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集合的运算


授课主题 教学目的 教学重点

集合的概念复习 理解两个集合的交集与并集的含义;会求两个简单集合的交集与并集,理解给定集合的 一个子集的补集的含义;会求给定子集的补集,会用韦恩图表示集合的关系及运算 用集合的性质求参数的取值范围

教学内容

课前热身
1. (原创)集合 M={m∈Z|-3<m<2},N={n∈Z|-1≤n≤3},则 M∩N=________. 答案:{-1,0,1} 解析:M={-2,-1,0,1},N={-1,0,1,2,3},所以 M∩N={-1,0,1}. 2. (必修 1P17 第 13 题改编)A、B 是非空集合,定义 A×B={x|x∈A∪B,且 x? A∩B}.若 A= {x|y= x2-3x},B={y|y=3x },则 A×B=________.

答案:(-∞,3) 解析:A=(-∞,0)∪[3,+∞),B=(0,+∞ ),A∪B=R ,A∩B=[3,+∞).所以 A×B=(-∞, 3). ? ? 2 ? ? 3. (必修 1P10 第 4 题改编)已知全集 U={-2, -1 , 0, 1, 2}, 集合 A= ?x|x= ,x、n∈Z?, n -1 ? ? ? ? 则?UA=________. 答案:{0} ? ? 2 ? ? ? ? 解析:因为 A=?x?x= ,x、n∈Z ?,当 n=0 时,x=-2;当 n=1 时不合题意;当 n n -1 ? ? ? ? ? =2 时,x=2;当 n=3 时,x=1;当 n ≥4 时,x ? Z ;当 n=-1 时,x=-1;当 n≤-2 时,x ? Z. 故 A={-2,2,1,-1}.又 U={-2,-1,0,1,2},所以?UA={0}.

4. (必修 1P14 第 8 题改编)设集合 U ={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,3,4},则 ?U(A∩B)=________ . 答案:{1,4,5} 解析:A∩B={2,3},所以?U(A∩B)={1,4,5}. 5. (必修 1P17 第 6 题改编)已知 A={1,2,3},B={x∈R|x2-ax+1=0,a∈A},则 A∩B=B 时,a=________. 答案:1 或 2 解析:验证 a=1 时 B a=2 时 B={1}也满足条件.

知识梳理

1. 集合的运算 (1) 交集:由属于 A 且属于 B 的所有元素组成的集合,叫做集合 A 与 B 的交集,记作 A∩B, 即 A∩B={x|x∈A 且 x∈B}. (2) 并集:由属于 A 或属于 B 的所有元素组成的集合,叫做集合 A 与 B 的并集,记作 A∪B, 即 A∪B={x|x∈A 或 x∈B}. (3) 全集:如果集合 S 含有我们所研究的各个集合的全部元素,那么这个集合就可以看作一 个全集,通常用 U 来表示.一切所研究的集合都是这个集合的子集. (4) 补集:集合 A 是集合 S 的一个子集,由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合叫做 A 的 补集(或余集),记作?SA,即?SA={x|x∈S,但 x ? A}. 2. 常用运算性质及一些重要结论 (1) A∩A=A,A∩ ?= ?,A∩B=B∩A;

(2) A∪A=A,A∪ ?=A,A∪B=B∪A; (3) A∩(?UA)= ?,A∪(?UA)=U ; (4) A∩B=A ? A? B,A∪B=A ? B ? A;

(5) ?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB),?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).

题型 1 例1

集合的运算 若全集 U={1,2,3,4,5,6},M={2,3},N ={1,4},则(?UM)∩(?UN)=________.

答案:{5,6} 解析:∵ M∪N={1,2,3,4}, ∴ (?UM)∩(?UN)=?U(M∪N)={5,6}.

