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(理数)汕头一中2013届高三4月模拟考试


汕头一中 2013 届高三 4 月模拟考试 理科数学
本试卷共页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)
一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。请将答案填在答题卡上。 1.
A.

集合 A ? ? y ? R | y ? lg x , x ? 1? , B ? ? ? 2 , ? 1,1, 2 ? 则下列结论正确的是
A ? B ? ? ? 2 , ? 1?
A ? B ? (0, ? ? )
5

B.

(C R A ) ? B ? ( ? ? , 0 )

C.

D.

( C R A ) ? B ? ? ? 2 , ? 1?

2.
A.

若 ( ax ? 1 ) 的展开式中 x 3 的系数是 8 0 ,则实数 a 的值是
?2
B.

2

2

C.

3

4

D.

2

3.
A.

2 设 a ? R ,且 ( a ? i ) i 为正实数,则 a ?

2

B.

1

C.

0
1 a 1 b

D.

?1
2

4.

已知命题 p : a , b ? ( 0 , ? ? ) , a ? b ? 1 时, ? 当 ? 恒成立,则下列命题是假命题的是

? 3 ; 命题 q : ? x ? R , x ? x ? 1 ? 0

A.

(? p ) ? (? q )

B.

(? p ) ? (? q )

C.

(? p ) ? q

D.

(? p ) ? q

5.
A.

正项等比数列 { a n } 满足 a 3 ? 1 , S 3 ? 1 3 , b n ? lo g 3 a n ,则数列 { b n } 的前 1 0 项和是
65
B.

?65

C.

25
????

D.

?25
??? ? ????

6.
A.

已知 O , A , B 是平面上的三个点, 直线 A B 上有一点 C , 满足 2 A C ? C B ? 0 , O C ? 则
??? ??? ? ? 2O A ? O B
B.

??? ? ??? ? ?O A ? 2O B

C.

? 1 ??? ? 2 ??? OA ? OB 3 3

D.

?

? 2 ??? ? 1 ??? OA ? OB 3 3

7.

? x ? y ? 1 ≥ 0, ? x?2 y 若实数 x, y 满足 ? x ? y ≥ 0, 则 z ? 3 的最小值是 ? ? x ≤ 0,

A.

0

B.

1

C.

3

D.

9

1

8.

(?3 ? x ? 0) ? kx ? 1 , ? 函数 y ? ? 8 ? 的图象如下图,则 ) ? 2 sin( ? x ? ? ), ( 0 ? x ? 3 ?
k ? k ? 1 3 ,? ? ,? ? 1 3 1 2 1 2 ,? ? 2,? ? ,? ? ,? ?

A.

?
6

B.

1 3

?
3

C.

k ? ?

?
6

D.

k ? ? 3, ? ? 2 , ? ?

?
3

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分)
二.填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。请将答案填在答 题卷上。 (一)必做题(9~12 题) 9. 请写出下面运算输出的结果_____________.
a ? 5 b ? 3 c ? (a ? b) / 2 d ? c?c P R IN T " d ? "; d

10. 从甲、乙等 10 名同学中挑选 4 名参加某校公益活动,要求甲、乙中至少有 1 人参加, 则不同的挑选方法共有________________种. 11. 过点 M (1, 2 ) 的直线 l 与圆 C : ( x ? 3 ) ? ( y ? 4 ) ? 2 5 交于 A , B 两点, C 为圆心,当
2 2

? A C B 最小时,直线 l 的方程是_____________.

12. 观察下列的图形中小正方形的个数,则第 6 个图中有_______个小正方形,第 n 个图中 有 _______________个小正方形.

??

2

(二)选做题(13~15 题,考生只能从中选做两题) 13. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,极点到曲线 ? cos( 是_____________. 14. (不等式选讲选做题)若 a 、 b 为正实数, a ? b ? 3 ,则 1 ? a ? _____________. 15. (几何证明选讲选做题) 如图, O 的直径 AB 的延长线 ⊙ 与弦 CD 的延长线相交于点 P ,点 E 是⊙ O 上一点,
AE ? AC , DE 交 AB 于点 F ,且 AB ? 2 BP ? 4 ,则
PF ? _____________.
A E
1 ? b 的最大值是

?
4

??) ? 2

2 的距离

F

B

P

D

C

三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。见答题卷。 16.(本小题满分 12 分) 在 ? A B C 中,已知角 A 、 B 、 C 所对的三条边分别是 a 、 b 、 c ,且 b 2 ? a ? c . (1)求证: 0 ? B ? (2)求函数 y ?
?
3 1 ? sin 2 B sin B ? cos B

; 的值域.

