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高中数学竞赛专题之数列


高中数学竞赛专题之数列
一、数列的性质 等差数列与等比数列是中学阶段的两种重要数列,也是各年高考、竞赛的重点,现将它们的 主要性质及内容对照讨论如下: 性质 1:若 a1 , a 2 , ?, a n , ?是等差(等比)数列,那么 ai , ai ? j , ?, ai ? kj , ?仍是等差(等 比)数列。 性质 2:若 {a n } 为等差数列,且
<

br />? il ?? jl ,那么 ? ail ?? a jl (脚标和相同则对应的
l ?1 l ?1 l ?1 l ?1

k

k

k

k

项的和相同) ;若 {a n } 为等比数列,且 应的项的积相同) 。 性质 3:若 {a n } 为等差数列,记 S1 ?

? il ?? jl ,那么 ? ail ? ? a jl (脚标和相同则对
l ?1 l ?1

k

k

k

k

l ?1

l ?1

?a ,S
i ?1 i

k

2

? ? ai ? k , ?, S m ? ? ai ? ( m ?1) k , ? ,那么
i ?1 i ?1

k

k

记P {S m } 仍为等差数列,{a n } 为等比数列, 1 ? ? ai , P 2 ? ? ai ? k , ?, P m ? ? ai ? ( m?1) k , ? ,
l ?1 l ?1 l ?1

k

k

k

那么 {Pm } 仍为等比数列。 性质 4:若 {a n } 为等比数列,公比为 q,且|q|〈1,则 lim S n ?
n ??

a1 。 1? q

例 1、若 {a n } 、 {bn } 为等差数列,其前 n 项和分别为 S n , Tn ,若

Sn 2n , ? Tn 3n ? 1
4 9


则 lim

an ?( n ?? b n

)A.1

B.

6 3

C.

2 3

D.

例 2、等差数列 {a n } 的前 m 项和为 30,前 2m 项和为 100,则它的前 3m 项的和为( A.130 B. 170 C. 210 D.260

例 3、 {a n } 、 {bn } 为等差数列,其前 n 项和分别为 S n , Tn ,若

S n 3n ? 31 ? Tn 31n ? 3

(1)求

b b28 的值, (2)求使 n 为整数的所有正整数 n。 an a 28

例 4、在等差数列 {a n } 中,若 a10 ? 0 ,则有等式

a1 ? a2 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? a19?n , (n ? 19, n ? N ) 成立,类比上述性质,相应地:
在等比数列 {bn } 中,若 b9 ? 1 ,则有等式 成立。

例 5、一个正数,其小数部分、整数部分和其本身成等比数列,则该数为



例 6、 设 M n ? {(十进制) Tn n位纯小数 0.a1a2 ?an | ai 只取0或1 ,i ? 1,2,?n, an ? 1}, 是 M n 的元素个数, S n 是所有元素的和,则 lim

Sn ? n ?? T n



例 7、设 A={1,2,…n}, S n 是 A 的所有非空真子集元素的和, Bn 表示 A 的子集个数,求

n ??

lim

Sn n 2 Bn

的值。

例 8 、 设 数 列 {a n } 的 前 n 项 和 为 S n ? 2a n ? 1, (n ? 1,2, ?) , 数 列 {bn } 满 足

b1 ? 3, bk ?1 ? ak ? bk , (k ? 1,2, ?) ,求数列 {bn } 的前 n 项和。
方法:首先找出 {a n } 的通项式,在找出 {bn } 的通项式

例 9、设 {a n } 为等差数列, {bn } 为等比数列,且 b1 ? a1 , b2 ? a2 , b3 ? a3 , (a1 ? a2 ) , 又 lim(b1 ? b2 ? ? ? bn ) ?
n ??

