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指数、对数、二次函数知识点讲义


第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算
(1)根式的概念 ①如果 x 号
n n

? a, a ? R, x ? R, n ? 1 ,且 n ? N ? ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根.当 n 是奇数时, a 的 n 次方根用符
的 n 次方根

a 表示;当 n 是偶数时,正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示,负的 n 次方根用符号 ? n a 表示;0

是 0;负数 a 没有 n 次方根. ②式子
n

a 叫做根式, n 叫做根指数,a 叫做被开方数. n 为奇数时,a 为任意实数; n 为偶数时,a ? 0 . 这里 当 当
n

③根式的性质: ( (2)分数指数幂的概念

a )n ? a ;当 n 为奇数时, n a n ? a ;当 n 为偶数时,

n

(a ? 0) ?a a n ?| a |? ? ??a (a ? 0)



①正数的正分数指数幂的意义是: a

m n

? n a m (a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) .0 的正分数指数幂等于 0.
m n

②正数的负分数指数幂的意义是: a

?

1 m n 1 m ? ( ) n ? ( ) (a ? 0, m, n ? N ? , 且 n ? 1) .0 的负分数指数幂没 a a

有意义. 注意口诀:底数取倒数,指数取相反数. (3)分数指数幂的运算性质 ①a
r

? a s ? a r ? s (a ? 0, r , s ? R)
r

② (a

r s

) ? a rs (a ? 0, r , s ? R)

③ (ab)

? a r br (a ? 0, b ? 0, r ? R)
【2.1.2】指数函数及其性质

(4)指数函数 函数名称 定义 函数 指数函数

y ? a x (a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数

a ?1

0 ? a ?1
y ? ax y ? ax

y
图象

y

y ?1
(0,1)

y ?1

(0,1)

O
定义域 值域

1
x 0
R
(0, ??)

O

1
x 0

过定点 奇偶性 单调性

图象过定点 (0,1) ,即当 x 非奇非偶 在 R 上是增函数

? 0 时, y ? 1 .
在 R 上是减函数

a x ? 1 ( x ? 0)
函数值的 变化情况

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a x ? 1 ( x ? 0) a x ? 1 ( x ? 0)

a 变化对

图象的影响

在第一象限内, a 越大图象越高;在第二象限内, a 越大图象越低.

〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算
(1)对数的定义 ①若 a
x

? N (a ? 0, 且a ? 1) ,则 x 叫做以 a 为底 N

的对数,记作 x

? log a N ,其中 a 叫做底数, N

叫做真数.

②负数和零没有对数. ③对数式与指数式的互化: x (2)几个重要的对数恒等式

? log a N ? a x ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) .

log a 1 ? 0 , log a a ? 1 , log a a b ? b .
(3)常用对数与自然对数 常用对数: lg N ,即 log10 (4)对数的运算性质 ①加法: log a

N ;自然对数: ln N ,即 log e N (其中 e ? 2.71828 …) .
? 0, N ? 0 ,那么
②减法: log a ④a
log a N

如果 a ? 0, a ? 1, M

M ? log a N ? log a ( MN )
M ? log a M n (n ? R)

M ? log a N ? log a

M N

③数乘: n log a

?N

⑤ log

ab

Mn ?

n log a M (b ? 0, n ? R) b

⑥换底公式: log a

N?

logb N (b ? 0, 且b ? 1) logb a

【2.2.2】对数函数及其性质
(5)对数函数 函数 名称 定义 图象 函数 对数函数

y ? log a x(a ? 0 且 a ? 1) 叫做对数函数

a ?1

0 ? a ?1

y

x ?1

y ? log a x

y

x ?1

y ? log a x

O

1

(1, 0)

0

x
(0, ??)

O

(1, 1 0) 0

x

定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在 (0, ??) 上是增函数

R
图象过定点 (1, 0) ,即当 x 非奇非偶 在 (0, ??) 上是减函数

? 1 时, y ? 0 .

log a x ? 0 ( x ? 1)
函数值的 变化情况

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

log a x ? 0 ( x ? 1) log a x ? 0 (0 ? x ? 1)

a 变化对
设函数

图象的影响

在第一象限内, a 越大图象越靠低;在第四象限内, a 越大图象越靠高.