17.(本小题满分 14 分) 某电视台举行电视奥运知识大奖赛,比赛分初赛和决赛两部分.为了增加节目的趣味 性,初赛采用选手选一题答一题的方式进行,每位选手最多有 5 次选题答题的机会,选手 累计答对 3 题或答错 3 题即终止其初赛的比赛,答对 3 题者直接进入决赛,答错 3 题者则 被淘汰.已知选手甲答题的正确率为
2 3



(1)求选手甲可进入决赛的概率; (2)设选手甲在初赛中答题的个数为 ? ,试写出 ? 的分布列,并求 ? 的数学期望.

3

18.(本小题满分 14 分) 已知数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,点 ? n , S n ? ? n ? N ? ? 均在函数 y ? 3 x ? 2 x 的图像上.
2

(1)求数列 ? a n ? 的通项公式;

(2)设 b n ?

3 a n a n ?1

, T n 是数列 ? b n ? 的前 n 项和,求使得 T n ?

m 20

对所有 n ? N ? 都成立的

最小正整数 m .

19.(本小题满分 14 分) 已知抛物线 C : x 2 ?
??? ??? ? ?
1 2 y ,过焦点 F 的动直线 l 交抛物线于 A 、 B 两点, O 为坐标原点.

(1)求证: O A ? O B 为定值; (2)设 M 是线段 A B 的中点,过 M 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 N ,证明:抛物线 C 在 点 N 处的切线与 A B 平行.

4

20.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x 2 ? x ? 3 a ? ?
1 2

?a

? 0, a ? R ? .

(1)求函数 y ? f ? x ? 的极值; (2)若函数 y ? f ? x ? 有三个不同的零点,求实数 a 的取值范围.

21.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系中,已知点 A ? 2 , 0 ? 、 B ? ? 2 , 0 ? , P 是平面内一动点,直线 P A 、 P B 的 斜率之积为 ?
3 4



(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 ?
?1 ? ,0? ? 2 ?

作直线 l 与轨迹 C 交于 E 、 F 两点,线段 E F 的中点为 M ,求直线 M A 的

斜率 k 的取值范围.

5

参考答案
一、选择题: DDDB DABA 二、填空题: 9. d ? 1 6 ; 10. 1 4 0 ; 11. x ? y ? 3 ? 0 ; 12. 2 8 、 13. 2 2 ; 14. 1 0 ; 15. 3 ; 三.解答题: 16.(1)? b 2 ? a ? c
a
2

( n ? 1 )( n ? 2 ) 2



由余弦定理得 cos B ?

? c

2

? b

2

?

2 ac ? ac 2 ac

?

1 2

----------------------(3 分)

2 ac

又b ? (0,? )
1 ? sin 2 B sin B ? cos B

? 0 ? B ?

?
3

-----------------------------(2 分)
2

(2)y ?

?

(sin B ? cos B ) sin B ? cos B

? cos B ? sin B ?
7? 12
2]

2 sin( B ?

?
4

) ----- 4 分) (

? 0 ? B ? ?1 ?

?
3

?

?
4

? B ?

?
4

?

2 s in( ? B

?
4

) ?

2 ,即:函数的值域是 (1 , 2 3 2 3 8 27 1 3 1 ? 2 3 ?

----------------------- 3 分) (

17.(1)选手甲答 3 道题可进入决赛的概率为 ( ) 3 ?


8 27 2 3 ? 16 81

选手甲答 4 道题可进入决赛的概率为 C 32 ( ) 2 ?
2 3

; ;

选手甲答 5 道题可进入决赛的概率为 C 42 ( ) 2 ? ( ) 2 ?
3

∴选手甲可进入决赛的概率 p ? (2)依题意,? 的可能取值为 3 , 4 , 5 . 则 p (? ? 3 ) ? ( ) 3 ? ( ) 3 ?
3 p (? ? 4 ) ? C 3 (
2

8 27

+

8 27

+

16 81

?

64 81



---------------------- 6 分) ( ---------------------(1 分) --------------------(1 分) ---------------------(1 分)

2

1

1 3



3 2 3 2 ) ?
2

1 3

?

2

2 1 10 2 1 2 , ? C3 ( ) ? ? ? 3 3 3 3 27

p (? ? 5 ) ? C 4 (
2

1 2 2 1 2 1 8 2 2 2 2 , ----------------------- 1 分) ( ) ?( ) ? ? C4 ( ) ?( ) ? ? 3 3 3 3 3 3 27

6

因此,有
?
p

3
1 3

4
10 27

5
8 27

-----------------------------(2 分)
? E? ? 3 ? 1 3 ? 4? 10 27 ? 5? 8 27 ? 107 27 ? 3 26 27



------------------------------(2 分)

2 18. (1)依题意: S n ? 3 n ? 2 n

------------------------------(2 分)

当 n ? 1 时, a 1 ? S 1 ? 1 ;当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ? 1 ? 6 n ? 5 ∴an ? 6n ? 5 (2)∵ b n ?
3

----------------------------(4 分)
1? 1 1 ? ? ? ? 2 ? 6n ? 5 6n ? 1 ?

