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2013届高三理科数学(北师大版)一轮复习课时作业(37)空间几何体的表面积和体积


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课时作业(三十七) [第 37 讲

空间几何体的表面积和体积]

[时间:45 分钟

分值:100 分]

基础热身 1.已知几何体的三视图如图 K37-1 所示,则该几何体的表面积为( A.80+7π B.96+7π C.96+

8π D.96+9π

)

图 K37-1

图 K37-2 2.一个空间几何体的三视图及其尺寸如图 K37-2 所示,则该空间几何体的体积是( ) 14 7 A. B. C.14 D.7 3 3 3.[2011· 开封模拟] 一个几何体按比例绘制的三视图如图 K37-3 所示(单位:m),则该几何体 的体积为( )

图 K37-3 9 9 B. m3 C.3 m3 D. m3 2 4 4.某品牌香水瓶的三视图如图 K37-4(单位:cm),则该几何体的表面积为( A.4 m3

)

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图 K37-4 π? π? A.?95-2? cm2 B.?94-2? cm2 ? ? π? π C.?94+2? cm2 D.?95+2? cm2 ? ? ? 能力提升 5. 已知一个四棱锥的底面为正方形, 其三视图如图 K37-5 所示, 则这个四棱锥的体积是( A.1 B.2 C.3 D.4

)

图 K37-5

图 K37-6

6.一个棱锥的三视图如图 K37-6,则该棱锥的全面积为( ) A.48+12 2 B.48+24 2 C.36+12 2 D.36+24 2 7.[2010· 安徽卷] 一个几何体的三视图如图 K37-7,该几何体的表面积为(

)

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图 K37-7 A.280 B.292 C.360 D.372 8.某三棱锥的左视图和俯视图如图 K37-8 所示,则该三棱锥的体积为( )

图 K37-8 A.4 3 B.8 3 C.12 3 D.24 3 9.如图 K37-9(单位:cm),将图中阴影部分绕 AB 旋转一周所形成的几何体的体积为(单位: cm3)( )

图 K37-9 140π 160π A.40π B. C.50π D. 3 3 10.一个底面半径为 1,高为 6 的圆柱被一个平面截下一部分,如图 K37-10,截下部分的母 线最大长度为 2,最小长度为 1,则截下部分的体积是________.

图 K37-10 11. 三棱锥 P-ABC 中,PA⊥底面 ABC,PA=3,底面 ABC 是边长为 2 的正三角形,则三棱锥 P -ABC 的体积等于________. 12.表面积为定值 S 的正四棱柱体积的最大值为________. 13.在三棱柱 ABC-A′B′C′中,点 P,Q 分别在棱 BB′,CC′上,且 BP=2PB′,CQ= 3QC′,若三棱柱的体积为 V,则四棱锥 A-BPQC 的体积是________. 14. 分)如图 K37-11 所示的△OAB 绕 x 轴和 y 轴各旋转一周分别求出所得几何体的表面积. (10

图 K37-11

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15.(13 分)如图 K37-12(1),在直角梯形中(图中数字表示线段的长度),CD⊥AF,将直角梯形 DCEF 沿 CD 折起,使平面 DCEF⊥平面 ABCD,连接部分线段后围成一个空间几何体,如图 K37 -12(2). (1)求证:BE∥平面 ADF; (2)求三棱锥 F-BCE 的体积.

图 K37-12

难点突破 16.(1)(6 分)[2011· 哈尔滨九中二模] 设直线 l 与球 O 有且只有一个公共点 P,从直线 l 出发的 两个半平面 α,β 截球的两截面圆的半径分别为 1 和 3,二面角 α-l-β 的平面角为 150° ,则球 O 的表面积为( ) A.4π B.16π C.28π D.112π (2)(6 分)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,则四面体 C1-A1BD 在平面 ABCD 上的正投影的面积和 该四面体的表面积之比是( ) 3 A. 3 B. 3 3 C.2 3 D. 6

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课时作业(三十七) 【基础热身】 1.C [解析] 这个空间几何体上半部分是底面半径为 1,高为 4 的圆柱,下半部分是棱长为 4 的正方体,故其全面积是 2π×1×4+π×12+6×4×4-π×12=96+8π. 2.A [解析] 这个空间几何体是一个一条侧棱垂直于底面的四棱台,这个四棱台的高是 2,上 1 14 底面是边长为 1 的正方形,下底面是边长为 2 的正方形,故其体积 V= (12+ 12×22+22)×2= . 3 3 3.C [解析] 根据视图还原几何体.这个空间几何体的直观图如下,其体积是 3 m3.

