? a2 ? 4 ? a1 ? 1 ,则 ? , ?a2 ? 2a1 ? 1 ?a2 ? 3

又当 n ? 2 时,由 an?1 ? an ? (2Sn ? 1) ? (2Sn?1 ? 1) ? 2an , 得 an?1 ? 3an , 所以,数列 {an } 的通项公式为 an ? 3n?1 , n ? N * . (2)设 bn ?| 3n?1 ? n ? 2 | , n ? N , b1 ? 2, b2 ? 1 .
*

当 n ? 3 时,由于 3

n ?1

? n ? 2 ,故 bn ? 3n?1 ? n ? 2, n ? 3 .

设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,则 T1 ? 2, T2 ? 3 .

9(1 ? 3n?2 ) (n ? 7)(n ? 2) 3n ? n 2 ? 5n ? 11 ? ? 当 n ? 3 时, Tn ? 3 ? , 1? 3 2 2

2, n ? 1 ? ? n 2 所以, Tn ? ? 3 ? n ? 5n ? 11 . , n ? 2, n ? N * ? ? 2
考点:等差、等比数列的基础知识.
第 6 页 共 6 页

【结束】 18. 【答案】 (1)证明详见解析; (2) 【解析】 试题分析:本题主要考查空间点、线、面位置关系、线面角等基础知识,同时考查空间想象能力和运算求 解能力. 试题解析: (1)延长 AD, BE , CF 相交于一点 K ,如图所示, 因为平面 BCFE ? 平面 ABC ,且 AC ? BC ,所以 AC ? 平面 BCK ,因此 BF ? AC , 又因为 EF / / BC , BE ? EF ? FC ? 1 , BC ? 2 ,所以 ?BCK 为等边三角形,且 F 为 CK 的中点,则 BF ? CK , 所以 BF ? 平面 ACFD . (2)因为 BF ? 平面 ACK ,所以 ? BDF 是直线 BD 与平面 ACFD 所成的角, 在 Rt ?BFD 中, BF ? 3, DF ?

21 . 7

3 21 ,得 cos ?BDF ? , 2 7

所以直线 BD 与平面 ACFD 所成的角的余弦值为

21 . 7

考点:空间点、线、面位置关系、线面角. 【结束】 19. 【答案】 (1)p=2; (2) ? ??,0? ? ? 2, ??? . 【解析】 试题分析:本题主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的 第 7 页 共 7 页

基本思想方法和综合解题方法. 试题解析:(Ⅰ)由题意可得抛物线上点 A 到焦点 F 的距离等于点 A 到直线 x=-1 的距离. 由抛物线的第一得

p ? 1 ,即 p=2. 2

2 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)得抛物线的方程为 y ? 4x,F ?1,0? ,可设 A t , 2t , t ? 0, t ? ?1 .

?

?

因为 AF 不垂直于 y 轴,可设直线 AF:x=sy+1, ? s ? 0 ? ,由 ?

? y2 ? 4x 消去 x 得 x ? sy ? 1 ?

? 1 2? y 2 ? 4sy ? 4 ? 0 ,故 y1 y2 ? ?4 ,所以 B ? 2 , ? ? . t? ?t
又直线 AB 的斜率为

2t t 2 ?1

,故直线 FN 的斜率为 ?

t 2 ?1 , 2t

t 2 ?1 2 从而的直线 FN: y ? ? ? x ? 1? ,直线 BN: y ? ? , t 2t
所以 N ?

? t2 ? 3 2 ? ,? ?, 2 ? t ?1 t ?
2t ?

2 2t t , 设 M(m,0),由 A,M,N 三点共线得: 2 ? 2 t ?m 2 t ?3 t ? 2 t ?1

2t 2 于是 m ? 2 ,经检验,m<0 或 m>2 满足题意. t ?1
综上,点 M 的横坐标的取值范围是 ? ??,0? ? ? 2, ??? . 考点:抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系. 【结束】 20. 【答案】 (Ⅰ)证明详见解析; (Ⅱ)证明详见解析. 【解析】 试题分析:本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数等基础知识,同时考查推理论证能力、分析问题 和解决问题的能力.第一问, 利用放缩法, 得到 进行放缩,得到 f ? x ? ?

1 ? x4 1 3 ? , 从而得到结论; 第二问, 由 0 ? x ? 1得 x ? x , 1? x 1? x

3 3 ,再结合第一问的结论,得到 f ? x ? ? ,从而得到结论. 2 4
第 8 页 共 8 页

1 ? ? ? x ? 1 ? x4 ? , 试题解析:(Ⅰ)因为 1 ? x ? x ? x ? 1? ??x? 1? x
4 2 3

由于 x ??0,1? ,有

1 ? x4 1 1 ? , 即 1 ? x ? x 2 ? x3 ? , 1? x 1? x 1? x
2

所以 f ? x ? ? 1 ? x ? x . (Ⅱ)由 0 ? x ? 1 得 x3 ? x , 故 f ? x ? ? x3 ? 所以 f ? x ? ?

1 1 3 3 ? x ? 1?? 2 x ? 1? 3 3 ? x? ? ? ? ? ? , 1? x 1? x 2 2 2 ? x ? 1? 2 2

3 . 2
2 2

1? 3 3 ? 由(Ⅰ)得 f ? x ? ? 1 ? x ? x ? ? x ? ? ? ? , 2? 4 4 ?
又因为 f ? ? ? 综上,

?1? ?2?

3 19 3 ? ,所以 f ? x ? ? , 4 24 4

3 3 ? f ? x? ? . 4 2

考点:函数的单调性与最值、分段函数. 【结束】

第 9 页 共 9 页


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