? 6 n ? 5 ? ? 6 n ? 1?

?

------------------------(2 分)

∴ Tn ?

1 ?? 1 ? ?1 1 ? 1 1 1? 1 ? ?? ? ( ? ??? ? ? ?? ? ?1 ? ? --------------- 2 分) ??1 ? ? ? ? ? 2 ?? 7 ? ? 7 13 ? 2? 6n ? 1 ? ? 6n ? 5 6n ? 1 ??

依题意: ? n ? N ? , T n ?

m 20

,即: ? n ? N ? , m ? 1 0 ? 1 ?
?

?

? ? 6n ? 1 ? 1

∴ m ? 1 0 ,即:最小的正整数 m ? 1 0
1 8

------------------------(4 分)

19. (1)设直线 l 的方程为: y ? k x ?

, A ? x1 , y 1 ? , B ? x 2 , y 2 ? 。 ---------------(1 分)

1 ? 2 x ? y ? 1 1 1 ? 2 由? 得: x 2 ? k x ? ? 0 ,∴ x 1 x 2 ? ? 2 64 16 ? y ? kx ? 1 ? 8 ?

-----------------(4 分)

∴ O A ? O B ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? x1 x 2 ? 4 ? x1 x 2 ? ? ?
2

??? ??? ? ?

3 64

为定值------------------(3 分)
k 4

(2)由(1)得:点 M 的横坐标为 ∵ y ' ? 4x ∴…平行 另解:设 N ? x 0 , y 0 ? ,则 x 0 ?
x1 ? x 2 2

k 4

,∴点 N 的横坐标为

-------------------(3 分)

∴ y '|
x?

k 4

? k

-------------------(3 分)

?

k 4

, y0 ? 2 x0 ?
2

k

2

------------------(2 分)

8

7

设抛物线 C 在点 N 处的切线为 y ?

k

k ? ? ? m?x? ? 8 4 ? ?

2

? k k ? ? ? m?x? ? 2 ?y? m mk k ? 8 4 ? 2 ? x? ? ? 0 由? 得: x ? 2 8 16 1 ? 2 x ? y ? ? 2
2

-------------------(2 分)

∴? ?

m

? mk k ? ? 4? ? ? ? 0 ,解得: m ? k 4 16 ? ? 8
2 2

------------------------(2 分)

∴…平行 20.(1) f ' ? x ? ? 3 x ? 6 a x ? 3 x ? x ? 2 a ?
2

------------------------------(1 分) -----------------------------(1 分)

由 f ' ? x ? ? 0 得: x ? 0 或 x ? 2 a

当 x 变化时, f ' ? x ? 与 f ? x ? 的变化如下表:
x

? ?? , 0 ?
?

0

? 0,

2a ?

2a

?2a,

???

f '? x ?
f

0

?

0

?

?x?

?

极大值
1 2

?

极小值

?

∴当 x ? 0 时, f ? x ? 的极大值 f ? 0 ? ?

当 x ? 2 a 时, f ? x ? 的极小值 f ? 2 a ? ? (2)∵ y ? f ? x ? 有三个不同零点 ∴由(1)得: 解得: a ?
1 2 1 2 ? 4a
3

1 2

? 4a

3

----------------------------(4 分)

? 0

----------------------------(1 分) -----------------------------(1 分)

21. (1)依题意,有 k P A 化简得:
x
2

? k PB ?
y
2

y x? 2

?

y x? 2

? ?

3 4

(x

? ?2

) ,

------------------------(2 分)

?

4

3

? 1( x ? ? 2

) ,为所求动点 P 的轨迹 C 的方程----------(2 分)
? m , y ? n)
2

(2)依题意,可设 M

(x , y)

、E (x
? (x ? ? ? ? (x ? ?

、 F (x
2

? m , y ? n)

,则有

? m) 4 ? m) 4

?
2

( y ? n) 3

?1

?

( y ? n) 3


2

?1

8

两式相减,得

4mx 4

?

4n 3

? 0 ? k EF ?

n m

? ?

3x 4y

?

y ?0 x? 1 2



由此得点 M 的轨迹方程为: 6 x 2 设直线 M A : x
? my ? 2

? 8y

2

? 3x ? 0

(x

? 0

) .-------------------(4 分)

(其中 m

?

1 k

) ,则

?x ? my ? 2 2 2 ? ( 6 m ? 8 ) y ? 2 1m y ? 1 8 ? 0 ? 2 2 ?6 x ? 8 y ? 3x ? 0
1 k



-----------------------(3 分)

故由 ?

? ( 2 1m ) ? 7 2 ( 6 m
2

2

? 8 ) ? 0 ? | m |? 8

,即

? 8



解得: k 的取值范围是 ? ?
?

?

1 8

,

1? ? 8?



---------------------------(3 分)

9


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