(6)反函数的概念

y ? f ( x) 的定义域为 A ,值域为 C ,从式子 y ? f ( x) 中解出 x ,得式子 x ? ? ( y) .如果对于 y 在 C 中

的任何一个值,通过式子 x 函数 x

? ? ( y) , x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应,那么式子 x ? ? ( y) 表示 x 是 y 的函数,

? ? ( y) 叫做函数 y ? f ( x) 的反函数,记作 x ? f ?1 ( y ) ,习惯上改写成 y ? f ?1 ( x) .

(7)反函数的求法 ①确定反函数的定义域,即原函数的值域;②从原函数式 ③将 x

y ? f ( x) 中反解出 x ? f ?1 ( y ) ;

? f ?1 ( y ) 改写成 y ? f ?1 ( x) ,并注明反函数的定义域.

(8)反函数的性质 ①原函数 ②函数

y ? f ( x) 与反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象关于直线 y ? x 对称.

y ? f ( x) 的定义域、值域分别是其反函数 y ? f ?1 ( x) 的值域、定义域. y ? f ( x) 的图象上,则 P ' (b, a ) 在反函数 y ? f ?1 ( x) 的图象上.

③若 P ( a, b) 在原函数 ④一般地,函数

y ? f ( x) 要有反函数则它必须为单调函数.

〖2.3〗幂函数
(1)幂函数的定义 一般地,函数

y ? x? 叫做幂函数,其中 x 为自变量, ? 是常数.

(2)幂函数的图象

(3)幂函数的性质 ①图象分布:幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象.幂函数是偶函数时,图象分布在第一、二象限(图象关 于

y 轴对称);是奇函数时,图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称);是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限.

②过定点:所有的幂函数在 (0, ??) 都有定义,并且图象都通过点 (1,1) . ③单调性:如果 ?

? 0 ,则幂函数的图象过原点,并且在 [0, ??) 上为增函数.如果 ? ? 0 ,则幂函数的图象在 (0, ??) 上
y 轴.

为减函数,在第一象限内,图象无限接近 x 轴与

④奇偶性:当 ? 为奇数时, 幂函数为奇函数, ? 为偶数时, 当 幂函数为偶函数. ? 当

?
q

q (其中 p, q 互质, p 和 q ? Z ) , p

q

若 则

p 为奇数 q 为奇数时,则 y ? x p 是奇函数,若 p 为奇数 q 为偶数时,则 y ? x p 是偶函数,若 p 为偶数 q 为奇数时,

y?x

q p

是非奇非偶函数.

⑤图象特征:幂函数 直线

y ? x? , x ? (0, ??) ,当 ? ? 1 时,若 0 ? x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 下方,若 x ? 1 ,其图象在

y ? x 上方,当 ? ? 1时,若 0 ? x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 上方,若 x ? 1 ,其图象在直线 y ? x 下方.
〖补充知识〗二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式

①一般式:

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) ②顶点式: f ( x) ? a( x ? h) 2 ? k (a ? 0) ③两根式:

f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) (2)求二次函数解析式的方法
①已知三个点坐标时,宜用一般式. ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时,常使用顶点式. ③若已知抛物线与 x 轴有两个交点,且横线坐标已知时,选用两根式求 (3)二次函数图象的性质 ①二次函数

f ( x) 更方便.

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象是一条抛物线,对称轴方程为 x ? ?

b , 顶点坐标是 2a

(?

b 4ac ? b2 , ). 2a 4a

②当 a

? 0 时,抛物线开口向上,函数在 (??, ?
4ac ? b 2 4a

b b b ] 上递减,在 [? , ??) 上递增,当 x ? ? 2a 2a 2a

时,

f min ( x) ?