4. [解析] 这个空间几何体上面是一个四棱柱、 C 中间部分是一个圆柱、 下面是一个四棱柱. 上 π π 1 面四棱柱的表面积为 2×3×3+12×1- =30- ;中间部分的表面积为 2π× ×1=π,下面部分的 4 4 2 π π π 表面积为 2×4×4+16×2- =64- .故其表面积是 94+ . 4 4 2 【能力提升】 1 5.B [解析] 这个四棱锥的高是 13-4=3,底面积是 2× 2=2,故其体积为 ×2×3=2. 3

6.A [解析] 根据给出的三视图,这个三棱锥是一个底面为等腰直角三角形、一个侧面垂直于 底面的三棱锥,其直观图如图所示,其中 PD⊥平面 ABC,D 为 BC 中点,AB⊥AC,过 D 作 ED⊥ AB 于 E,连接 PE,由于 AB⊥PD,AB⊥DE,故 AB⊥PE,PE 即为△PAB 的底边 AB 上的高.在 Rt 1 1 1 △PDE 中,PE=5,侧面 PAB,PAC 面积相等,故这个三棱锥的全面积是 2× ×6×5+ ×6×6+ 2 2 2 ×6 2×4=48+12 2. 7. [解析] 由题中的三视图知, C 该几何体是由两个长方体组成的简单组合体, 下面是一个长、 宽、高分别是 8,10,2 的长方体,上面竖着的是一个长、宽、高分别为 6、2、8 的长方体,那么其表 面积等于下面长方体的表面积与上面长方体的侧面积之和,即 S=2(8×10+8×2+10×2)+2(6×8 +2×8)=360. 8.A [解析] 根据三视图可知,在这个三棱锥中其左视图的高就是三棱锥的高、俯视图的面积 就是三棱锥的底面积,其中俯视图的宽度和左视图的宽度相等,所以左视图的底边长是 2,由此得 左视图的高为 2 3,此即为三棱锥的高;俯视图的面积为 6,此即为三棱锥的底面积.所以所求的 1 三棱锥的体积是 ×6×2 3=4 3. 3 9.B [解析] 由图中数据,根据圆台和球的体积公式得 4 4 1 16 V 圆台= ×[π×22+ ?π×22?×?π×52?+π×52]=52π,V 半球= π×23× = π. 3 3 2 3 16 140 所以,旋转体的体积为 V 圆台-V 半球=52π- π= π(cm3). 3 3 3π 10. [解析] 这样的几何体我们没有可以直接应用的体积计算公式, 根据对称性可以把它补成 2 如图所示的圆柱,这个圆柱的高是 3,这个圆柱的体积是所求的几何体体积的 2 倍,故所求的几何 1 3π 体的体积是 ×π×12×3= . 2 2

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1 π 【解析】 由已知,S△ABC= ×22sin = 3, 2 3 1 1 ∴ VP-ABC= S△ABC· PA= × 3×3= 3,即三棱锥 P-ABC 的体积等于 3. 3 3 S 6S 12. [解析] 设正四棱柱的底面边长为 a,高为 h,则该正四棱柱的表面积为 2a2+4ah=S, 36 S-2a2 1 1 即 h= ,体积为 V=a2h= a(S-2a2)= (Sa-2a3), 4a 4 4 1 则 V′= (S-6a2). 4 S S S S 6S 令 V′=0 得 a= ,且当 0<a< 时,V′>0,当 a> 时,V′<0,故当 a= = 时, 6 6 6 6 6 S S- 2 3 S-2a 6S S 6S V 取极大值, 由于这个极值唯一故也是最大值, 此时 h= = = , 体积的最大值是 . 4a 6 36 S 4 6 17 13. V [解析] 四棱锥 A-BPQC 与四棱锥 A-BB′C′C 具有相同的高, 故其体积之比等于其 36 2 3 底面积之比,由 BP=2PB′,CQ=3QC′得 BP= BB′,CQ= CC′,设平行四边形 BB′C′C 3 4 的高为 h,则其面积 S=CC′· h, 3 1 2 17 17 17 则梯形 BPQC 的面积等于 ?3BB′+4CC′?· h= ? h=24CC′· 24S,故 VA-BPQC=24VA-BB′C′C. 2? 1 2 17 2 17 而 VA-BB′C′C=V-VA-A′B′C′=V- V= V,故 VA-BPQC= × V= V. 3 3 24 3 36 11. 3

