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2011届常州北郊中学高三学情分析(二)


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2011 届常州北郊中学高三学情分析(二)2010.9 常州北郊中学高三学情分析( 高三学情分析
小题, 请把答案填 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 填空题: ........ 1、已知集合 A = { x

| x 5 x + 6 > 0, x ∈ R}, B = { x | x 2a |≤ 2, x ∈ R} ,若 A ∪ B = R ,则实数 a 的
2

取值范围是______▲_____. 2、不等式

1 1 ≥ 2 的解集为 x 1 x 1

▲ ▲ .

3、设 x, y 是满足 2 x + y = 4 的正数,则 lg x + lg y 的最大值是
2 2

4、若复数 z = [(log 3 x ) 2 log 3 x 3] + [(log 3 x ) 5 log 3 x + 6]i 是纯虚数( i 为虚数单位),则实数

x =_______▲______.
5、已知命题 p : x ∈ [1,2], x 2 a ≥ 0 ,命题 q : x 0 ∈ R, x 0 + 2ax 0 + 2 a = 0 ,若命题 “ p且q ”是
2

真命题,则实数 a 的取值范围是



6、若函数 y = mx 2 + ( m 1) x + 3 在 [ 1, +∞) 上为减函数,则实数 m 的取值范围为 ▲

x + 3 y ≥ 4 7、 若不等式组 3 x + y ≤ 4 x≥0


所表示的平面区域被直线 y = kx +

4 分为面积相等的两部分, k 的值是 则 3

8 、 已 知 等 差 数 列 {an } , {bn } 的 前 n 项 和 为 S n , Tn , 若 对 于 任 意 的 自 然 数 n , 都 有

S n 2n + 3 = ,则 Tn 3n + 6

a7 a3 + = b5 + b7 b4 + b8
2



9、已知函数 f ( x) = x x ,若 f log 3



1 < f (2) ,则实数 m 的取值范围是 m +1





10、设定义在 R 的函数 f (x) 同时满足以下条件:① f ( x) + f ( x) = 0 ;② f ( x) = f ( x + 2) ;

1 3 5 ③当 0 ≤ x < 1 时, f ( x) = 2 x 1 。则 f ( ) + f (1) + f ( ) + f (2) + f ( ) = _____▲________ 2 2 2 11、作为对数运算法则: lg( a + b ) = lg a + lg b ( a > 0, b > 0 )是不正确的。但对一些特殊值是成立
的,例如: lg(2 + 2) = lg 2 + lg 2 。那么,对于所有使 lg( a

+ b ) = lg a + lg b ( a > 0, b > 0 )成立的

a , b 应满足函数 a = f (b) 表达式
为 ▲ 12、已知: t 为常数,函数 y =| x 2 2 x + t | 在区间 [0, 3] 上的最大值为 3 ,则实数 t = _▲.
2 2 13、若关于 x 的不等式 ( 2 x 1) < ax 的解集中的整数恰有 3 个,则实数 a 的取值范围

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14、对于函数 f ( x) = mx

x 2 + 2 x + n ( x ∈ [2,+∞) ) ,若存在闭区间

[a, b] [2,+∞) (a < b) ,使得对任意 x ∈ [a, b] ,恒有 f (x) = c ( c 为实常数) ,则实数 m, n 的值依 ≠ .
次为 ▲ . . 解答题: 小题, 请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明 ....... 过程或演算步骤. 过程或演算步骤. 15、 (本小题满分 14 分)

已知集合 A = t t使 x x + 2tx 4t 3 ≥ 0 = R ,
2

{ {
2

} }

集合 B = t t使 x x + 2tx 2t = 0 = φ ,其中 x , t 均为实数, (1)求 A ∩ B ,(2)设 m 为实数, g ( m ) = m 3 ,求 M = m g ( m ) ∈ A ∩ B
2

{ {

} }

{

}

16、 (本小题满分 14 分) 记 min{p, q} =

p, 当p ≤ q .若函数 f ( x ) = min 3 + log 1 x, log 2 x , q. 当p > q 4

(1)用分段函数形式写出函数 f (x ) 的解析式; (2)求 f ( x ) < 2 的解集.