变式训练 若全集 U={1,2,3,4,5,6},M∩N=N,N={1,4},试求满足条件的集合 M 的个数. 解:由 M∩N =N 得 M ? N. 含有 2 个元素的集合 M 有 1 个,含有 3 个元素的集合 M 有 4 个,含有 4 个元素的集合 M 有 6 个,含有 5 个元素的集合 M 有 4 个,含有 6 个元素的集合 M 有 1 个. 因此,满足条件的集合 M 有 1+4+6+4+1=16 个. 题型 2 求参数的范围

例 2 设关于 x 的不等式 x(x-a-1)<0(a∈R)的解集为 M,不等式 x2-2x-3≤0 的解集为

N. (1) 当 a=1 时,求集合 M; (2) 若 M∪N =N,求实数 a 的取值范围. 解:(1) 当 a=1 时,由已知得 x(x-2)<0, 解得 0<x<2.所以 M={x|0<x<2}. (2) 由已知得 N={x|-1≤x≤3}. ① 当 a<-1 时,因为 a+1<0,所以 M={x|a+1<x<0}. 由 M∪N =N ,得 M N,所以-1≤a+1<0,解得-2≤a<-1. N ,所以 a=-1 成立.

② 当 a=-1 时,M= ?,显然有 M

③ 当 a>-1 时,因为 a+1>0,所以 M={x|0<x<a+1}. 因为 M ? N ,所以 0<a+1≤3,解得-1<a≤2. 综上所述,实数 a 的取值范围是[-2,2]. 变式训练 已知 A={x|ax-1>0},B={x|x2-3x+2>0}. (1) 若 A∩B=A,求实数 a 的取值范围; (2) 若 A∩?RB≠ ?,求实数 a 的取值范围. 1 解:(1) 由于 A∩B=A 得 A ? B,由题意知 B={x|x>2 或 x<1}.若 a>0,则 x> ≥2,得 0< a 1 1 1 a≤ ;若 a=0,则 A= ?,成立;若 a<0,则 x< <1,根据数轴可知均成立.综上所述,a≤ . 2 a 2 1 (2) ?RB={x|1≤x≤2},若 a=0,则 A= ?,不成立;若 a<0,则 x< <1,不成立;若 a a

1 1 1 1 >0,则 x> ,由 <2 得 a> .综上所述,a> . a a 2 2 题型 3 例3 集合综合题 b 已知 f(x)=x+ -3,x∈[1,2]. x

(1) 当 b=2 时,求 f(x)的值域; (2) 若 b 为正实数,f(x)的最大值为 M,最小值为 m,且满足 M-m≥4,求 b 的取值范围. 2 解:(1) 当 b=2 时,f(x)=x+ -3,x∈[1,2]. x 因为 f(x)在 [1, 2]上单调递减,在[ 2)=2 2 -3. 2 ,2]上单调递增,

所以 f(x)的最小值为 f( 又 f(1)=f(2)=0, 所以 f(x)的值域为 [2

2 -3,0].

(2) ① 当 0<b<2 时,f(x)在 [1,2]上单调递增, b b 则 m=b-2,M= -1,此时 M-m=- +1≥4,得 b≤-6,与 0<b<2 矛盾,舍去; 2 2 ② 当 2≤b<4 时,f(x)在 [1, f(2)}=b-2 ,m=f( b)=2 b]上单调递减,在[ b ,2]上单调递增,所以 M=max{f(1), b +1≥4,得( b -1)2≥4,解得 b≥9,与

b -3,则 M-m=b-2

2≤b<4 矛盾,舍去; b b ③ 当 b≥4 时, f(x)在 [1,2]上单调递减,则 M=b-2,m= -1,此时 M-m= -1≥4, 2 2 得 b≥10.综上所述,b 的取值范围是[10,+∞). 备选变式(教师专享)

设集合 A={x|x2-2x+2m+4=0},B={x|x<0}.若 A∩B≠ ?,求实数 m 的取值范围. 解:(解法 1)据题意知方程 x2-2x+2m+4=0 至少有一个负实数根. 设 M={m|关于 x 的方程 x2-2x+2m+4=0 两根均为非负实数 }, Δ=4(-2m-3)≥0 ? ? 3 则?x +x =2>0, 解得-2≤m≤- . 2 ? ?x x =2m+4≥0
1 2 1 2

? 3? ? ? ? ? ∴ M=?m?-2≤m≤- ?. 2? ? ? ? ? ? 3? ? ? ? ? 设全集 U={m|Δ≥0}= ?m?m≤- ?, 2? ? ? ? ? ∴ m 的取值范围是?UM={m|m<-2}. (解法 2)方程的小根 x=1- -2m-3 <0 m<-2.

