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高中数学 (2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系)示范教案 新人教A版必修2


2.1.3

空间中直线与平面之间的位置关系
整体设计

教学分析 空间中直线与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系, 直线与平面的相交 和平行是本节的重点和难点.空间中直线与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的, 要求学生在公理 1 的基础上会判断直线与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空 间中直线与平面之

间的位置关系. 三维目标 1.结合图形正确理解空间中直线与平面之间的位置关系. 2.进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换. 3.进一步培养学生的空间想象能力. 重点难点 正确判定直线与平面的位置关系. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.(情境导入) 一支笔所在的直线与我们的课桌面所在的平面,可能有几个交点?可能有几种位置关系? 思路 2.(事例导入) 观察长方体(图 1) ,你能发现长方体 ABCD—A′B′C′D′中,线段 A′B 所在的直线与 长方体 ABCD—A′B′C′D′的六个面所在平面有几种位置关系?

图1 推进新课 新知探究 提出问题 ①什么叫做直线在平面内? ②什么叫做直线与平面相交? ③什么叫做直线与平面平行? ④直线在平面外包括哪几种情况? ⑤用三种语言描述直线与平面之间的位置关系. 活动:教师提示、点拨从直线与平面的交点个数考虑,对回答正确的学生及时表扬. 讨论结果:①如果直线与平面有无数个公共点叫做直线在平面内. ②如果直线与平面有且只有一个公共点叫做直线与平面相交. ③如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行. ④直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外. ⑤

1

直线在平面内

a ?α

直线与平面相交

a∩α =A

直线与平面平行 应用示例

a∥α

思路 1 例 1 下列命题中正确的个数是( ) ①若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内,则 l∥α ②若直线 l 与平面 α 平行,则 l 与平面 α 内的任意一条直线都平行 ③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行 ④若直线 l 与平面 α 平行,则 l 与平面 α 内的任意一条直线都没有公共点 A.0 B.1 C.2 D.3 分析:如图 2,

图2 我们借助长方体模型,棱 AA1 所在直线有无数点在平面 ABCD 外,但棱 AA1 所在直线与平 面 ABCD 相交,所以命题①不正确; A1B1 所在直线平行于平面 ABCD,A1B1 显然不平行于 BD,所以命题②不正确; A1B1∥AB,A1B1 所在直线平行于平面 ABCD,但直线 AB ? 平面 ABCD,所以命题③不正确; l 与平面 α 平行,则 l 与 α 无公共点,l 与平面 α 内所有直线都没有公共点,所以命题 ④正确. 答案:B 变式训练 请讨论下列问题: 若直线 l 上有两个点到平面 α 的距离相等,讨论直线 l 与平面 α 的位置关系.

图3 解: 直线 l 与平面 α 的位置关系有两种情况 (如图 3) , 直线与平面平行或直线与平面相交. 点评:判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型,结合图形来考虑,注意考虑问题要 全面.
2

例 2 已知一条直线与三条平行直线都相交,求证:这四条直线共面. 已知直线 a∥b∥c,直线 l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C. 求证:l 与 a、b、c 共面. 证明:如图 4,∵a∥b,

图4 ∴a、b 确定一个平面,设为 α . ∵l∩a=A,l∩b=B,∴A∈α ,B∈α . 又∵A∈l,B∈l,∴AB ? α ,即 l ? α . 同理 b、c 确定一个平面 β ,l ? β , ∴平面 α 与 β 都过两相交直线 b 与 l. ∵两条相交直线确定一个平面, ∴α 与 β 重合.故 l 与 a、b、c 共面. 变式训练 已知 a ? α ,b ? α ,a∩b=A,P∈b,PQ∥a, 求证:PQ ? α . 证明:∵PQ∥a,∴PQ、a 确定一个平面,设为 β . ∴P∈β ,a ? β ,P ? a.又 P∈α ,a ? α ,P ? a, 由推论 1:过 P、a 有且只有一个平面, ∴α 、β 重合.∴PQ ? α . 点评:证明两个平面重合是证明直线在平面内问题的重要方法. 思路 2 例 1 若两条相交直线中的一条在平面 α 内,讨论另一条直线与平面 α 的位置关系. 解:如图 5,另一条直线与平面 α 的位置关系是在平面内或与平面相交.