2

2

2

2 ? 1 ,试求 {a n } 的通项公式。
3 (a n ? 1), (n ? N ) ,数列 {bn } 的通项 2

例 10、设 S n 是等差数列 {a n } 的前 n 项和,且 S n ? 式为 bn ? 4n ? 3 , (1)求数列 {a n } 的通项公式,

(2)若 d ?{a1 , a2 , ?an , ? } ? {b1 , b2 , ?bn , ? } ,则称 d 为数列 {a n } 与 {bn } 的公共项, 按 它 们 在 原 数 列 中 的 先 后 顺 序 排 成 一 个 新 的 数 列 {d n } , 证 明 : {d n } 的 通 项 公 式 为

d n ? 32n?1 , (n ? N ) 。

例 11、 n 2 (n ? 4) 个正数排成 n 行 n 列:

a11 , a12 , a13 , ? a1n
a 21 , a 22 , a 23 ? a 2 n
??????

a n1 , an 2 , an3 , ? a nn
其 中每 一行的 数成 等差数 列, 每一列 的数成 等比 数列 ,并且 所有的 公比 相等 ,已知

1 3 a 24 ? 1, a 42 ? , a 43 ? ,求 a11 + a 22 + a 33 ? ? + a nn 的值。 8 16

作业: 1、将正奇数集合{1,3,5,…}由小到大按 n 组有(2n-1)个奇数进行分组:{1}、{3,5,7}、 {9,11,13,15,17}….,则 1991 位于 组中。 2 、 在 等 差 数 列 {a n } 中 , 公 差 d ? 0 , a 2 是a1与a 4 的 等 比 中 项 , 已 知 数 列

a1 , a3 , ak1 , ak 2 , ?, akn , ?成等比数列,求数列 {k n } 的通项公式。

3、 设正数数列 {a n } 满足 2 S n ? a n ? 1, bn ? a n ? 2a n ? 3 , (1) 求数列 {a n } 的通项公式, (2)设 M ? am ? bn ? m 2 ? n 2 ? 2(am bn ? mn) ,试求 M 的最小值。
2 2

2

二、数学归纳法 数学归纳法在一定程度上考察了以下能力: (1)从整体上直接领悟数学对象本质的能力; (2)从数学问题、数式结构、数式关系中洞察对象本质的能力; (3)从解题思路和问题结 果中领悟数学本质的能力。 第一数学归纳法:设 T (n) 是一个关于自然数 n 的命题,满足以下条件: (1)T (1) 是成立的, (2)假设 T (k ) 成立能推出 T (k ? 1) 成立,则命题对一切自然数 n 都成立。

第二数学归纳法:设 T (n) 是一个关于自然数 n 的命题,满足以下条件: (1)T (1) 是成立的, (2)假设 T (1) ,T (2) ,… T (k ) 成立能推出 T (k ? 1) 成立,则命题对一切自然数 n 都成立。 解题思维过程:尝试——观察——归纳、猜想——证明,即从特殊关系中概括一般规律, 建立猜想,给出严格证明。

解题策略:从数学问题、数式结构、数式关系、解题思路和问题结果等特征去思考问题。 例 1、已知对任意自然数 n,有 a n ? 0且

? a 3j ? (? a j ) 2 ,求证 an ? n (1989 年高中)
j ?1 j ?1

n

n

例 2、用 S n 表示 1,2,3, ? 2 n 的各数的最大奇数因子之和,求证: S n ?

1 n ( 4 ? 2) 3

例 3、设 {a n } 是正数数列且满足 S n ?

1 1 (a n ? ) ,求数列 {a n } 的通项公式。 2 an

方法:尝试——观察——归纳、猜想——证明

例 4、已知数列 {x n } 满足: x1 ? 1 ,当 n ? 1 时, 有 4( x1 xn ? 2x2 xn?1 ? 3x3 xn?2 ? ? ? nxn x1) ? (n ? 1)(x1 x2 ? x2 x3 ? ? ? xn xn?1 ) ,试求 数列 {x n } 的通项公式。方法:尝试——观察——归纳、猜想——证明

例 5、一个数列 {Vn } 定义如下: V0 ? 2, V1 ? 对于自然数 n,有 [Vn ] ? 2 方法:变化形式
1 n [ 2 ?( ?1) n ] 3

5 , Vn ?1 ? Vn (Vn2?1 ? 2) ? V1 , (n ? 1) ,证明: 2

。这里 [Vn ] 表示不超过 Vn 的最大整数。 (IMO18-6)

例 6、设数列 {a n } 满足: a1 ? 1 ? a, a n ?1 ?

