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2005年第2届中国东南数学奥林匹克试题及答案


第 2 届中国东南地区数学奥林匹克
第1天
(2005 年 7 月 13 日 8:00~12:00 福州) (1)设 a ? R ,求证抛物线 y ? x 2 ? ?a ? 2?x ? 2a ? 1 都经过一个定点,且顶点都 落在一条抛物在线。 (2)若关于 x 的方程 x 2 ? ? a ? 2 ? x ? 2a ? 1 ? 0 有两个不等实根,求其较大根的

取 1 值范围。 2 如图,圆 O(圆心为 O)与直线 l 相离, 作 OP ? l ,P 为垂足。设点 Q 是 l 上任意 一点(不与点 P 重合) ,过点 Q 作圆 O 的 两条切线 QA 和 QB,A 和 B 为切点,AB 与 OP 相交于点 K。过点 P 作 PM ? QB , PN ? QA ,M 和 N 为垂足。求证:直线 MN 平分线段 KP。
l
P Q M N A K o B

3 设 n 是正整数,集合 M ? {1, 2, 3, ?, 2n}。 求最小的正整数 k,使得对于 M 的任何一 个 k 元子集,其中必有 4 个互不相同的元素之和等于 4n+1。 4 试求满足 a2 ? b2 ? c2 ? 2005 ,且 a ? b ? c 的所有三元正整数组(a, b, c)。

第2天
(2005 年 7 月 14 日 8:00~12:00 福州) 5 已知直线 l 与单位圆 S 相切于点 P, A 与圆 S 在 l 的同侧, A 到 l 的距离 点 且 为 h (h>2),从点 A 作 S 的两条切线,分别与 l 交于 B, C 两点。求线段 PB 与 线段 PC 的长度之乘积。 6 将数集 A ? {a1, a2 ,..., an}中所有元素的算术平均值记为 P( A) , a ? a ? ... ? an ( P( A) ? 1 2 ) 。若 B 是 A 的非空子集,且 P( B) ? P( A) ,则称 B n 是 A 的一个“均衡子集”。试求数集 M ? {1,2,3,4,5,6,7,8,9} 的所有“均衡子集” 的个数。 7 (1)讨论关于 x 的方程 | x ? 1| ? | x ? 2 | ? | x ? 3|? a 的根的个数。 (2) a1, a2 ,..., an 为等差数列, a1 ? a2 ? ??? ? an ? a1 ? 1 ? a2 ? 1 ? ??? ? an ? 1 ? 设 且 a1 ? 2 ? a2 ? 2 ? ??? ? an ? 2 ? 507 求项数 n 的最大值。 8 设 0 ? ? , ? ,? ?

?
2

, n 且s i

3

?n? s i

3

n ? 13? ? s? i

, 求证: 2 ? ? tan 2 ? ? tan 2 ? ? tan

3 3 2

答案
1. (1) 令 f a ( x) ? x2 ? (a ? 2) x ? 2a ? 1 ? x 2 ? 2 x ? 1 ? a( x ? 2) ,因此抛物线过定点 (2, 9) ,该抛物线的顶点坐标为 a?2 x?? 2 4(1 ? 2a) ? (a ? 2) 2 ?a 2 ? 12a y? ? 4 4 2 消去 a 得 y ? ? x ? 4 x ? 5 。 (2) f a ( x) ? 0 的大根为
?(a ? 2) ? (a ? 2) 2 ? 4(1 ? 2a) x? 2 ?(a ? 2) ? a 2 ? 12a ? 2 ?(a ? 2) ? (a ? 6) 2 ? 36 ? 2

令 a+6=2k,则
?(2k ? 4) ? 4k 2 ?36 x? ? k2 ? 9 ? k ? 2 2 由判别式 ? ? 0 得 k >3 或 k <-3。 当 k <-3 时, x>5; 9 当 k >3 时, x ? 2 ? , 可得-1<x<2. k2 ? 9 ? k 综上得,方程的大根 x 的取值范围为 (?1, 2) ? (5, ? ?) 。

2. 作 PI ? AB ,I 为垂足, 记 J 为直线 MN 与 线段 PK 的交点。易知 ?QAO ? ?QBO ?

l

P

Q

M ?QPO ? 90? ,故 O、B、Q、P、A 均在以 N 线段 OQ 为直径的圆周上。 A 由于 PN ? QA, PM ? QB, PI ? AB , 所以由 K Simson 定理知: ?QAB 的外接圆上一点 P o 在其三边的垂足 N、 I 三点共线, N、 M、 即 B M、J、I 四点共线。 因为 QO ? AB, PI ? AB ,所以 QO//PI, 所 以 ?POQ ? ?IPO , 又因为 P、A、I、M 四 点共圆,P、A、O、Q 也四点共圆,所以 ?PIJ ? ?PIM ? ?PAM ? ?POQ 所以在直角三角形 PIK 中, ?PIJ ? ?JPI , 所以 J 为 PK 的中点因此直线 MN

