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高中数学竞赛讲义18:组合


高中数学竞赛讲义(十八) ──组合 一、方法与例题 1.抽屉原理。 例 1 设整数 n≥4,a1,a2,?,an 是区间(0,2n)内 n 个不同的整数,证明:存在集合{a1,a2,?,an}的一个子 集,它的所有元素之和能被 2n 整除。 [证明] (1)若 n {a1,a2,?,an},则 n 个不同的数属于 n-1 个集合{1,2n-1},{2,2n-2},?,{n-1,n

+1}。 由抽屉原理知其中必存在两个数 ai,aj(i≠j)属于同一集合,从而 ai+aj=2n 被 2n 整除; (2)若 n∈{a1,a2,?,an},不妨设 an=n,从 a1,a2,?,an-1(n-1≥3)中任意取 3 个数 ai, aj, ak(ai,<aj< ak), 则 aj-ai 与 ak-ai 中至少有一个不被 n 整除, 否则 ak-ai=(ak-aj)+(aj-ai)≥2n, 这与 ak∈(0,2n)矛盾, 故 a1,a2,?,an-1 中 必 有 两 个 数 之 差 不 被 n 整 除 ; 不 妨 设 a1 与 a2 之 差 (a2-a1>0) 不 被 n 整 除 , 考 虑 n 个 数 a1,a2,a1+a2,a1+a2+a3,?,a1+a2+?+an-1。 ⅰ)若这 n 个数中有一个被 n 整除,设此数等于 kn,若 k 为偶数,则结论成立;若 k 为奇数,则 加上 an=n 知结论成立。 ⅱ)若这 n 个数中没有一个被 n 整除,则它们除以 n 的余数只能取 1,2,?,n-1 这 n-1 个值,由抽屉 原理知其中必有两个数除以 n 的余数相同, 它们之差被 n 整除, 而 a2-a1 不被 n 整除, 故这个差必为 ai, aj, ak-1 中若干个数之和,同ⅰ)可知结论成立。 2.极端原理。 例 2 在 n×n 的方格表的每个小方格内写有一个非负整数, 并且在某一行和某一列的交叉点处如果

写有 0,那么该行与该列所填的所有数之和不小于 n。证明:表中所有数之和不小于



[证明] 计算各行的和、各列的和,这 2n 个和中必有最小的,不妨设第 m 行的和最小,记和为 k, 则该行中至少有 n-k 个 0, 这 n-k 个 0 所在的各列的和都不小于 n-k, 从而这 n-k 列的数的总和不小于(n-k)2,

其余各列的数的总和不小于 k2,从而表中所有数的总和不小于(n-k)2+k2≥ 3.不变量原理。 俗话说,变化的是现象,不变的是本质,某一事情反复地进行,寻找不变量是一种策略。 例 3 设正整数 n 是奇数,在黑板上写下数 1,2,?,2n,然后取其中任意两个数 a,b,擦去这两个 数,并写上|a-b|。证明:最后留下的是一个奇数。 [证明] 设 S 是黑板上所有数的和,开始时和数是 S=1+2+?+2n=n(2n+1),这是一个奇数,因为|a-b| 与 a+b 有相同的奇偶性,故整个变化过程中 S 的奇偶性不变,故最后结果为奇数。 例 4 数 a1, a2,?,an 中每一个是 1 或-1,并且有 S=a1a2a3a4+ a2a3a4a5+?+ana1a2a3=0. 证明:4|n. [证明] 如果把 a1, a2,?,an 中任意一个 ai 换成-ai, 因为有 4 个循环相邻的项都改变符号, S 模 4 并不 改变, 开始时 S=0, 即 S≡0, 即 S≡0(mod4)。 经有限次变号可将每个 ai 都变成 1, 而始终有 S≡0(mod4), 从而有 n≡0(mod4),所以 4|n。 4.构造法。 例 5 是否存在一个无穷正整数数列 a1,<a2<a3<?,使得对任意整数 A,数列 中仅有有

限个素数。 [证明] 存在。取 an=(n!)3 即可。当 A=0 时,{an}中没有素数;当|A|≥2 时,若 n≥|A|,则 an+A 均 为|A|的倍数且大于|A|,不可能为素数;当 A=±1 时,an±1=(n!±1)?[(n!)2±n!+1],当≥3 时均为合数。 从而当 A 为整数时,{(n!)3+A}中只有有限个素数。