1 ? a ,这里 0 ? a ? 1 ,求证:对所有的自然 an

数 n,有 a n ? 1 。 (1977 年加拿大数学奥林匹克)

例 7、已知 a1 , a 2 , ?a n 是 n 个正数且满足 a1 a 2 ?a n ? 1, 求证: (2 ? a1) ( ? 2 ? a2) ? (2 ? an) ?3
n

例 8、已知 a, b 是正实数,且满足

1 1 ? ? 1 ,试证:对每一个自然数 n,有 a b

(a ? b) n ? a n ? b n ? 2 2n ? 2 n?1

三、递推数列,热点问题是求递推数列的通项公式 1、转化:最常见的转化为等差(等比)数列的通式和求和 类型: (1) a n ? aan ?1 ? b ,化归成 an ? ? ? a(an?1 ? ? ) 型; (2) an?1 ? can ? d ? b n ,化归成 an ? ?b n ? c(an?1 ? ?b n?1 ) 型; (3) an ? can?1 ? d ? b n ? r ,化归成 an ? ?b n ? u ? c(an?1 ? ?b n?1 ? u) 型; (4) a n ? pan?1 ? cn ? d ,化归成 an ? ?n ? u ? p[an?1 ? ? (n ?1) ? u] 型; (5) a n ?

can ?1 1 1 d ,化归成 ? ? 型; a n a n ?1 c dan ?1 ? c

(6) an ? pan?1 ? qan?2 型 例 1、 、 已知数列 {x n } 满足: 试求数列 {x n } x1 ? 1 , xn ? xn?1 , 且4xn xn?1 ? ( xn ? xn?1 ? 1) 2 , 的通项公式。方法:开方转化成等差数列的形式

例 2、设数列 {a n } 满足: a1 ? 1, a n?1 ? 3a n ? 4 ,求 {a n } 的通项公式。 例 3、设数列 {a n } 满足: a1 ? a 2 ? 1, a n ? 2 ?

1 a n ?1

? a n , (n ? 1,2, ?) ,求 a 2004 。

例 4、设数列 {a n } 满足: a1 ? 1, (n ? 1)an?1 ? an ? n ,求 a 2005 。 2、变换(代换) :三角代换、代数代换 例 1、已知 a 0 ?

2, an ?

1 ? a n ?1 ,求 a n 。方法:观察特点,联想到正切公式 1 ? a n ?1

例 2、数列 {a n } 满足: a1 ? 1, a n ?1 ?

1 (1 ? 4a n ? 1 ? 24 a n ) ,求 a n 16

方法:含根式,通过代换转化为不含根式的递推式

例 3、设 a1 , a 2 , ?a n 满足关系式 (3 ? an?1 )(6 ? an ) ? 18, 且a0 ? 3 ,则

?a
i ?0

n

1
i

?

方法:倒数关系不易求解,通过代换转化为熟悉的形式
2 例 4、 给定正整数 n 和正数 M, 对于满足条件: a12 ? an ?1 ? M 的所有等差数列 a1 , a 2 , ? a n ,

试求 S ? a n?1 ? a n? 2 ? ? ? a 2n?1 的最大值。方法:根据特点,三角代换

3、特征方程及特征根求解递推式 对于二阶线性递推数列数列 {x n } 满足: xn? 2 ? axn?1 ? bxn ? 0 ..(1)其中 a, b 为常数,若 有等比数列 {x n } 满足等式 (1) , 则 x 必满足相应的方程: f ( x) ? x 2 ? ax ? b ? 0 ……( . 2) , 称此方程(2)为(1)的特征方程。 数列 {x n } 的通项公式与特征方程的根有如下关系: 当 a ? 4b ? 0 时,方程(2)有两个不相同的实数根 q1 , q 2 ,则数列 {q1 } 、{q 2 }均是(1)
2

n

n

n 的解,并且对任意常数 c1 , c 2 有 {c1q1 ? c2 q2 , c1 , c 2 由初值确定。 } 也是(1)的解(通解)

n

当 a ? 4b ? 0 时,方程(2)有两个相同的实数根 q1 ? q 2 ,则数列 {q1 } 、{nq1 } 均是(1)
2

n

n

n 的解,并且对任意常数 c1 , c 2 有 {c1 q1 ? c2 nq1 ,c1 , c 2 由初值确定。 } 也是(1)的解(通解)