?

-2m-3>1

2m-3>1

(解法 3)设 f(x)=x2-2x+4,这是开口向上的抛物线.因为其对称轴 x=1>0,则据二次函 数性质知命题又等价于 f(0)<0 ? m<-2.

1. 设集合 A={5,log2(a+3)},集合 B={a,b}.若 A∩B={2},则 A∪B=________. 答案:{1,2,5} 解析:由题意知 log2(a+3)=2,得 a=1,b=2,则 A∪B={1,2,5}. 2. 已知全集 U=(-∞,3],A=[-1,2),则?UA=____. 答案:(-∞,-1)∪[2,3] 解析:利用数轴可得?UA=(-∞,-1)∪[2,3].

3. 如图,已知 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合 A={2,3,4,5,6,8},B ={1,3,4,5,7},C={2,4, 5,7,8,9},用列举法写出图中阴影部分表示的集合为________.

答案:{2,8} 解析:阴影部分表示的集合为 A∩C ∩(?UB)={2,8}. 4. 已知集合 P={(x,y)|x+y=0},Q={(x,y)|x-y=2},则 Q∩P=________. 答案:{(1,-1)} ? ? ?x+y=0, ?x=1, 解析:由? 解得? 由于两集合交集中元素只有一个点,故 Q∩P={(1,-1)}. ? x - y = 2 , ? y =- 1. ? ? 5. 设 P 和 Q 是两个集合,定义集合 P-Q={x|x∈P,且 x ={x||x-2|<1},那么 P- Q=________. 答案:{x|0<x≤1} 解析:由 log2x<1,得 0<x<2,所以 P={x|0<x<2}; 由|x-2|<1,得 1<x<3,所以 Q= {x|1<x<3}. 由题意,得 P-Q={x|0<x≤1}. Q},如果 P={x|log2x<1},Q

1. 设全集 U =M∪N ={1,2,3,4,5},M∩?UN={2,4},则 N=________. 答案:{1,3,5} 解析:画出韦恩图,可知 N={1,3,5}. 2. 设全集为 R ,集合 A={x|x≤3 或 x≥6},B={x|-2<x<9}.

(1) 求 A∪B,(?RA)∩B; (2) 已知 C ={x|a<x<a+1},若 C ? B,求实数 a 的取值范围. 解:(1) A∪B=R ,?RA={x|3<x<6}, ∴ (?RA)∩B={x|3<x<6}. (2) ∵ C ={x|a<x<a+1},且 C ? B, ? ?a≥-2, ∴ ? ? ?a+1≤9. ∴ 所求实数 a 的取值范围是-2≤a≤8. ? ? 3. 设全集 I =R ,已知集合 M=?x (x+3)2≤0?,N ={x|x2+x-6=0}. ? ? (1) 求(?IM)∩N; (2) 记集合 A=(?IM)∩N,已知集合 B={x|a-1≤x≤5-a,a∈R},若 B∪A=A,求实数 a 的 取值范围. 解:(1) ∵ M={x|(x+3)2≤0}={-3}, N={x|x2+x-6=0}={-3,2}, ∴ ?IM={x|x∈R 且 x≠-3}, ∴ (?IM)∩N={2}. (2) A=(?IM)∩N={2}, ∵ A∪B=A,∴ B A,∴ B= ?或 B={2},

|

当 B= ?时,a-1>5-a,∴ a>3; ? ? a - 1 =2 , 当 B={2}时,? 解得 a=3. ? 5 - a = 2 , ? 综上所述,所求 a 的取值范围为{a|a≥3}.

