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【解析版】浙江省绍兴市2012-2013学年高一(下)期末数学模拟试卷


2012-2013 学年浙江省绍兴市高一(下)期末 数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(每题 3 分,满分 30 分) 1. (3 分)△ ABC 中,a=1,b= ,A=30°,则 B 等于( ) A.60° B.60°或 120° C.30°或 150° 考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 由正弦定理可得 解答: 解:由正弦定理可得

r />
D.120°

,求出 sinB 的值,根据 B 的范围求得 B 的大小. ,∴ ,∴ sinB= .

又 0<B<π,∴ B=





故选 B. 点评: 本题考查正弦定理的应用,根据三角函数的值求角的大小,由 sinB 的值求出 B 的大小是解题的易错 点. 2. (3 分)数列{an}中,a1=1,对于所有的 n≥2,n∈N 都有 a1?a2?a3?…?an=n ,则 a3+a5 等于( A. B. C. D.
2



考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 计算题. 2 2 分析: 由 n≥2, n∈N 时 a1?a2?a3?…?an=n 得当 n≥3 时, a1?a2?a3??an﹣1= (n﹣1) . 然后两式相除 an= (
2



,即可得 a3= ,a5=

从而求得 a3+a5=
2



解答: 解:当 n≥2 时,a1?a2?a3??an=n2. 两式相除 an=( ∴ a3= ,a5= ), .
2

当 n≥3 时,a1?a2?a3??an﹣1=(n﹣1) .

.∴ a3+a5=

故选 A 点评: 本题考查了数列的概念及简单表示法,培养学生观察、分析、归纳、推理的能力,提高学生分析问 题和解决问题的能力.是基础题. 3. (3 分)已知等比数列{an}的公比为 q(q 为实数) ,前 n 项和为 Sn,且 S3、S9、S6 成等差数列,则 q 等于( )
3

A.1

B.



C. ﹣1 或

D.

1 或﹣

考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据等比数列的求和分别表示出 S3、S9、S6 代入 2S9=S6+S3,即可得到答案. 解答: 解:依题意可知 2S9=S6+S3, 即2
6 3

=

+

整理得 2q ﹣q ﹣1=0,解 q3=1 或﹣ , 当 q=1 时,2S9=S6+S3,不成立故排除. 故选 B 点评: 本题主要考查了等比数列的性质.属基础题. 4. (3 分) (2008?湖北模拟)设等差数列{an}的公差为 2,前 n 项和为 Sn,则下列结论中正确的是( A.Sn=nan﹣3n(n﹣1) B.Sn=nan+3n(n﹣1) C.Sn=nan﹣n(n﹣1) D.Sn=nan+n(n﹣1) 考点: 等差数列的前 n 项和. 分析: 根据选择项知:将 an 当作已知项,所以将数列倒过来解得. 解答: 解:可理解为首项是 an,公差为﹣2 的等差数{an}, 故选 C 点评: 做选择题时,不要忽视选择支,是解题的重要信息之一,同时,有些简便方法也由此产生. )

5. (3 分) (2009?山东)设 x,y 满足约束条件

,若目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)的值

是最大值为 12,则 A.

的最小值为( B.

) C. D.4

考点: 基本不等式;二元一次不等式(组)与平面区域. 专题: 压轴题. 分析: 已知 2a+3b=6,求 的最小值,可以作出不等式的平面区域,先用乘积进而用基本不等式解答. 解答: 解:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分, 当直线 ax+by=z(a>0,b>0) 过直线 x﹣y+2=0 与直线 3x﹣y﹣6=0 的交点(4,6)时, 目标函数 z=ax+by(a>0,b>0)取得最大 12, 即 4a+6b=12,即 2a+3b=6,而 故选 A. = ,

点评: 本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题.要求能准确地画出不等式表示 的平面区域,并且能够求得目标函数的最值.

6. (3 分) (2012?张掖模拟)设实数 x,y 满足

,则

的取值范围是(



A.

B.

C.

D.