例 6 一个多面体共有偶数条棱,试证:可以在它的每条棱上标上一个箭头,使得对每个顶点,指 向它的箭头数目是偶数。 [证明] 首先任意给每条棱一个箭头,如果此时对每个顶点,指向它的箭头数均为偶数,则命题成 立。若有某个顶点 A,指向它的箭头数为奇数,则必存在另一个顶点 B,指向它的箭头数也为奇数(因 为棱总数为偶数) ,对于顶点 A 与 B,总有一条由棱组成的“路径”连结它们,对该路径上的每条棱, 改变它们箭头的方向,于是对于该路径上除 A,B 外的每个顶点,指向它的箭头数的奇偶性不变,而对 顶点 A,B,指向它的箭头数变成了偶数。如果这时仍有顶点,指向它的箭头数为奇数,那么重复上述 做法, 又可以减少两个这样的顶点, 由于多面体顶点数有限, 经过有限次调整, 总能使和是对每个顶点, 指向它的箭头数为偶数。命题成立。 5.染色法。 例 7 能否在 5×5 方格表内找到一条线路,它由某格中心出发,经过每个方格恰好一次,再回到出 发点,并且途中不经过任何方格的顶点? [解] 不可能。将方格表黑白相间染色,不妨设黑格为 13 个,白格为 12 个,如果能实现,因黑白 格交替出现,黑白格数目应相等,得出矛盾,故不可能。 6.凸包的使用。 给定平面点集 A,能盖住 A 的最小的凸图形,称为 A 的凸包。 例 8 试证:任何不自交的五边形都位于它的某条边的同一侧。 [证明] 五边形的凸五包是凸五边形、凸四边形或者是三角形,凸包的顶点中至少有 3 点是原五边 形的顶点。五边形共有 5 个顶点,故 3 个顶点中必有两点是相邻顶点。连结这两点的边即为所求。 7.赋值方法。 例 9 由 2×2 的方格纸去掉一个方格余下的图形称为拐形,用这种拐形去覆盖 5×7 的方格板,每 个拐形恰覆盖 3 个方格,可以重叠但不能超出方格板的边界,问:能否使方格板上每个方格被覆盖的层 数都相同?说明理由。 [解] 将 5×7 方格板的每一个小方格内填写数-2 和 1。如图 18-1 所示,每个拐形覆盖的三个数之 和为非负。因而无论用多少个拐形覆盖多少次,盖住的所有数字之和都是非负的。另一方面,方格板上 数字的总和为 12×(-2)+23×1=-1,当被覆盖 K 层时,盖住的数字之和等于-K,这表明不存在满足题中 要求的覆盖。 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 -

8.图论方法。 例 10 生产由六种颜色的纱线织成的双色布, 在所生产的双色布中, 每种颜色的纱线至少与其他三 种颜色的纱线搭配过。证明:可以挑出三种不同的双色布,它们包含所有的颜色。 [证明] 用点 A1,A2,A3,A4,A5,A6 表示六种颜色,若两种颜色的线搭配过,则在相应的两点 之间连一条边。由已知,每个顶点至少连出三条边。命题等价于由这些边和点构成的图中有三条边两两 不相邻(即无公共顶点) 。因为每个顶点的次数≥3,所以可以找到两条边不相邻,设为 A1A2,A3A4。 (1)若 A5 与 A6 连有一条边,则 A1A2,A3A4,A5A6 对应的三种双色布满足要求。 (2) 若 A5 与 A6 之间没有边相连, 不妨设 A5 和 A1 相连, A2 与 A3 相连, 若 A4 和 A6 相连, 则 A1A2,

A3A4,A5A6 对应的双色布满足要求; 若 A4 与 A6 不相连, 则 A6 与 A1 相连, A2 与 A3 相连, A1A5, A2A6, A3A4 对应的双色布满足要求。 综上,命题得证。 二、习题精选 1.药房里有若干种药,其中一部分药是烈性的。药剂师用这些药配成 68 副药方,每副药方中恰有 5 种药,其中至少有一种是烈性的,并且使得任选 3 种药恰有一副药方包含它们。试问:全部药方中是 否一定有一副药方至少含有 4 种烈性药?(证明或否定) 2.21 个女孩和 21 个男孩参加一次数学竞赛, (1)每一个参赛者最多解出 6 道题; (2)对每一个 女孩和每一个男孩至少有一道题被这一对孩子都解出。 求证: 有一道题至少有 3 个女孩和至少有 3 个男 孩都解出。 3.求证:存在无穷多个正整数 n,使得可将 3n 个数 1, 2,?, 3n 排成数表 a1, a2?an b1, b2?bn c1, c2?cn 满足: (1)a1+b1+c1= a2+b2+c2=?= an+bn+cn=,且为 6 的倍数。 (2)a1+a2+?+an= b1+b2+?+bn= c1+c2+?+cn=,且为 6 的倍数。 4.给定正整数 n,已知克数都是正整数的 k 块砝码和一台天平可以称出质量为 1,2,?,n 克的 所有物品,求 k 的最小值 f(n)。 5.空间中有 1989 个点,其中任何 3 点都不共线,把它们分成点数各不相同的 30 组,在任何 3 个 不同的组中各取一点为顶点作三角形。试问:为使这种三角形的总数最大,各组的点数应分别为多少? 6.在平面给定点 A0 和 n 个向量 a1,a2,?,an,且使 a1+a2+?+an =0。这组向量的每一个排列 都定义一个点集:A1,A2,?,An=A0,使得 求证:存在一个排列,使由它定义的所有点 A1,A2,?,An-1 都在以 A0 为角顶的某个 600 角的内 部和边上。 7.设 m, n, k∈N,有 4 个酒杯,容量分别为 m,n,k 和 m+n+k 升,允许进行如下操作:将一个杯中 的酒倒入另一杯中或者将另一杯倒满为止。开始时,大杯中装满酒而另 3 个杯子却空着,问:为使对任 何 S∈N,S<m+n+k,都可经过若干次操作,使得某个杯子中恰有 S 升酒的关于 m,n,k 的充分必要条件 是什么? 8.设有 30 个人坐在一张圆桌的周围,其中的每个人都或者是白痴,或者是聪明人。对在座的每个 人都提问: “你右边的邻座是聪明人还是白痴?”聪明人总是给出正确的答案,而白痴既可能回答正确, 也可能回答不正确。已知白痴的个数不超过 F,求总可以指出一位聪明人的最大的 F。 9. 某班共有 30 名学生, 每名学生在班内都有同样多的朋友, 期末时任何两人的成绩都可分出优劣, 没有相同的。问:比自己的多半朋友的成绩都要好的学生最多能有多少人?


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