n

当 a ? 4b ? 0 时,方程(2)有两个共轭复根 q1 , q 2 ,则数列 {q1 } 、{q 2 }均是(1)的解,
2

n

n

n 并且对任意常数 c1 , c 2 有 {c1q1 ? c2 q2 , c1 , c 2 由初值确定。 } 也是(1)的解(通解)

n

例1、 求斐波那锲数列 {x n } 的通项公式: x0 ? x1 ? 1, xn?2 ? xn?1 ? xn 。 方法:利用特征方程求解

注: 设数列 {x n } 是 k 阶线性递推数列, 其特征方程为 f ( x) ? 0 , 设其前 n 项的和 S n , 则 {S n } 是 k+1 阶线性递推数列,其特征方程为 ( x ? 1) f ( x) ? 0 例 2、已知数列 {x n } 满足: x1 ? 1, x2 ? 7, xn ? 2xn?1 ? 3xn?2 , (n ? 3) ,求此数列的前 n 项 和。

例 3、设数列 {a n } 、 {bn } 满足: a0 ? 1, b0 ? 0 且 ?

?a n ?1 ? 7a n ? 6bn ? 3 ( n ? 0) , ?bn ?1 ? 8a n ? 7bn ? 4

求证: a n 是完全平方数(n=0,1,2,…)方法:将其转化为只与 a n 有关的递推式 4、利用函数不动点原理求解数列通项公式 定理 1:设 f ( x) ? ax ? b, (a ? 0,1) ,数列 {a n } 由初始值 a0 ? f ( x0 )及a n ? f (a n?1 ) 确定, 那么当且仅当 x0 是 f ( x) 的不动点时,数列 {an ? x0 } 是公比为 a 的等比数列。

定理 2:设 f ( x) ?

ax ? b (c ? 0, ad ? bc ? 0) 数列 {a n } 由递推关系 an ? f (an?1 ) 确定, cx ? d

设函数 f ( x) 有两个不动点 x1 , x 2 ,则: (1)当 x1 ? x 2 时,则数列 {

a n ? x1 a ? cx1 ; } 是等比数列,公比为 an ? x2 a ? cx2

(2)当 x1 ? x 2 时,则数列 {

2c 1 。 } 是等差数列,公差为 a?d a n ? x1
n??

例 1、设数列 {a n } 满足: (2 ? an )an?1 ? 1, (n ? N ) ,求证: lim a n ? 1 。

例 2、设数列 {a n } 满足: 3a n?1 ? a n ? 4, (n ? 1), a1 ? 9 ,前 n 项和为 S n ,则满足不等式

| S n ? n ? 6 |?

1 的最小整数 n= 125



例 3、设正数列 a1 , a 2 , ?a n 满足 a n a n ?2 ?

a n?1 a n?2 ? 2a n?1 , (n ? 2) ,且 a 0 ? a1 ? 1,

求数列 {a n } 的通项公式。方法:变形、转化形成熟悉结构

例 4、运动会连续开了 n 天,一共发了 m 枚奖牌,第一天发 1 枚加上剩下的 枚加上剩下的

1 ,第二天发 2 7

1 ,以后每天均按此规律发放奖牌,在最后一天,即第 n 天发 n 枚而无剩余, 7

问运动会开了几天?共发多少枚奖牌?

5、利用高阶差分数列求数列通式 定义 1: (差分数列)对于数列 {a n } ,称 ?a n ? a n?1 ? a n (n ? 1,2,3?) 为 {a n } 的一阶差分,

{?an } 为 数 列 {a n } 的 的 一 阶 差 分 数 列 ; 数 列 {?an } 的 一 阶 差 分 :

?2 an ? ?an?1 ? ?an (n ? 1,2,3?) ,称 {?2 a n }为数列 {a n } 的的二阶差分数列;
一般地,称 ?k an ? ?k ?1 an?1 ? ?k ?1an (n ? 1,2,3?) 为 {a n } 的 k 阶差分,称 {?k a n } 为数列

{a n } 的的 k 阶差分数列。
例 1、求数列 0,1,4,11,26,57,…的通项公式。 例 2、求数列-2,1,7,16,28,…的通项公式。 定义 2(高阶等差数列)若数列 {a n } 的的 k 阶差分数列 {?k a n } 是一个非零常数列,而 k+1 阶差分数列 {?k ?1 a n } 是一个零常数列,则称 {a n } 的的 k 阶等差数列。 定理 1:设 {a n } 是 m 阶等差数列,则 a n ?

