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高考数学专题复习立体几何(理科)练习题


《立体几何》专题

练习题

1.如图正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,E、F 分别为 D1C1 和 B1C1 的中点, P、Q 分别为 A1C1 与 EF、AC 与 BD 的交点, (1)求证:D、B、F、E 四点共面; (2)若 A1C 与面 DBFE 交于点 R,求证:P、Q、R 三点共线
王新敞
奎屯 新疆

D1 A1 D A P

E Q B1 F

C1

C B

2.已知直线 a 、 b 异面,平面 ? 过 a 且平行于 b ,平面 ? 过 b 且平行于 a ,求证: ? ∥ ? .

3. 如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEFG 所截而得,其中 AB ? 4 , BC ? 1 BE ? 3 , CF ? 4 ,若如图所示建立空间直角坐标系. Z ①求 EF 和点 G 的坐标; ②求异面直线 EF 与 AD 所成的角; F ③求点 C 到截面 AEFG 的距离. G D A x 4. 如图,三棱锥 P—ABC 中, PC ? 平面 ABC,PC=AC=2,AB=BC,D 是 PB 上一点,且 CD ? 平面 PAB. (I) 求证:AB ? 平面 PCB; P (II) 求异面直线 AP 与 BC 所成角的大小; (III)求二面角 C-PA-B 的余弦值.
D

E B

C

y

B

C

A

5. 如图,直二面角 D—AB—E 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,AE=EB,F 为 CE 上的点,且 BF ⊥平面 ACE. (1)求证 AE⊥平面 BCE; (2)求二面角 B—AC—E 的余弦值.

6. 已知正三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的底面边长为 2,点 M 在侧棱 BB1 上.
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(Ⅰ)若 P 为 AC 的中点,M 为 BB1 的中点,求证 BP//平面 AMC1; (Ⅱ)若 AM 与平面 AA1CC1 所成角为 30? ,试求 BM 的长.

7. 如图,在底面是矩形的四棱锥 P—ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,PA=AB=1,BC=2. (1)求证:平面 PDC⊥平面 PAD; (2)若 E 是 PD 的中点,求异面直线 AE 与 PC 所成角的余弦值; A B C P E D

8. 已知:在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB = a,AA1 = 2a . D 是侧棱 BB1 的中点.求证: (Ⅰ)求证:平面 ADC1⊥平面 ACC1A1; (Ⅱ)求平面 ADC1 与平面 ABC 所成二面角的余弦值.

? F为 9. 已知直四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的底面是菱形,且 ?DAB ? 60 , AD ? AA 1

棱 BB1 的中点, M 为线段 AC1 的中点. (Ⅰ)求证:直线 MF // 平面 ABCD ; (Ⅱ)求证:直线 MF ? 平面 ACC1 A 1; (Ⅲ)求平面 AFC1 与平面 ABCD 所成二面角的大小

10. 棱长是 1 的正方体,P、Q 分别是棱 AB、CC1 上的内分点,满足
第 2 页 共 3 页

AP CQ ? ? 2. PB QC1

(1)求证:A1P⊥平面 AQD; (2)求直线 PQ 与平面 AQD 所成角的正弦值. D1 A1 D A P B B1 C C1 Q

11. 如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E、F 分别是线段 B1D1、A1B 上的点,且 D1E=2EB1,BF=2FA1. (1)求证:EF∥AC1; (2)若 EF 是两异面直线 B1D1、A1B 的公垂线段,求证该长方体为正方体. D1 A1 F D A B E B1 C C1

12. 如图,在正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1= B,M 三点的平面 A1BMN 交 C1D1 于点 N. (Ⅰ)求证:EM∥平面 A1B1C1D1; (Ⅱ)求二面角 B—A1N—B1 的正切值.

1 AB,点 E、M 分别为 A1B、C1C 的中点,过点 A1, 2

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