图5 用符号语言表示为:若 a∩b=A,b ? α ,则 a ? α 或 a∩α =A. 变式训练 若两条异面直线中的一条在平面 α 内,讨论另一条直线与平面 α 的位置关系. 分析:如图 6,另一条直线与平面 α 的位置关系是与平面平行或与平面相交.

图6 用符号语言表示为:若 a 与 b 异面,a ? α ,则 b∥α 或 b∩α =A. 点评:判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型,结合图形来考虑,注意考虑问题要 全面. 例 2 若直线 a 不平行于平面 α ,且 a ? α ,则下列结论成立的是( )
3

A.α 内的所有直线与 a 异面 B.α 内的直线与 a 都相交 C.α 内存在唯一的直线与 a 平行 D.α 内不存在与 a 平行的直线 分析:如图 7,若直线 a 不平行于平面 α ,且 a ? α ,则 a 与平面 α 相交.

图7 例如直线 A′B 与平面 ABCD 相交,直线 AB、CD 在平面 ABCD 内,直线 AB 与直线 A′B 相交, 直线 CD 与直线 A′B 异面, 所以 A、 B 都不正确; 平面 ABCD 内不存在与 a 平行的直线, 所以应选 D. 答案:D 变式训练 不在同一条直线上的三点 A、 B、 C 到平面 α 的距离相等, 且 A ? α ,给出以下三个命题: ①△ABC 中至少有一条边平行于 α ;②△ABC 中至多有两边平行于 α ;③△ABC 中只可能有 一条边与 α 相交. 其中真命题是_____________. 分析:如图 8,三点 A、B、C 可能在 α 的同侧,也可能在 α 两侧,

图8 其中真命题是①. 答案:① 变式训练 若直线 a ? α ,则下列结论中成立的个数是( ) (1)α 内的所有直线与 a 异面 (2)α 内的直线与 a 都相交 (3)α 内存在唯一的直线与 a 平行 (4)α 内不存在与 a 平行的直线 A.0 B.1 C.2 D.3 分析:∵直线 a ? α ,∴a∥α 或 a∩α =A. 如图 9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选 A.

图9 答案:A 点评:判断一个命题是否正确要善于找出空间模型(长方体是常用空间模型) ,另外考虑问 题要全面即注意发散思维. 知能训练 已知 α ∩β =l,a ? α 且 a ? β ,b ? β 且 b ? α ,又 a∩b=P. 求证:a 与 β 相交,b 与 α 相交.
4

证明:如图 10,∵a∩b=P,

图 10 ∴P∈a,P∈b. 又 b ? β ,∴P∈β . ∴a 与 β 有公共点 P,即 a 与 β 相交. 同理可证,b 与 α 相交. 拓展提升 过空间一点,能否作一个平面与两条异面直线都平行? 解:(1)如图 11, C′D′与 BD 是异面直线,可以过 P 点作一个平面与两异面直线 C′D′、BD 都平行. 如图 12,

图 11 图 12 图 13 显然,平面 PQ 是符合要求的平面. (2)如图 13,当点 P 与直线 C′D′确定的平面和直线 BD 平行时, 不存在过 P 点的平面与两异 面直线 C′D′、BD 都平行. 点评:判断一个命题是否正确要善于找出空间模型(长方体是常用空间模型) ,另外考虑问 题要全面即注意发散思维. 课堂小结 本节主要学习直线与平面的位置关系,直线与平面的位置关系有三种: ①直线在平面内——有无数个公共点, ②直线与平面相交——有且只有一个公共点, ③直线与平面平行——没有公共点. 另外,空间想象能力的培养是本节的重点和难点. 作业 课本习题 2.1 A 组 7、8. 设计感想 本节内容较少, 教材没有讨论线面平行的判定和性质, 只介绍了直线与平面的位置关系, 因此认为本节空洞无物,那就错了.直线与平面的位置关系是立体几何的重要位置关系,虽 没有严格推理和证明, 却正好发挥我们空间想象能力和发散思维能力; 本节的设计充分利用 空间模型展现直线与平面的位置关系, 提出了一些具有挑战性的问题以激发学生的空间想象 能力和发散思维能力.

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