17、 (本小题满分 15 分) 国际上常用恩格尔系数(记作 n)来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况,它的计算公式为:

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n=

食品消费支出总额 × 100% ,各种类型家庭的 n 如下表所示: 消费支出总额
贫困 n>60% 温饱 50%<n≤60% 小康 40%<n≤50% 富裕 30%<n≤40% 最富裕 n≤30%

家庭类型 n

根据某市城区家庭抽样调查统计,2003 年初至 2007 年底期间,每户家庭消费支出总额每年平均 增加 720 元,其中食品消费支出总额每年平均增加 120 元。 (1)若 2002 年底该市城区家庭刚达到小康,且该年每户家庭消费支出总额 9600 元,问 2007 年底能 否达到富裕?请说明理由。 (2)若 2007 年比 2002 年的消费支出总额增加 36%,其中食品消费支出总额增加 12%,问从哪一年底 起能达到富裕?请说明理由。

18、 (本小题满分 15 分) 设函数 y = f ( x ), x ∈ R . (1)若函数 y = f (x ) 为偶函数并且图像关于直线 x = a ( a ≠ 0) 对称,求证:函数 y = f (x ) 为周期函数. (2)若函数 y = f (x ) 为奇函数并且图像关于直线 x = a ( a ≠ 0) 对称,求证:函数 y = f (x ) 是以 4a 为周 期的函数. (3)请对(2)中求证的命题进行推广,写出一个真命题,并予以证明.

19、 (本小题满分 16 分) 已知 a > 0 ,函数 f ( x ) = x | x a | +1( x ∈ R ) .

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(1)当 a = 1 时,求所有使 f ( x ) = x 成立的 x 的值; (2)当 a ∈ (0, 3) 时,求函数 y = f ( x ) 在闭区间 [1, 2] 上的最小值; (3)试讨论函数 y = f ( x ) 的图像与直线 y = a 的交点个数.

20、 (本小题满分 16 分)

是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f ( x ) 的上界. 已知函数 f ( x ) = 1 + a
x x

定义在 D 上的函数 f ( x ) , 如果满足: 对任意 x ∈ D , 存在常数 M > 0 , 都有 | f ( x ) |≤ M 成立, 则称 f ( x )

(1)当 a = 1 时,求函数 f ( x ) 在 ( ∞,0 ) 上的值域,并判断函数 f ( x ) 在 ( ∞,0 ) 上是否为有界函数,请说 明理由; (2)若函数 f ( x ) 在 [ 0,+∞ ) 上是以 3 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围; (3)若 m > 0 ,函数 g ( x ) 在 [ 0,1] 上的上界是 T (m) ,求 T (m) 的取值范围.

1 m 2x 1 1 + ; g ( x) = . 1+ m 2x 2 4

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1、

1 ≤a≤2 2

2、 ( 1,0] ∪ (1,+∞ ) 7、

3、 lg 2 ;4、 9、 ( ,8) 14、 ± 1 和 1

1 3

5、 a ≤ 2或a = 1 11、 a =

6、 [ 1, 0] 12、0 或-2

7 3

8、

7 13

8 9

10、 2 1

b (b > 1) b 1

13、

25 49 , 9 16

15、 A ∩ B = ( 2,1], M =

[

2 ,1 ∪ 1, 2

) (

]

3 + log 1 x, 3 + log 1 x ≤ log 2 x 4 4 16、 (1) f ( x) = min 3 + log 1 x, log 2 x = 3分 3 + log 1 x > log 2 x 4 log 2 x , 4

解 3 + log 1 x = log 2 x 得 x = 4 .又函数 y1 = 3 + log 1 x 在 (0,+∞) 内递减, y 2 = log 2 x 在 (0,+∞) 内
4 4