14.[解答] 绕 x 轴旋转一周形成的空间几何体是一个上下底面半径分别为 2,3,高为 3 的圆台, 挖去了一个底面半径为 3,高为 3 的圆锥,如图(1),其表面积是圆台的半径为 2 的底面积、圆台的 侧面积、圆锥的侧面积之和. 圆台的母线长是 10,圆锥的母线长是 3 2, 故其表面积 S1=π·22+π(2+3)· 10+π·3·3 2=(4+5 10+9 2)π. 绕 y 轴旋转一周所形成的空间几何体是一个大圆锥挖去了一个小圆锥,如图(2),此时大圆锥的 底面半径为 3,母线长为 3 2,小圆锥的底面半径为 3,母线长为 10,这个空间几何体的表面积是 这两个圆锥的侧面积之和, 故 S2=π·3·3 2+π·3· 10=(9 2+3 10)π.

1 15.[解答] (1)证法一:取 DF 中点 G,连接 AG(如图),DG= DF, 2
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1 ∵CE= DF,CE∥DF,∴EG∥CD 且 EG=CD. 2 又∵AB∥CD 且 AB=CD,∴EG∥AB 且 EG=AB, ∴四边形 ABEG 为平行四边形, ∴BE∥AG.∵BE?平面 ADF,AG?平面 ADF, ∴BE∥平面 ADF.

证法二:由图(1)可知 BC∥AD,CE∥DF,折叠之后平行关系不变, ∵BC?平面 ADF,AD?平面 ADF,∴BC∥平面 ADF,同理 CE∥平面 ADF, ∵BC∩CE=C,BC,CE?平面 BCE,∴平面 BCE∥平面 ADF.∵BE?平面 BCE,∴BE∥平面 ADF. (2)方法一: F-BCE=VB-CEF, ∵V 由图(1)可知 BC⊥CD, ∵平面 DCEF⊥平面 ABCD, 平面 DCEF∩ 1 平面 ABCD=CD,BC?平面 ABCD,∴BC⊥平面 DCEF,由图(1)可知 DC=CE=1,S△CEF= CE· DC 2 1 = . 2 1 1 ∴VF-BCE=VB-CEF= · S△CEF= . BC· 3 6 方法二:由图(1)可知 CD⊥BC,CD⊥CE,∵BC∩CE=C,∴CD⊥平面 BCE.∵DF⊥DC,点 F 1 1 到平面 BCE 的距离等于点 D 到平面 BCE 的距离为 1, 由图(1)可知 BC=CE=1, △BCE= BC· S CE= , 2 2 1 1 ∴VF-BCE= · S△BCE= . CD· 3 6 方法三:过 E 作 EH⊥FC,垂足为 H,由图(1)可知 BC⊥CD,∵平面 DCEF⊥平面 ABCD, 平面 DCEF∩平面 ABCD=CD,BC?平面 ABCD, ∴BC⊥平面 DCEF, ∵EH?平面 DCEF,∴BC⊥EH,∴EH⊥平面 BCF.由 BC⊥FC,FC= DC2+DF2= 5,S△BCF 1 5 1 = BC· CF= ,在△CEF 中,由等面积法可得 EH= , 2 2 5 1 1 ∴VF-BCE=VE-BCF= EH·△BCF= . S 3 6 【难点突破】 16.(1)D (2)D [解析] (1)过两截面圆心和球心作球的截面,如图,设 OO1=h1,OO2=h2,则 2 2 2 h1+1=h2+3,根据余弦定理 h2+h2-2h1h2cos30° =1+3-2×1× 3cos150° =7,消掉 h1 得方程 2h2 1 2 2 4 2 2 2 -5= 3h2 h2+2,两端平方整理得 h2-26h2+25=0,解得 h2=1(舍去),或 h2=25,即 h2=5,所 以球的半径 r= 3+25= 28,故球的表面积是 4πr2=112π.

(2)根据正投影的概念,结合图形知四面体在底面上的正投影就是正方形 ABCD,设该正方体的
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棱长为 1, 则这个投影的面积就是 1, 四面体的四个面都是边长为 2的正三角形, 故其表面积是 4× ×( 2)2=2 3,故所求的比值为 1∶2 3= 3 . 6

3 4

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