平分线段 KP。 3. 考虑 M 的 n+2 元子集 P={n-1, n, n+1, …, 2n}。P 中任何 4 个不同元素之和不 小于(n-1)+n+n+1+n+2=4n+2, 所以 k ? n ? 3 。 将 M 的元配为 n 对, Bi ? (i,2n ? 1 ? i),1 ? i ? n 。 对 M 的任一 n+3 元子集 A,必有三对 Bi1 , Bi2 , Bi3 同属于 A( i1, i2 , i3 两两不同)。 又将 M 的元配为 n-1 对, Ci ? (i,2n ? i),1 ? i ? n -1 。对 M 的任一 n+3 元子集 A,必有一对 C i 同属于 A
4

这一对 Ci4 必与刚才三对 Bi1 , Bi2 , Bi3 中至少一对无公共元, 4 个元素互不相同, 这 且和为 2n+1+2n=4n+1。 因此,所求的最小 k=n+3。 4. 由于任何奇平方数被 4 除余 1,任何偶平方数是 4 的倍数,因 2005 被 4 除余 1,故 a2 , b2 , c2 三数中,必是两个偶平方数,一个奇平方数。 设 a=2m,b=2n,c=2k-1,m, n, k 为正整数,原方程化为: m2 ? n2 ? k (k ? 1) ? 501 ?(1) 又因任何平方数被 3 除的余数,或者是 0,或者是 1,今讨论 k: (i) 若 3 k (k ? 1) ,则由(1), 3 m2 ? n2 ,于是 m, n 都是 3 的倍数。 设 m=3 m1 ,n=3 n1 ,并且

k (k ? 1) ? 167 ? 2 ? mod3? 3 k (k ? 1) 设 =3r+2,则 3 k (k ? 1) ? 9r ? 6 ?(3) 且由(1), k (k ? 1) ? 501,所以 k ? 22 。 故由(3),k 可取 3,7,12,16,21,代入(2)分别得到如下情况: ?k ?3 ?k ?7 ?k ? 12 ?k ? 16 , ? 2 , ? 2 , ? 2 , ? 2 2 2 2 m1 ? n1 ? 55 ?m1 ? n1 ? 51 ? m1 ? n1 ? 41 ?m1 ? n12 ? 29 ?
于是
?k ? 21 ? 2 2 ? m1 ? n1 ? 9 由于 55、51 都是 4N +3 形状的数,不能表为两个平方的和,并且 9 也不 能表成两个正整数的平方和, 因此只有 k=12 与 k=16 时有正整数解 m1 , n1 。 2 当 k=12,由 m12 ? m2 =41,得( m1 , n1 )=(4, 5),则 a=6 m1 =24,b=6 n1 =30, c=2k-1=23,于是(a, b, c)=(24, 30, 23)。 2 当 k=16,由 m12 ? m2 =29,得( m1 , n1 )=(2, 5),则 a=6 m1 =12,b=6 n1 =30,

k (k ? 1) 是整数,由(1) 3 k (k ? 1) 3m12 ? 3n12 ? ? 167 ?(2) 3

c=2k-1=31,因此(a, b, c)=(12, 30, 31) (ii) 若 3| k (k ? 1) 时,由于任何三个连续数中必有一个是 3 的倍数,则 k+1 是 3 的倍数,故 k 被 3 除余 2,因此 k 只能取 2,5,8,11,14,17 或 20 利用(1)式分别讨论如下: 2 若 k=2,则 m12 ? m2 =499,而 499 ? 3(mod4) ,此时无解 2 若 k=5,则 m12 ? m2 =481,利用关系式

??

2

? ? 2 ?? x 2 ? y 2 ? ? ?? x ? ? y ? ? ?? y ? ? x ?
2

2

可知 481 ? 13 ? 37 ? ? 32 ? 22 ?? 62 ? 12 ? ? 202 ? 92 ? 152 ? 162 。 所以(m, n)=(20, 9)或(15, 16)。 于是得两组解(a, b, c)=(2m, 2n, 2k-1)=(40, 18, 9)或(30, 32, 9)。 2 若 k=8,则 m12 ? m2 =445,而 445 ? 5 ? 89 ? ?2 2 ? 12 ??8 2 ? 5 2 ? ? 212 ? 2 2

? ?? x ? ? y ? ? ?? y ? ? x ?
2

2

? 182 ? 112 。 所以(m, n)=(21, 2)或(18, 11), 得两组解(a, b, c)=(2m, 2n, 2k-1)=(42, 15) 4, 或(36, 2215)。 2 若 k=11,有 m12 ? m2 =391,而 391 ? 3(mod4) ,此时无解; 2 若 k=14,有 m12 ? m2 =319,而 319 ? 3(mod4) ,此时无解; 2 若 k=17,有 m12 ? m2 =229,而 229 ? 152 ? 22 ,得(m, n)=(15, 2),得一组解 (a, b, c)=(2m, 2n, 2k-1)=(30, 4, 33); 2 若 k=20,则 m12 ? m2 =121=112 ,而112 不能表示两个正整数的平方和,因 此本题共有 7 组解为:(23, 24, 30),(12, 30, 31),(9, 18, 40),(9, 30, 32), (4, 15, 42),(15, 22, 36),(4, 30, 33)。经检验,它们都满足方程。