递增,所以当 0 < x < 4 时, 3 + log 1 x > log 2 x ;当 x ≥ 4 时, 3 + log 1 x ≤ log 2 x . 4 分
4 4

log 2 x, 0 < x < 4 所以 f ( x) = 3 + log x, x ≥ 4 . 1 分 1 4 x ≥ 4, 0 < x < 4, (2) f ( x) < 2 等价于: ①或 3 + log x < 2 ②. 3 分 1 log 2 x < 2 4 解得: 0 < x < 4或x > 4 ,即 f ( x) < 2 的解集为 (0,4) ∪ (4,+∞) .3 分
17、解: (1)因为 2002 年底刚达到小康,所以 n=50% …………1 分 且 2002 年每户家庭消费支出总额为 9600 元, 故食品消费支出总额为 9600×50%=4800 元 …………2 分 则 n 2007 =

4800 + 5 × 120 5400 = ≈ 41% > 40% ,即 2007 年底能达到富裕。 9600 + 5 × 720 13200
…………6 分

(2)设 2002 年的消费支出总额为 a 元,则 a + 5 × 720 = a (1 + 36%), 从而求得 a = 10000 元, …………8 分 又设其中食品消费支出总额为 b元, 则b + 5 × 120 = b(1 + 12%), 从而求得 b = 5000 元。 …………10 分 当恩格尔系数为 30% < n ≤ 40%时, 有30% <

解得 5.95 ≤ x < 20.8. …………13 分 则 6 年后即 2008 年底起达到富裕。 …………15 分

5000 + 120 x ≤ 40% , 10000 + 720 x

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18、 (1)由图像关于 x = a 对称得 f (2a x) = f ( x) ,即 f (2a + x) = f ( x) ,2 分 因为 f (x) 为偶函数,所以 f ( x) = f ( x) ,从而 f (2a + x) = f ( x) ,所以 f (x) 是以 2a 为周期的 函数. 2 分 (2)若 f (x) 为奇函数,则图像关于原点对称, f ( x) = f ( x) , 2 分 由条件得 f (2a x) = f ( x),∴ f (2a + x) = f ( x) = f ( x) , 所以 f (4a + x) = f ( x) , f (x) 是以 4a 为周期的函数. 2 分 (3) (本小题评分说明:下面解答给出的是满分结论,如果是关于点或直线的部分推广,应 视解答程度适当给分,具体标准结合考生答题情况制订细则。但是没有把握推广的内涵,以 至于没有给出推广意义下的真命题,或写出的命题不是真命题。这类答卷在写出一个真命题、 并予以证明中,应得 0 分。 ) 推广:若函数 y = f (x) 图像关于点 (m, n) 对称且关于直线 x = a (a ≠ 0) 对称,则函数 f (x) 是以
4(m a ) 为周期的周期函数.3 分

由条件图像关于点 (m, n) 对称,故 2n f ( x) = f (2m x) ,又图像关于直线 x = a (a ≠ 0) 对称,
f (2a x) = f ( x) ,所以 2n f (2a x) = f (2m x) ,即 2n f ( x) = f (2m 2a + x) .2 分

当 a = m 时, f ( x) = n 为常值函数,是周期函数. 当 a≠m 时 , 由
2 n f ( x ) = f ( 2m 2 a + x )

得 因 此

2 n f ( 2 m 2a + x ) = f ( 4 m 4a + x )

∴ 2n (2n f ( x)) = f (4m 4a + x)



f [ 4( m a ) + x ] = f ( x ) , 所以 f ( x) 是以 4(m a ) 为周期的函数.2 分
19、答案:(1) x | x 1 | +1 = x (2) f ( x ) =
O

所以 x = 1 或 x = 1 ;

2 x ax + 1, x ≥ a , 2 x + ax + 1, x < a
a 1 ≤ < 1, 2 2

1 .当 0 < a ≤ 1 时, x ≥ 1 ≥ a ,这时, f ( x ) = x 2 ax + 1, 对称轴 x =

所以函数 y = f ( x ) 在区间 [1, 2] 上递增, f ( x ) min = f (1) = 2 a ; 2 .当 1 < a ≤ 2 时, x = a 时函数 f ( x ) min = f ( a ) = 1 ;
O

