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1.1.6棱柱、棱锥、棱台和球的表面积1


1.1.6棱柱,棱锥,棱 1.1.6棱柱,棱锥,棱 台和球的表面积

一.直棱柱的表面积 1.直棱柱的侧面积等于它的底面周长c 直棱柱的侧面积等于它的底面周长c 和高h的乘积, 和高h的乘积,即S直棱柱侧=ch.

2. 直棱柱的表面积就等于侧面积与上,下 直棱柱的表面积就等于侧面积与上 表面积就等于侧面积与上, 底面面积的和. 底面面积的和. 斜棱柱的侧面积 3.斜棱柱的侧面积,可以先求出每个侧面 3.斜棱柱的侧面积,可以先求出每个侧面 的面积,然后求和,也可以用直截面周长 的面积,然后求和,也可以用直截面周长 与侧棱长的乘积来求. 与侧棱长的乘积来求. 其中直截面就是和 棱垂直的截面. 棱垂直的截面. 如果斜棱柱的侧棱长为l 如果斜棱柱的侧棱长为l,直截面的周长 为c',则其侧面积的计算公式就是 S侧=c'l. 'l

二.正棱锥的表面积

h

h'

a

二.正棱锥的表面积

h

h'

a

二.正棱锥的表面积 1. 正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜 正棱锥的侧面积等于它的底面周长 底面周长和 乘积的一半, na 高乘积的一半,即S正棱锥侧= 1 nah'. 其中 2 a为底面正多边形的边长,底面周长为c, 为底面正多边形的边长,底面周长为c 斜高为h 斜高为h',
h h'

a

如上图, 正四棱锥为例简单推导计 如上图,以正四棱锥为例简单推导计 算公式. 算公式.由于正四棱锥的侧面展开图是一 全等的等腰三角形,底面是正多边形 正多边形, 些全等的等腰三角形,底面是正多边形, 若设它的底面边长为 底面边长为a 底面周长为4 若设它的底面边长为a,底面周长为4a, 斜高为h 斜高为h',容易得到正四棱锥的侧面积计 1 1 算公式为S 4a h ch' 算公式为S正四棱锥侧= 4a2 '= ch', 2 对于正n棱锥, 对于正n棱锥,其侧面积计算公式为 1 S正棱锥侧= 2 ch'. 2.正棱锥的表面积等于正棱锥的侧面积 正棱锥的表面积等于正棱锥的侧面积 表面积等于正棱锥的 底面积之和 之和. 与底面积之和.

三. 正棱台的表面积
1 1.正棱台的侧面积是S= 2 (c+c')h',其中 正棱台的侧面积是S (c ')h

上底面的周长为c 下底面的周长为c 上底面的周长为c',下底面的周长为c,斜 高为h 高为h'.
a' h h'

a

三. 正棱台的表面积
1 1.正棱台的侧面积是S= 2 (c+c')h',其中 正棱台的侧面积是S (c ')h

上底面的周长为c 下底面的周长为c 上底面的周长为c',下底面的周长为c,斜 高为h 高为h'.
a' h h'

a

2.正棱台可以看作是用平行正棱锥底面 的平面截得的, 的平面截得的,因此正棱台的侧面展开图 是一些等腰梯形, 是一些等腰梯形, 设正棱台上,下底面周长为c 设正棱台上,下底面周长为c',c,斜高 为h',可得正棱台的侧面积 1 S正棱台侧= (c+c')h'. 正棱台侧= (c ')h 2 3.正棱台的表面积等于它的侧面积与底 面积之和. 面积之和.

四. 圆柱,圆锥,圆台的侧面积 圆柱,圆锥, (1)将圆柱沿一条母线剪开后,展开图 将圆柱沿一条母线剪开 沿一条母线剪开后 是一个矩形,这个矩形的一边为母线, 是一个矩形,这个矩形的一边为母线, 另一边为圆柱底面圆的圆周长, 另一边为圆柱底面圆的圆周长,设圆柱 底面半径为r 母线长为l 底面半径为r,母线长为l,则侧面积 S圆柱侧=2πrl. =2πrl.
O`

O

S

θ

c=2π r

l

O

r

A

(2)将圆锥沿一条母线剪开,展开在一 将圆锥沿一条母线剪开, 个平面上,其展开图是一个扇形, 个平面上,其展开图是一个扇形,扇形 的半径为圆锥的母线,扇形的弧是圆锥 的半径为圆锥的母线, 底面圆的圆周, 底面圆的圆周,因此该扇形的圆心角 θ=
2π r 为圆锥底面半径, ,r为圆锥底面半径,l为圆锥 l

的母线长,根据扇形面积公式可得: 的母线长,根据扇形面积公式可得: 1 S圆锥侧= 2πrl=πrl,其中l为圆锥母线长, 2πr =πrl,其中l为圆锥母线长, 2 r为底面圆半径. 为底面圆半径.