考点: 简单线性规划. 专题: 数形结合. 分析: 先根据约束条件画出可行域,设 ,再利用 z 的几何意义求最值, 表示的是区

域内的点与点 O 连线的斜率.故 z 的最值问题即为直线的斜率的最值问题.只需求出直线 OQ 过可 行域内的点 A 时,从而得到 z 的最大值即可. 解答: 解:作出可行域如图阴影部分所示: 目标函数 ═ ≥2

当且仅当 又其中

=1 时,z 最小,最小值为:2. 可以认为是原点(0,0)与可行域内一点(x,y)连线 OQ 的斜率.

其最大值为:2,最小值为: ,

因此

的最大值为



则目标函数 则 故选 C.

的取值范围是

点评: 巧妙识别目标函数的几何意义是我们研究规划问题的基础,纵观目标函数包括线性的与非线性,非 线性问题的介入是线性规划问题的拓展与延伸,使得规划问题得以深化.本题主要考查了简单的线 性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题.

7. (3 分) (2011?上饶模拟)已知数列: 项的规律,这个数列的第 2010 项 a2010 满足( A. B. ) C.1≤a2010≤10

,依它的前 10

D.a2010>10

考点: 数列递推式. 专题: 规律型. 分析: 把数列看成 , , , 以此类推,第 N 大项为 … 由此能够找到这个数列的第 2010 项 a2010 满足的条件. 解答: 解:数列可看成 , , , 以此类推,第 N 大项为 等 此时有 1+2+3+4+…+N= 当 N=62 时,共有 1953 项 ,

当 N=63 时,共有 2016 项 故 a2010= ,

故选 B. 点评: 本题考查数列的递推式,解题时要善于合理地分组,注意总结规律,培养观察总结能力. 8. (3 分)设[x]表示不超过 x 的最大整数,则关于 x 的不等式[x] ﹣3[x]﹣10≤0 的解集是( ) A.[﹣2,5] B.[﹣2,6) C.(﹣3,6) D.[﹣1,6) 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 计算题;新定义. 分析: 先求出关于 x 的不等式 x2﹣3x﹣10≤0 的解集是{x|﹣2≤x≤5},再根据题意[x]表示不超过 x 的最大整 数,可得答案. 2 解答: 解:由题意可得:关于 x 的不等式 x ﹣3x﹣10≤0 的解集是{x|﹣2≤x≤5}, 又因为[x]表示不超过 x 的最大整数, 所以关于 x 的不等式[x] ﹣3[x]﹣10≤0 的解集是{x|﹣2≤x<6}. 故选 B. 点评: 解决此类问题的关键是读懂新定义并且正确解出一元二次函数不等式的解集. 9. (3 分)在数列{an}中,若 an ﹣an﹣1 =p(n≥2,n∈N ,p 为常数) ,则称{an}为“等方差数列”,下列是对“等 方差数列”的判断; 2 ① 若{an}是等方差数列,则{an }是等差数列; n ② {(﹣1) }是等方差数列; * ③ 若{an}是等方差数列,则{akn}(k∈N ,k 为常数)也是等方差数列; ④ 若{an}既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列. 其中正确命题序号为( ) ② ③ ② ④ ② ③ ④ ③ ④ A.① B .① C.① D.② 考点: 数列的应用. 专题: 新定义. 2 2 分析: 根据等方差数列的定义① {an}是等方差数列,则 an ﹣an﹣1 =p(p 为常数) ,根据等差数列的定义,可 证;② 验证[(﹣1) ] ﹣[(﹣1) ] 是一个常数;③ 验证 akn+1 ﹣akn 是一个常数;④ 根据等方差数 列和等差数列的定义,证明公差是零即可.
2 2 2 2 解答: 解:① ∵ {an}是等方差数列,∴ an ﹣an﹣1 =p(p 为常数)得到{an }为首项是 a1 ,公差为 p 的等差数列; 2 ∴ {an }是等差数列; n 2 2 n 2 n﹣1 2 ② 数列{(﹣1) }中,an ﹣an﹣1 =[(﹣1) ] ﹣[(﹣1) ] =0, n ∴ {(﹣1) }是等方差数列;故② 正确; ③ 数列{an}中的项列举出来是,a1,a2,…,ak,…,a2k,… 数列{akn}中的项列举出来是,ak,a2k,…,a3k,…, 2 2 2 2 2 2 2 2 ∵ (ak+1 ﹣ak )=(ak+2 ﹣ak+1 )=(ak+3 ﹣ak+2 )=…=(a2k ﹣a2k﹣1 )=p 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴ (ak+1 ﹣ak )+(ak+2 ﹣ak+1 )+(ak+3 ﹣ak+2 )+…+(a2k ﹣a2k﹣1 )=kp 2 2 ∴ (akn+1 ﹣akn )=kp * ∴ {akn}(k∈N ,k 为常数)是等方差数列;故③ 正确; ④ ∵ {an}既是等差数列,∴ an﹣an﹣1=d, 2 2 ∵ {an}既是等方差数列, ,∴ an ﹣an﹣1 =p ∴ (an+an﹣1)d=p, n 2 n﹣1 2 2 2 2 2 * 2 2