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3 . 当 2 < a < 3 时, x ≤ 2 < a ,这时, f ( x ) = x 2 + ax + 1, 对称轴 x =
O

a 3 ∈ (1, ) , 2 2

f (1) = a, f (2) = 2a 3, ∵ (2a 3) a = a 3 < 0
所以函数 f ( x ) min = f (2) = 2a 3 ; (3)因为 a > 0, 所以 a >
2

a , 2

所以 y1 = x ax + 1 在 [a, +∞ ) 上递增;

a a y2 = x 2 + ax + 1 在 ( ∞ , ) 递增,在 [ , a ) 上递减. 2 2
因为 f ( a ) = 1 ,所以当 a = 1 时,函数 y = f ( x ) 的图像与直线 y = a 有 2 个交点; 又 f( )=

a 2

a2 a + 1 ≥ 2i i1 = a, 当且仅当 a = 2 时,等号成立. 4 2

所以,当 0 < a < 1 时,函数 y = f ( x ) 的图像与直线 y = a 有 1 个交点; 当 a = 1 时,函数 y = f ( x ) 的图像与直线 y = a 有 2 个交点; 当 1 < a < 2 时,函数 y = f ( x ) 的图像与直线 y = a 有 3 个交点; 当 a = 2 时,函数 y = f ( x ) 的图像与直线 y = a 有 2 个交点; 当 a > 2 时,函数 y = f ( x ) 的图像与直线 y = a 有 3 个交点.

1 1 20. [解]: (1)当 a = 1 时, f ( x) = 1 + + 2 4

x

x

因为 f (x ) 在 ( ∞,0 ) 上递减,所以 f ( x) > f (0) = 3 ,即 f (x ) 在 ( ∞,1) 的值域为 ( 3, +∞ ) 故不存在常数 M > 0 ,使 | f ( x ) |≤ M 成立 所以函数 f ( x ) 在 ( ∞,1) 上不是有界函数。 ……………4 分(没有判断过程,扣 2 分) (2)由题意知, f ( x) ≤ 3 在 [1, +∞ ) 上恒成立。………5 分

3 ≤ f ( x) ≤ 3 ,
x

1 1 1 4 ≤ a ≤ 2 4 2 4
x

x

x

x



1 1 4 2 x ≤ a ≤ 2 2 x 在 [0,+∞ ) 上恒成立………6 分 2 2
x x 1 1 x x ≤ a ≤ 2 2 4 2 2 max 2 min



………7 分

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设 2 = t , h(t ) = 4t , p (t ) = 2t ,由 x ∈ [ 0,+∞ ) 得 t≥1,
x

1 t

1 t

设 1 ≤ t1 < t2 , h(t1 ) h(t2 ) =

( t2 t1 )( 4t1t2 1)
t1t2

>0

p(t1 ) p(t 2 ) =

(t1 t 2 )(2t1t 2 + 1) < 0
t1 t 2
p (t ) 在 [1, +∞ ) 上的最小值为 p(1) = 1

所以 h(t ) 在 [1, +∞ ) 上递减, p (t ) 在 [1, +∞ ) 上递增,………9 分(单调性不证,不扣分)

h(t ) 在 [1, +∞ ) 上的最大值为 h(1) = 5 , 2 , m 2x +1 m>0 , x ∈ [0,1] ∴ g (1) ≤ g ( x) ≤ g (0)


所以实数 a 的取值范围为 [ 5,1] 。…………………………………10 分 (3) g ( x ) = 1 + ∵ ∴

g ( x ) 在 [ 0,1] 上递减,

1 2m 1 m ≤ g ( x) ≤ ………12 分 1 + 2m 1+ m

①当

1 m 1 2m 2 1 m ,即 m ∈ 0, ≥ 2 时, g ( x) ≤ 1 + m , 1 + m 1 + 2m
T ( m) ≥
1 m ,………14 分 1+ m

此时

②当

2 1 m 1 2m 1 2m ,即 m ∈ , < ,+∞ 时, g ( x) ≤ 1 + m 1 + 2m 2 1 + 2m
T ( m) ≥
1 2m , 1 + 2m

此时

综上所述,当 m ∈ 0,



2 1 m , +∞ ; 时, T (m) 的取值范围是 2 1+ m

当m∈

2 1 2m ,+∞ 时, T (m) 的取值范围是 , +∞ ………16 1 + 2m 2


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