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全国13年高中数学联赛分类汇编 专题03 导数


导数
1、 (2004 一试 7)在平面直角坐标系 xOy 中,函数 f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周 期长的区间上的图像与函数 g(x)= 2? 2 【答案】 a +1

a2+1的图像所围成的封闭图形的面积是



a

2、 (2004 一试 15)已知?,?是方程 4x -4tx-1=0(t∈R)的两个不等实根,函数 f(x)=
2

2x-t x2+1

的定义域为[?,?]. ⑴ 求 g(t)=maxf(x)-minf(x); 1 1 ? ⑵ 证明:对于 ui∈(0, )(i=1,2,3),若 sinu1+sinu2+sinu3=1,则 + 2 g(tanu1) g(tanu2) + 1

g(tanu3)

<

3 6 . 4

8secu(2sec u+3) 16+24cos u 16 6 = 2 3 ≥ 2 , 16sec u+9 16cosu+9cos u 16+9cos u 1 1 1 1 1 2 2 2 ∴ + + ≤ [16?3+9(cos u1+cos u2+cos u3)]= [75 - g(tanu1) g(tanu2) g(tanu3) 16 6 16 6 2 2 2 9(sin u1+sin u2+sin u3)] ⑵ g(tanu)= 1 sinu1+sinu2+sinu3 2 2 2 2 2 2 2 而 (sin u1+sin u2+sin u3)≥( ) ,即 9(sin u1+sin u2+sin u3)≥3. 3 3 ∴ 1 + 1 + 1 ≤ 1 (75-3)= 3 6 .由于等号不能同时成立,故得证. 4

2

2

g(tanu1) g(tanu2) g(tanu3) 16 6

3 2 3、 (2010 一试 9)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx ? d (a ? 0) ,当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 1 ,

试求 a 的最大值.



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