; a ? 0 时, 当 抛物线开口向下, 函数在 ( ??, ?

b b b ] 上递增,在 [? , ??) 上递减,当 x ? ? 2a 2a 2a

时,

4ac ? b 2 f max ( x) ? 4a



③二次函数

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 当 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时,图象与 x 轴有两个交点
? |a|


M1 ( x1 ,0), M 2 ( x2 ,0),| M 1M 2 |?| x1 ? x2 |?
(4)一元二次方程 ax
2

? bx ? c ? 0(a ? 0) 根的分布

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且 解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统 地来分析一元二次方程实根的分布. 设一元二次方程 ax
2

? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两实根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 .令 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c ,从以下四个方
?? b 2a
③判别式: ? ④端点函数值符号.

面来分析此类问题:①开口方向: a ②对称轴位置: x ①k<x1≤x2

?
y y
a?0 O

f (k ) ? 0
?

x??
O
x1

b 2a

k x1
x??

x2

k

x

x2
a?0

b 2a

f (k ) ? 0

?

x

②x1≤x2<k

?
y y
f (k ) ? 0
?

a?0 O
x1

x??
O

b 2a

x2

k x
x?? b 2a

x1

x2
?

k

x

a?0

f (k ) ? 0

③x1<k<x2

?
y

af(k)<0

y
a?0
?

f (k ) ? 0 x2
a?0

O
x1

k

x2

? f (k ) ? 0

x

x1

O

k

x

④k1<x1≤x2<k2

?
a?0
? f (k1 ) ? 0

y
?

y

x??

f (k 2 ) ? 0 k1 k2

b 2a
k2

x1 O k1

x2

x

O
?

x1

x2
?

x

b x?? 2a

f (k1 ) ? 0 a?0

f (k 2 ) ? 0
f(k1)f(k2) ? 0,并同时考虑 f(k1)=0 或 f(k2)=0 这两

⑤有且仅有一个根 x1(或 x2)满足 k1<x1(或 x2)<k2 种情况是否也符合

?

y
? f (k1 ) ? 0

a?0

y
f (k1 ) ? 0
?

x1 O k1

k2
?

x2

x

O

x1
a?0

k1

x2
?

k2

x

f (k 2 ) ? 0

f (k 2 ) ? 0

⑥k1<x1<k2≤p1<x2<p2 此结论可直接由⑤推出.

?

(5)二次函数 设

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 [ p, q] 上的最值
,最小值为 m ,令 x0

f ( x) 在区间 [ p, q] 上的最大值为 M
(Ⅰ)当 a

?

? 0 时(开口向上)

1 ( p ? q) . 2
③若 ?

①若 ?

b b b ? p ,则 m ? f ( p) ②若 p ? ? ? q ,则 m ? f (? ) 2a 2a 2a yx ? ? b a?0 2a y b a?0 x?? 2a f f f (q) p (p) (q) q x O q x p O f
b f ((p) ) ? 2a f (? b ) 2a

b ? q ,则 m ? f (q) 2a
a?0

y

x??

f (p) p (q)
O

b 2a

q
x
b ) 2a

f f (?

b ①若 ? ? x0 ,则 M ? f (q) 2a
a?0

yx ? ? b f
x(q) 0 p
O

b ②? ? x0 ,则 M ? f ( p) 2a y b a?0 ??
x

2a

f (p) x0 ? p (q) q
O

2a

?

q f

x

x
b ) 2a

f f (?

b f ((p) ) ? 2a
(Ⅱ)当 a ? 0 时(开口向下) ①若 ?

b ? p ,则 M ? f ( p) 2a
a?0

②若

p??

b b ? q ,则 M ? f (? ) 2a 2a
a?0

③若 ?

b ? q ,则 M ? f (q) 2a
a?0
f f(?

f (?

yb
2a

)

f (?

yb
2a

yb
2a

)

)

f (p)
O

f q (p)
x
O

(q) q p
x
O

p
b x ? ?(q) 2a

p
b x ? ?(q) 2a

q
x?? b 2a

x

f

f (p)

f



?

b ? x0 ,则 m ? f (q) 2a
a?0
f (?

②?

b ? x0 ,则 m ? f ( p) . 2a
a?0
f f(?

yb
2a

)

yb
2a

)

f (p)
O

(q)
x0 ? p
b x ? ?(q) 2a

q
x

x0 p

?

O

q
x?? b 2a

x

f (p)

f


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