1°当 d=0 时,数列{an}是常数列, 2°当 d≠0 时,an= ,数列{an}是常数列,

综上数列{an}是常数列,故④ 正确, 故选 C. 点评: 本题考查等差数列的定义及其应用,解题时要注意掌握数列的概念,属基础题.

10. (3 分)数列{an}满足 a1=1, 立,则正整数 t 的最小值为( ) A.10 B .9

=

,记 Sn=

,若 S2n+1﹣Sn≤

对任意的 n(n∈N )恒成

*

C.8

D.7

考点: 数列与不等式的综合. 专题: 综合题;压轴题. 分析: 先求出 数列{an2}的通项公式,令 g(n)=S2n+1﹣Sn,化简 g(n)﹣g(n+1)的解析式,判断符号, 得出 g(n)为减数列的结论,从而得到 解答: 解:∵ = , ,可求正整数 t 的最小值.





∴ ∵ a1=1, ∴



是首项为 1,公差为 4 的等差数列,



=4n﹣3,





∴ Sn=

=

+

+

+…+

令 g(n)=S2n+1﹣Sn, 而 g(n)﹣g(n+1) = 为减数列, 所以: 而 t 为正整数,所以,tmin=10. , ,

故选 A. 点评: 本题考查利用数列的递推式求通项公式及函数的恒成立问题,学会用不等式处理问题.本题对数学 思维的要求比较高,要求学生理解“存在”、“恒成立”,以及运用一般与特殊的关系进行否定,本题有 一定的探索性.综合性强,难度大,易出错. 二、填空题(每题 4 分,满分 20 分) 11. (4 分)在△ ABC 中,若 ,则 A= .

考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用了余弦定理表示出 cosA,将已知等式代入求出 cosA 的值,由 A 为三角形的内角,利用特殊角 的三角函数值即可求出 A 的度数. 2 2 2 解答: 解:∵ b +c ﹣a =﹣ bc, ∴ cosA= = =﹣ ,

∵ A 为三角形的内角, ∴ A= .

故答案为: 点评: 此题考查了余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.

12. (4 分)不等式

的解集是



考点: 其他不等式的解法. 专题: 转化思想;不等式的解法及应用. 分析: 先将分式不等式转化成一元二次不等式进行求解,注意分母不 0. 解答: 解:∵ ∴ 解得∴ <x≤ , . . ,

所以不等式的解集为: 故答案为:

点评: 本题主要考查了分式不等式的解法,同时考查了等价转化的数学思想,属于基础题. 13. (4 分)在等比数列{an}中,若 a1,a10 是方程 3x ﹣2x﹣6=0 的两根,则 a4a7= ﹣2 . 考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题.
2