?C
i ?0

m

i n ?1

m ?i a1 ,约定 Cn ? 0, m ? n 。

定理 2:数列 {a n } 是 m 阶等差数列的充要条件是 a n 是一个关于 n 的 m 次多项式。

定理 3、数列 {a n } 是 m 阶等差数列,它的前 n 项之和为 S n ,则 {S n } 是 m+1 阶等差数列, 且 Sn ?

?C
i ?1 n k ?1

m ?1

i n

?i a1

例 3、求

?k

4

的求和公式,并给出证明。

定理 4 :给定 a1 , 且an?1 ? ?an ? f (n), (n ? 1) ,其中 ? ? 0, f (n) 为关于 n 的函数,则此一 阶非线性齐次递推数列所确定的数列的通项公式为:

a n ? ?n ?1 a1 ? ?n ?
k ?1

n ?1

f (k )

?k ?1

例 4、已知数列 {a n } 满足: a1 ? 1, an ? 2an?1 ? n ? 2, (n ? 2) ,求数列 {a n } 的通项公式。

例 5、已知数列 {a n } 满足: a1 ? 1, an?1 ? 2an ? n 2 ,求数列 {a n } 的通项公式。 四、数列的性质(反证法、周期性、有界性、整数性) 1、数列中的反证法问题 例 1、设等差数列 {a n } 包含 1 和 2 ,证明:数列 {a n } 中任意三项均不构成等比数列。

例 2、 设 f ( n) 是定义在自然数集且取自然数值的严格递增函数, f (2) ? 2 , 当 m, n 互质时, 有 f (m n) ? f (m) f (n) ,求证:对任意自然数 n,都有 f (n) ? n 。

例 3、数列 {a n } 为正数数列,满足条件 (ak ?1 ? k )ak ? 1, k ? 1,2, ?,求证:对一切自然数 k, a k 为无理数。

2、数列的周期性 例 1、已知整数数列 {a n } 满足 a n ? a n?1 ? a n?2 (n ? 3) ,如果前 1492 项之和为 1985,而前 1985 项之和为 1492,则该数列前 2006 项之和是多少?方法:考察数列的周期性

例 2、设数列 {a n } 满足 an ? n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 1) , bn 为 a n 的个位数, 求 S1992 ?
1992 k ?1

?b

k

的值。

方法:考察数列的周期性

例 3、已知数列 {a n } 满足: a1 ? 1, a 2 ? 2, a n ? 2 ? ?

?5a n ?1 ? 3a n , 当a n a n ?1为偶数时 ?a n ?1 ? a n , 当a n a n ?1为奇数时

,求证:

对一切自然数 n,有 a n ? 0 。方法:考察数列的周期性

例 4、函数 f 定义在整数集上,且满足 f (n) ? ? 方法:考察函数的周期性

) ?n ? 2, (n ? 1000 ,求 f (84) ) ? f [ f (n ? 5)],(n ? 1000

3、数列的整除性、整数性 例 1、设数列 {a n } 满足 a1 ? ?1, 且 a n ?1 ? 2a n ? 均为整数。
2 3a n ? 1, (n ? 1) ,试证:数列 {a n } 的各项

例 2、证明;对任意的自然数 n,数 [(3 ? 5) n ] ? 1 能被 2 整除,这里[x]表示实数 x 的整
n

数部分。

例 3 、设数列 {a n } 满足 a1 ? 0, 且 2a n ?1 ? 3a n ?

2 5a n ? 4 , (n ? 1) ,试证:对任何 n ,

1989| a2n 。

例 4、设数列 {a n } 满足 a1 ? 0, 且 a n ?1 ?

2 7a n ? 45a n ? 36

2

, (n ? 1) ,

试证: (1)数列 {a n } 的各项均为正整数; (2)对一切自然数 n, a n a n?1 ? 1 为完全平方数。


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