4. 设全集 U =R , 函数 f(x)=lg(|x+1|+a-1)(a<1)的定义域为 A, 集合 B={x|cosπx=1}. 若 (?UA)∩B 恰好有 2 个元素,求 a 的取值集合. 解:|x+1|+a-1>0 ? |x+1|>1-a,

当 a<1 时,1-a>0,∴ x>-a 或 x<a-2, ∴ A=(-∞,a-2)∪(-a,+∞). ∵ cosπx=1,∴ πx=2kπ,∴ x=2k(k∈Z), ∴ B={x|x=2k,k∈Z}. 当 a<1 时,?UA=[a-2,-a]在此区间上恰有 2 个偶数. a <1 , ? ? 2<a≤0. ?a≤-a<2 ? ?-4<a-2≤-2



1. 集合的运算结果仍然是集合.进行集合运算时应当注意: (1) 勿忘对空集情形的讨论; (2) 勿忘集合中元素的互异性; (3) 对于集合 A 的补集运算,勿忘 A 必须是全集的子集; (4) 对于含参数(或待定系数)的集合问题,勿忘对所求数值进行合理取舍. 2. 在集合运算过程中应力求做到“三化” (1) 意义化:首先明确集合的元素的意义,它是怎样的类型的对象(数集、点集,图形等)是 表示函数的定义域、值域,还是表示方程或不等式的解集? (2) 具体化:具体求出相关集合中函数的定义域、值域或方程、不等式的解集等;不能具体 求出的,也应力求将相关集合转化为最简形式.

(3) 直观化:借助数轴、直角坐标平面、韦恩图等将有关集合直观地表示出来,从而借助数 形结合思想解决问题.

课堂小结

课后巩固

1.(2012·杭州十四中月考)若集合

? ?? 1 ? A= ?y?y=lg x, ≤x≤10 10 ? ? ?
B.(?UA)∪B=[-1,1] D.(?UA)∩B=[-2,2]

? ? ?,B={-2,-1,1,2},全 ? ?

集 U =R ,则下列结论正确的是( A.A∩B={-1,1} C.A∪B=(-2,2) 解析:选 A

)

?1 ? ? ? ∵x∈? ,10?,∴y∈[-1,1], ?10 ?

∴A∩B={-1,1}. 2.设 A 是自然数集的一个非空子集,对于 k∈A,如果 k2?A,且

k ?A,那么 k 是 A 的一个

“酷元” ,给定 S={x∈N|y=lg(36-x2)},设 M?S,且集合 M 中的两个元素都是“酷元” ,那么这样的 集合 M 有( )

A .3 个 C .5 个 解析:选 C

B .4 个 D .6 个 由 36-x2>0,解得-6<x<6.又因为 x∈N ,所以 S={0,1,2,3,4,5}.

依题意, 可知若 k 是集合 M 的“酷元”是指 k2 与 若 k=2,则 k2=4;若 k=4,则

k 都不属于集合 M.显然 k=0,1 都不是“酷元” .

k =2.所以 2 与 4 不同时在集合 M 中,才能成为“酷元” .

显然 3 与 5 都是集合 S 中的“酷元” . 综上,若集合 M 中的两个元素都是“酷元” ,则这两个元素的选择可分为两类: (1)只选 3 与 5,即 M={3,5}; (2)从 3 与 5 中任选一个,从 2 与 4 中任选一个,即 M={3,2}或{3,4}或{5,2}或{5,4}. 所以满足条件的集合 M 共有 5 个. 3.(2013·河北质检)已知全集 U=R ,集合 M={x|x+a≥0},N={x|log2 (x-1)<1},若 M∩(?
UN )={x|x=1,或

x≥3},那么(

) B.a≤1 D.a≥1

A.a=-1 C .a =1 解析:选 A

由题意得 M={x|x ≥-a},N={x|1<x<3},所以?UN={x|x≤1,或 x≥3},又 M∩

(?UN )={x|x=1,或 x≥3},因此-a=1,a=-1. 4.给定集合 A,若对于任意 a,b∈A,有 a+b∈A,且 a-b∈A,则称集合 A 为闭集合,给 出如下三个结论: ①集合 A={-4,-2,0,2,4}为闭集合; ②集合 A={n|n=3k,k∈Z}为闭集合; ③若集合 A1,A2 为闭集合,则 A1∪A2 为闭集合. 其中正确结论的序号是________.