S c1 c2 O1 l R O2 r

(3)圆台可以看成是用一个平行底面的 平面截圆锥所得, 平面截圆锥所得,因此圆台的侧面展开图 是一个扇环,设圆台上,下底半径为r 是一个扇环,设圆台上,下底半径为r,R, 母线长为l 母线长为l,
1 圆台侧=π(r (c 其中r 则S圆台侧=π(r+R)l= (c1+c2)l,其中r,R 2

分别为上,下底面圆半径,c1,c2分别为 分别为上,下底面圆半径, 上,下底面圆周长,l为圆台的母线. 下底面圆周长, 为圆台的母线.

五.球的表面积 球面面积(也就是球的表面积 表面积) 球面面积(也就是球的表面积)等于它 的大圆面积的4倍, 大圆面积的4 即S球=4πR2,其中R为球的半径. =4πR 其中R为球的半径.

例1. 一个长方体的长,宽,高分别为5, 一个长方体的长, 高分别为5 4,3,求它的表面积. 求它的表面积. 解:长方体的表面积 S=2(5×4+4×3+5× S=2(5×4+4×3+5×3)=94.

例2. 已知正四棱锥底面正方形长为4cm, 已知正四棱锥底面正方形长为4cm, 高与斜高的夹角为30° 高与斜高的夹角为30°,求正四棱锥的侧 面积及全面积. 单位: 精确到0.01 面积及全面积.(单位:cm2,精确到0.01 )
P

解:正棱锥的高PO,斜 正棱锥的高PO, PE,底面边心距OE 高PE,底面边心距OE 组成直角三角形. 组成直角三角形. 因为OE=2, 因为OE=2, OPE=30° ∠OPE=30°,
A

D O B E

C

OE 2 所以斜高 PE = sin 30° = 0.5 = 4

因此S 因此S侧=

1 2

ch'=32(cm2) ch'=32(cm
P

S全=S侧+S底=48(cm2)
D O A B E C

例3. 如图所示是一个容器的盖子,它 如图所示是一个容器的盖子, 是用一个正四棱台和一个球焊接而成 球的半径为R 的.球的半径为R,正四棱台的两底 面边长分别为3R和2.5R,斜高为0.6R; 面边长分别为3R和2.5R,斜高为0.6R; (1)求这个容器盖子的表面积; 求这个容器盖子的表面积; (2)若R=2cm,为盖子涂色时所 R=2cm, 用的涂料每0.4kg可以涂 可以涂1m 计算100 用的涂料每0.4kg可以涂1m2,计算100 个这样的盖子涂色需涂料多少千克( 个这样的盖子涂色需涂料多少千克(精 确到0.1kg). 确到0.1kg).

解:(1)因为 :(1
1 S正四棱台=4× ×(2.5R+3R)×0.6R =4× (2.5R+3R)× 2 2 2

+(2.5R) +(3R)

=21.85R2. S球=4πR2. 因此, 因此,这个盖子的全面 积为S 积为S全=(21.85+4π)R2.

(2)取R=2,π=3.14,得 R=2,π=3.14, S全=137.67cm2. 又 (137.67×100)÷10000×0.4≈0.6(kg), (137.67×100)÷10000×0.4≈0.6(kg), 因此涂100个这样的盖子共需涂料 因此涂100个这样的盖子共需涂料0.6kg. 个这样的盖子共需涂料0.6kg.

例4. 在球心同侧有相距9cm的两个平行截 在球心同侧有相距9cm的两个平行截 它们的面积分别为49πcm 面,它们的面积分别为49πcm2和400π cm2, 求球的表面积. 求球的表面积. 解:由截面圆的面积分别 是49πcm2和400π cm2, 解得AO =20cm, 解得AO1=20cm, BO2=7cm. 设OO1=x, 则OO2=x+9.
B A

O2 O1 O

所以R 所以R2=x2+202=(x+9)2+72. =(x 解得x 解得x=15(cm). 所以圆的半径R=25(cm). 所以圆的半径R=25(cm). 所以S =4π =2500π 所以S球=4πR2=2500π(cm2)
O2 O1 O B A

练习题: 练习题: 1. 将一个边长为a的正方体,切成27个全 将一个边长为a的正方体,切成27个全 等的小正方体,则表面积增加了( B ) 等的小正方体,则表面积增加了( (A)6a2 (C)18a2 18a (B)12a2 12a (D)24a2 24a

2. 在正方体的八个顶点中,有四个恰好是 在正方体的八个顶点中, 正四面体的顶点,则正方体的表面积与此 正四面体的顶点, 正四面体的表面积的比值为( B ) 正四面体的表面积的比值为( (A) 2
6 (C) 2

(B) 3 ( D) 3
3

3. 侧面都是直角三角形的正三棱锥, 侧面都是直角三角形的正三棱锥, 底面边长为a 底面边长为a,该三棱锥的全面积是 ( A )
3+ 3 2 (A) 4 a 3+ 3 2 (C) a 2

3 2 (B) 4 a

( D) 3 + (
2

3 2 )a 4

4. 球内接正方体的表面积与球的表面积 的比为( 的比为( A ) (A)2:π (C)4:π (B)3:π (D)6:π

5. 已知正六棱台的上,下底面边长分别 已知正六棱台的上, 是2 和4,高是2,则这个棱台的侧面积等 高是2 于

18 7

.


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