ACP ? ? ,设 AC 与 S 的切点 5. 设 PB、PC 的长度分别为 p、q,设 ?ABP ? ? , ? 为 E,记圆心为 O,设 AE 的长度为 t,连接 AO、OE,则在直角三角形 AOE 中,我们有 1 ?AOE ? ( ? ? ? ), 2 1 p?q 因此 t ? tan ( ? ? ? ) ? 。 2 pq ? 1 pq( p ? q) 这样我们可得 ?ABC 的面积 S?ABC 为 S?ABC ? ( p ? q ? t ) ? 1 ? 。 pq ? 1 1 pq 1 又因为 S?ABC ? ( p ? q) ? h, 所以可得 h ? 。 2 pq ? 1 2 h 整理得 pq ? . h?2

6. 由于 P(M)=5,令 M’={x-5 | x ? M}={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}, 则 P(M’)=0, 依照此 平移关系,M 和 M’的均衡子集可一一对应。用 f (k)表示 M’的 k 元均衡子集 的个数,显然有 f (9)=1, f (1)=1 (M’的 9 元均衡子集只有 M’,一元均衡子集 只有{0})。 M’的二元均衡子集共四个,为 Bi ? {?i, i}, i ? 1,2,3,4 , 因此 f(2)=4。 M’的三元均衡子集有两种情况: (1)含有元素 0 的为 Bi ?{0} ? {?2,0, i}, i ?1,2,3,4 , 共四个; (2)不含元素 0 的,由于等式 3=1+2,4=1+3 可表示为-3+1+2=0,3-1-2=0 以及-4+1+3=0,4-1-3=0 得到 4 个均衡子集{-3, 1, 2},{3, -1, -2},{-4, 1, 3},{4, -1, -3},因此 f (3)=4+4=8。 M’的四元均衡子集有三种情况: (1)每两个二元均衡子集之并: Bi ? B j ,1 ? i ? j ? 4 , 共 6 个集; (2)不含元素 0 的三元均衡子集与{0}的并集,共 4 个集; (3)以上两种情况之外者,由于等式 1+4=2+3 可表为-1-4+2+3=0 以及 1+4-2-3=0 得 2 个均衡子集{-1, -4, 2, 3}与{1, 4, -2, -3},因此 f (4)=6+4 +2=12。 又注意到,除 M’本身外,若 B’是 M’的均衡子集,当且仅当其补集 CM ' B ' 也 是 M’的均衡子集,二者一一对应。因此 f (9-k)=f (k),k=1, 2, 3, 4。 从而 M’的均衡子集个数为 ? f (k ) ? f (9) ? 2? f (k ) ? 1 ? 2(1 ? 4 ? 8 ? 12) ? 51
k ?1 k ?1 9 4

即 M 的均衡子集有 51 个。 7. 根据函数 y=|x+1|+|x+2|+|x+3|=a 的图像可知: 当 a<2 时,方程无解; 当 a=2 时,方程有一个根; 当 a>2 时,方程有两个根。 (1) 因为方程|x|=|x+1|=|x-2|无解,故 n ? 2 且公差不为 0。不妨设数列的各项为 a-kd(1≤k≤n,d>0)。作函数 f (x)= ? x ? kd ,
k ?1 n

本题条件等价于 f (x)=507 至少有三个不同的根 a,a+1,a-2,此条件又等 价于函数 y= f (x)的图像与水平直线 y=507 至少有三个不同的公共点。 (n ? 1)d 由于 y=f (x)的图像是关于直线 y ? 左右对称的 n+1 段的下凸折线, 2 它与水平直线 L 有三个公共点当且仅当折线有一水平段在 L 上,当且仅 当 n=2m 且 a, a+1, a-2? [md,(m+1)d], f (md)=507。即 d≥3 且 m2d=507。 507 由此得 m2 ? , m ? 13 。 3 显然,m=13 时,取 d=3,a=4 满足本题条件。因此,n 的最大值为 26。 8. 令 a=sin ? ,b=sin ? ,c=sin ? ,则 a, b, c? (0, 1)且 a3 ? b3 ? c3 ? 1,

1 1 2a 2 ? 1 ? a 2 ? 1 ? a 2 3 2 2a 2 (1 ? a 2 )2 ? ( ) ? , 3 2 2 3 3 2 2 同理 b - b3 ? , c ? c3 ? , 3 3 3 3 a2 b2 c2 a3 b3 c3 3 3 3 3 3 ? ? ? ? ? ? ( a ? b3 ? c 3 ) ? 因此 。 2 2 2 3 3 3 1- a 1- b 1- c a -a b-b c -c 2 2 注意到 sin 2 ? a2 2 tan ? ? ? 1 ? sin 2 ? 1 ? a 2 sin 2 ? b2 2 tan ? ? ? 1 ? sin 2 ? 1 ? b 2 a ? a3 ?

sin 2 ? c2 tan ? ? ? 1 ? sin 2 ? 1 ? c 2 3 3 所以 tan 2 ? ? tan 2 ? ? tan 2 ? ? . 2 注易知上述不等式等号不能成立。
2


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