分析: 根据韦达定理可求得 a1a10 的值,进而根据等比中项的性质可知 a4a7=a1a10 求得答案. 2 解答: 解:∵ a1,a10 是方程 3x ﹣2x﹣6=0 的两根, ∴ a1a10=﹣2 ∵ 数列{an}为等比数列 ∴ a4a7=a1a10=﹣2 故答案为:﹣2 点评: 本题主要考查了等比数列的性质.考查了学生对等比中项性质的灵活运用. 14. (4 分) (2010?济南二模)等比数列{an}的公比为 q,前 n 项的积为 Tn,并且满足 a1>1,a2009?a2010﹣ 1>0, (a2009﹣1) (a2010﹣1)<0,给出下列结论① 0<q<1;② a2009?a2011<1;③ T2010 是 Tn 中最大的;④ 使 得 Tn>1 成立的最大的自然数是 4018.其中正确结论的序号为 ① ② ④ . (将你认为正确的全部填上) 考点: 等比数列的性质. 专题: 综合题. 分析: 根据(a2009﹣1) (a2010﹣1)<0 判断出 a2009<1 或 a2010<1,先看 a2009<1,则可知 a2010>1 假设 a2009<0,那么 q<0,则可知 a2010 应与 a1 异号,推断出 a2010<0 与 a2010>1 矛盾,假设不成立,推 2008 2008 断出 q>0,根据 a2009=a1q 应推断出 a2009=a1q 应该大于 1 假设不成立,进而综合可推断 0<q <1 判断出① 正确.由结论(1)可知数列从 2010 项开始小于 1,进而可推断出 T2009 是 Tn 中最大的③ 2 不正确,根据等比中项的性质可知 a2009?a2011=a 2010<1 推断出② 正确.根据等比中项的性质可知当 2009 2 Tn=(a ) 时,Tn>1 成立的最大的自然数,求的 n 推断出④ 正确. 解答: 解:∵ (a2009﹣1) (a2010﹣1)<0 ∴ a2009<1 或 a2010<1 如果 a2009<1,那么 a2010>1 如果 a2009<0,那么 q<0 2009 又 a2010=a1q ,所以 a2010 应与 a1 异号,即 a2010<0 和前面 a2010>1 的假设矛盾了 ∴ q>0 又或者 a2009<1,a2010>1, 2008 那么 a2009=a1q 应该大于 1 又矛盾了.因此 q<1 综上所述 0<q<1,故① 正确 2 a2009?a2011=a 2010<1 故② 正确. , 由结论(1)可知数列从 2010 项开始小于 1 ∴ T2009 为最大项③ 不正确. 由结论 1 可知数列由 2010 项开始小于 1, Tn=a1a2a3…an ∵ 数列从第 2010 项开始小于 1, 2009 2 ∴ 当 Tn=(a ) 时,Tn>1 成立的最大的自然数 求得 n=4018,故④ 正确. 故答案为:① ② ④ 点评: 本题主要考查了等比数列的性质.考查了学生分析问题和解决问题的能力.
2

15. (4 分)设 a 是整数,0≤b≤1,若 a =2b(a+b) ,则 b 值为 0,





考点: 函数的值. 专题: 计算题;压轴题;分类讨论. 2 2 2 2 分析: 由已知中 a2=2b(a+b) ,易得 3a =a +4ab+4b =(a+2b) ,即± 易求出 a 的值,进而求出 b 值. 2 解答: 解:∵ a =2b(a+b) , ∴ 2a =4ab+4b , 2 2 2 2 ∴ 3a =a +4ab+4b =(a+2b) , ∴ ± a=a+2b 即 b= 或 b=
2 2