解析:①中,-4+(-2)=-6?A,所以不正确; ②中设 n1,n2∈A,n1=3k1,n2=3k2,k1,k2∈Z ,则 n1+n2∈A,n1-n2∈A,所以②正确; ③令 A1={-4,0,4},A2={-2,0,2} ,则 A1,A2 为闭集合,但 A1∪A2 不是闭集合,所以③不 正确. 答案:② 5.已知集合 A={x|x2-2x-3≤0,x∈R},B={x|m-2≤x≤m+2}. (1)若 A∩B=[1,3],求实数 m 的值; (2)若 A??R B,求实数 m 的取值范围. 解:A={x|-1≤x≤3},B={x| m-2≤x≤ m+2}. ? ?m-2=1, (1)∵A∩B=[1,3],∴ ? ? ?m+2≥3,

得 m=3.

(2)?R B={x|x<m-2,或 x>m+2}. ∵A??R B,∴m-2>3 或 m+2<-1. ∴m>5 或 m<-3. 即 m 的取值范围为(-∞,-3)∪(5,+∞). 6.(2012·衡水模拟)设全集 I =R ,已知集合 M={x|(x+3)2≤0},N={x|x2+x-6=0}. (1)求(?IM)∩N; (2)记集合 A=(?IM)∩N,已知集合 B={x|a-1≤x≤5-a ,a∈R},若 B∪A=A,求实数 a 的取 值范围. 解:(1)∵M={x|(x+3)2≤0}={-3},

N={x|x2+x-6=0}={-3,2},

∴?IM={x|x∈R 且 x≠-3}, ∴(?IM)∩N={2}. (2)A=(?IM)∩N={2}, ∵A∪B=A,∴B?A,∴B=?或 B={2}, 当 B=?时,a-1>5-a,∴a>3; ? ? a - 1 =2 , 当 B={2}时,? ? ? 5 - a =2 ,

解得 a=3,

综上所述,所求 a 的取值范围为{a|a≥3}.

能力提高
? b ? ? ? 1.现有含三个元素的集合,既可以表示为?a, ,1?,也可表示为{a2,a+b,0},则 a2 a ? ? ? ? +b2 013=________. 解析:由已知得 =0 及 a≠0,所以 b=0,于是 a2=1,即 a=1 或 a=-1,又根据集合中
013

b a

元素的互异性可知 a=1 应舍去,因此 a=-1,故 a2 013+b2 013=(-1)2 013=-1. 答案:-1 2.集合 S={a,b,c,d,e},包含{a,b}的 S 的子集共有( A .2 个 C .5 个 解析:选 D B .3 个 D .8 个 包含{a,b}的 S 的子集有:{a,b};{a,b,c},{a,b,d}, {a,b,e};{a, )

b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e};{a,b,c,d,e}共 8 个.

3.某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组.已 知参加数学、物理、化学小组的人数分别为 26、15、13,同时参加数学和物理小组的有 6 人, 同时参加物理和化学小组的有 4 人,则同时参加数学和化学小组的有________人. 解析:由题意知,同时参加三个小组的人数为 0,设同 化学小组的人数为 x,Venn 图如图所示, ∴(20-x)+6+5+4+(9-x)+x=36,解得 x=8. 答案:8 4.已知集合 A={x|x2+2x+a≤0},B={x|a≤x≤4a-9},若 A,B 中至少有一个不是空集, 则 a 的取值范围是________. 解析:若 A,B 全为空集,则实数 a 满足 4-4a<0 且 a>4a-9,即 1<a<3,则满足题意的 时参加 数学和

a 的取值范围为(-∞,1]∪[3,+∞).
答案:(-∞,1]∪[3,+∞)



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