a=a+2b,结合 a 是整数,0≤b≤1,

又∵ 0≤b≤1,a 是整数, 当 0≤ ≤1 时,0≤a≤

∴ a=0,此时 b=0,满足条件; a=1,此时 b= a=2,此时 b= 当 0≤ ,满足条件; ,满足条件; ≤1 时,1﹣ ≤a≤0

此时 a=0,此时 b=0,满足条件; 综上,满足条件的 b 值为:0, 故答案为:0,
2 2 2






2

点评: 本题考查的知识点是函数的值,实数的运算性质,分类讨论思想的应用,其中根据已知条件求出 3a =a +4ab+4b =(a+2b) ,进而得到± 三、解答题(共 5 小题,满分 50 分) 16. (10 分)已知(m +4m﹣5)x ﹣4(m﹣1)x+3>0 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的范围. 考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题. 2 2 分析: 此题要分两种情况:① 当 m +4m﹣5=0 时,解出 m 的值,进行验证;② 当 m +4m﹣5=0 时,根据二次 函数的性质,要求二次函数的开口向上,与 x 轴无交点,即△ <0,综合① ② 两种情况求出实数 m 的范 围. 2 解答: 解:① 当 m +4m﹣5=0 时,得 m=1 或 m=﹣5,∵ m=1 时,原式可化为 3>0,恒成立,符合题意 当 m=﹣5 时,原式可化为:24x+3>0,对一切实数 x 不恒成立,故舍去; ∴ m=1; 2 ② m +4m﹣5≠0 时即 m≠1,且 m≠﹣5, 2 2 ∵ (m +4m﹣5)x ﹣4(m﹣1)x+3>0 对一切实数 x 恒成立 ∴ 有 解得 1<m<19…(5 分) 综上得 1≤m<19…(2 分) 点评: 此题主要考查了二次函数的基本性质,以及分类讨论的思想,此题易错点为讨论 m2+4m﹣5 与 0 的
2 2

a=a+2b 是解答本题的关键.

关系,如果等于 0,就不是二次函数了,这一点很重要; 17. (10 分)在△ ABC 中,A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 sinA= (1)求 A+B 的值; (2)若 a﹣b= ,求 a、b、c 的值.



考点: 余弦定理;同角三角函数间的基本关系;两角和与差的余弦函数;正弦定理. 专题: 计算题;综合题. 分析: (1)△ ABC 中,A、B 为锐角,sinA= ,sinB= ,可求得 cosA,cosB,利用两角和与差的余弦 公式可求 A+B 的值; (2)由 a﹣b= ,利用正弦定理求得 a,b 的值,再由 C= ,利用余弦定理求 c 即可.

解答: 解: (1)∵ △ ABC 中,A、B 为锐角, ∴ A+B∈(0,π) , 又 sinA= ∴ cosA= ,sinB= ,cosB= , , ? ﹣ ? = ,

∴ cos(A+B)=cosAcosB﹣sinAsinB= ∴ A+B= . ,sinB= = , 得: =

(2)∵ sinA= ∴ 由正弦定理



∴ a= b,又 a﹣b= ∴ b=1,a= . 又 C=π﹣(A+B)=π﹣
2 2 2

, = , ×(﹣ )=5.

∴ c =a +b ﹣2abcosC=2+1﹣2×1×

∴ c= . 综上所述,a= ,b=1,c= . 点评: 本题考查正弦定理与余弦定理,考查同角三角函数间的基本关系与两角和的余弦公式及应用,由正 弦定理求得 a,b 的值是关键,属于中档题. 18. (10 分)为了提高产品的年产量,某企业拟在 2013 年进行技术改革,经调查测算,产品当年的产量 x 万件与投入技术改革费用 m 万元(m≥0)满足 x=3﹣ (k 为常数) .如果不搞技术改革,则该产品当年

的产量只能是 1 万件.已知 2013 年生产该产品的固定投入为 8 万元,每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元.由于市场行情较好,厂家生产均能销售出去,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的 1.5 倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)

(1)试确定 k 的值,并将 2013 年该产品的利润 y 万元表示为技术改革费用 m 万元的函数(利润=销售金 额﹣生产成本﹣技术改革费用) ; (2)该企业 2013 年的技术改革费用投入多少万元时,厂家的利润最大?并求出最大利润. 考点: 根据实际问题选择函数类型;基本不等式. 专题: 应用题. 分析: (1)首先根据题意令 m=0 代入 x=3﹣ 求出常量 k,这样就得出了 x 与 m 的关系式,然后根据 2010 年固定收入加再投入资金求出总成本为 8+16x,再除以 2010 的件数就可以得出 2010 年每件的 成本,而每件的销售价格是成本的 1.5 倍,从而得出了每件产品的销售价格,然后用每件的销售单 价×销售数量得到总销售额.最后利用利润=销售金额﹣生产成本﹣技术改革费用得出利润 y 的关系 式. (2)根据基本不等式,求出 y 的最大值时 m 的取值即可. 解答: 解: (1)由题意可知,当 m=0 时,x=1(万件)∴ 1=3﹣k,∴ k=2,∴ x=3﹣ ∴ 每件产品的销售价格为 1.5× ∴ 2010 年的利润 y=x?(1.5× (元) , )﹣(8+16x)﹣m=28﹣m﹣ =29﹣[(m+1)+ ]≤ (m≥0) ; =21

(2)∵ m≥0,∴ y=28﹣m﹣28﹣m﹣ 当且仅当 m+1=

,即 m=3 时,ymax=21.

∴ 该企业 2010 年的技术改革费用投入 3 万元时,厂家的利润最大,最大为 21 万元. 点评: 本题主要考查学生根据实际问题列出函数解析式的能力,以及求函数最值的问题,考查基本不等式 的运用,属于中档题.

19. (10 分)已知数列{an}满足 (1)求数列{an}的通项公式; n (2)设 bn=n?2 an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn; (3)设 cn= ,记 Tn=

,且 a1=0.

,证明:Tn<1.

考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用

,可得数列{

}是以 1 为首项,1 为公差的等差数列,从而可

求数列{an}的通项公式; (2)利用错位相减法,即可求数列{bn}的前 n 项和 Sn; (3)利用裂项法求数列的和,即可证得结论.

解答: (1)解:∵ a1=0,∴



∴ 数列{

}是以 1 为首项,1 为公差的等差数列



=n,∴ an=
n


n

(2)解:bn=n?2 an=(n﹣1)?2 , 2 3 n ∴ Sn=1?2 +2?2 +…+(n﹣1)?2 , 3 4 n n+1 ∴ 2Sn=1?2 +2?2 +…+(n﹣2)?2 +(n﹣1)?2 , 2 3 n n+1 两式相减可得﹣Sn=1?2 +1?2 +…+1?2 ﹣(n﹣1)?2 , n+1 ∴ Sn=4+(n﹣2)?2 ; (3)证明:cn= = ,

∴ Tn=

=

+…+

=

<1,

∴ Tn<1. 点评: 本题考查等差数列的判定,考查数列的通项与求和,考查裂项法的运用,考查学生的计算能力,属 于中档题. 20. (10 分) (2007?浙江)已知数列{an}中的相邻两项 a2k﹣1,a2k 是关于 x 的方程 x ﹣(3k+2 )x+3k?2 =0 的两个根,且 a2k﹣1≤a2k(k=1,2,3,…) . (I)求 a1,a3,a5,a7; (II)求数列{an}的前 2n 项和 S2n; (Ⅲ )记 ,
2 k k

,求证:



考 数列的求和;不等式的证明. 点 : 专 压轴题;创新题型. 题 : 分 (1)用解方程或根与系数的关系表示 a2k﹣1,a2k,k 赋值即可. 析 (2)由 S2n=(a1+a2)+…+(a2n﹣1+a2n)可分组求和.

: (3)Tn 复杂,常用放缩法,但较难. 2 k k k 解 解: (I)解:方程 x ﹣(3k+2 )x+3k?2 =0 的两个根为 x1=3k,x2=2 , 答 当 k=1 时,x1=3,x2=2,所以 a1=2; : 当 k=2 时,x1=6,x2=4,所以 a3=4; 当 k=3 时,x1=9,x2=8,所以 a5=8 时; 当 k=4 时,x1=12,x2=16,所以 a7=12. (II)解:S2n=a1+a2++a2n=(3+6++3n)+(2+2 ++2 )= (III)证明: ,
2 n



所以



. 当 n≥3 时, = ,



同时,

= 综上,当 n∈N*时, .



点 本题主要考查等差、等比数列的基本知识,考查运算及推理能力.本题属难题,一般要求做(1) , 评 (2)即可,让学生掌握常见方法,对(3)不做要求. :


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