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2013年高考数学(理)真题分类解析汇编6.不等式


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2013 年高考数学(理)真题分类解析汇编 6:不等式
一、选择题 1 . (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案) 设正实数 )

x, y, z 满足

2 1 2 xy ? ? x ? 3xy ? 4

y ? z ? 0 , 则 当 z 取 得 最 大 值 时 , x y z 的 最 大 值 为
2 2

( )

A.0 【答案】 B

B.1

9 C. 4

D.3

【 天 利 解 析 】 由

x 2 ? 3xy ? 4 y 2 ? z ? 0

, 得

z ? x 2 ? 3xy ? 4 y 2

。 所 以

1 x 4y xy xy 1 ? ? 1 ,当且仅当 ? ,即 x ? 2 y 时取等号此 ? 2 ? 2 x 4y y x z x ? 3xy ? 4 y x 4y ? ?3 2 ? ?3 y x y x
时 z ? 2y ,(
2

2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 xy ? (1 ? ) ? (1 ? ) ? ? ) max ? 1. ? ? ? x y 2y x y z 2 y y xy y z

1 1 ?1? 2y 2y 2 ? 4( ) ? 1 ,故选 B. 2
? y ? 2x ? 2 . 2013 年 高 考 湖 南 卷 ( 理 ) 若 变 量 x, y 满 足 约 束 条 件 ? x ? y ? 1 , 则x ? 2 y的最大值是 ( ) ? y ? ?1 ?
( ) A. -

5 2

B. 0

C.

5 3

D.

5 2

【答案】C

1

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【天利解析】本题考查线性规划的应用。设 z ? x ? 2 y ,则 y ? ?

1 z x ? 。作出可行域如图 2 2

。平移直线 y ? ?

1 z 1 z x ? ,由图象可知当直线 y ? ? x ? 经过点 B 时,直 2 2 2 2

1 ? ?x ? 3 y ? 2x ? 1 z 1 2 ? 线 y ? ? x ? 的截距最大, 此时 z 最大。 ? 由 , ? 得 , B( , ) , 即 代入 z ? x ? 2 y 2 2 3 3 ?x ? y ? 1 ?y ? 2 ? 3 ?
得z?

1 2 5 ? 2 ? ? ,选 C. 3 3 3

3 . (2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学 (理) (含答案) 已知函数 f ( x) ? x(1 ? a | x |) . 设 试题 )

? 1 1? 关于 x 的不等式 f ( x ? a) ? f ( x) 的解集为 A, 若 ? ? , ? ? A , 则实数 a 的取值范围是 ? 2 2? ( )

?1? 5 ? A. ? ? 2 ,0 ? ? ? ?

?1? 3 ? B. ? ? 2 ,0 ? ? ? ? ? 1? 5 ? D. ? ??, ? ? 2 ? ? ?

?1? 5 ? ? 1? 3 ? C. ? ? 2 ,0 ? ? ? 0, 2 ? ? ? ? ? ? ? ?

【答案】A

2

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4 . (2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理) (纯 WORD 版含答案) 已知 a ? 0 , x, y 满 )

?x ? 1 ? 足 约 束 条 件 ?x ? y ? 3 , 若 z ? 2x ? y 的 最 小 值 为 1 , 则 a ? ? y ? a ( x ? 3) ?
( )

3

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A.

1 4

B.

1 2

C. 1

D. 2

【答案】B 【天利解析】先根据约束条件画出可行域,设 z=2x+y,将最大值转化为 y 轴上的截距, 当直线 z=2x+y 经过点 B 时,z 最小,由 故选 B. 得: ,代入直线 y=a(x﹣3)得,a=



5 . (2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案) 设变量 x, y 满足约束条件 )

?3 x ? y ? 6 ? 0, ? ? x ? y ? 2 ? 0, ? y ? 3 ? 0, ?











z

=

y-2x











( ) A.-7 C.1 【答案】A B.-4 D.2

【 天 利 解 析 】 由 z ? y ? 2x 得 y ? 2x ? z 。 作 出 可 行 域 如 图

,平移直线

y ? 2 x? z,由图象可知当直线 y ? 2 x ? z 经过点 D 时,直线 y ? 2 x ? z 的截距最小,此时 z 最小,

4

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?x ? y ? 2 ? 0 ?x ? 5 由? ,得 ? ,即 D(5,3) 代入 z ? y ? 2 x 得 z ? 3 ? 2 ? 5 ? ?7 ,选 A. ?y ? 3 ? 0 ?y ? 3

6 . (2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学 (理) (纯 WORD 版) 已知一元二次不等式 f (x)<0 试题 )









? x |x<-1或x>

1 2

?

,



f (10x )>0





集 (



) A. ? x |x <-1或x >lg2 C. ? x |x >-lg2 【答案】D 【天利解析】由题知,一元二次不等式 ( x) ? 0的解集为(-1, ), 即 - 1 ? e ?
x

?

B. ? x |-1<x <lg2 D. ? x |x <-lg2

?

?

?
1 2 1 ? x ? ? ln 2 2

所以选 D。
7. (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案) 在平面直角坐标系 xoy 中, M )

为不等式组 )

? 2 x ? y ? 2? 0 , ? ? x ? 2 y ? 1? 0 , ? 3 x ? y ? 8? 0 , ?

所 表 示 的 区 域 上 一 动 点 , 则 直 线 OM 斜 率 的 最 小 值 为 (

A.2 【答案】 C

B.1

1 C. 3 ?

1 D. 2 ?

【天利解析】作出可行域如图 OM 的斜率最小。由 ? C.
5

,由图象可知当 M 位于点 D 处时,

? x ? 2y ? 1 ? 0 ? x ? 3 ?1 1 得? ,即 D(3, ? ,此时 OM 的斜率为 1) ? ? ,选 3 3 ?3x ? y ? 8 ? 0 ? y ? ?1

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? 2 x ? y ? 1 ? 0, ? 8. (2013 年高考北京卷(理) 设关于 x,y 的不等式组 ? x ? m ? 0, ) 表示的平面区域内存在点 ?y ? m ? 0 ?
P(x0,y0),
) A. ? ??, 满 足

x0-2y0=2,





m









围 (



? ?

4? ? 3?

B. ? ??, ?

? ?

1? 3?

C. ? ??, ? ?

? ?

2? 3?

D. ? ??, ? ?

? ?

5? 3?

【答案】C

【天利解析】先根据约束条件

画出可行域,

要使可行域存在,必有 m<﹣2m+1,要求可行域包含直线 y= x﹣1 上的点,只要边界点(﹣m,1 ﹣2m) 在直线 y= x﹣1 的上方,且(﹣m,m)在直线 y= x﹣1 的下方,

故得不等式组



解之得:m<﹣ . 故选 C.

9. 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) ( (已校对纯 WORD 版含附加题) 抛物线 )

y ? x 2 在 x ? 1 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D (包含三角形内部与边界).若点

P( x, y ) 是区域 D 内的任意一点,则 x ? 2 y 的取值范围是__________.

6

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【答案】 ? ? 2, ? 2

? ?

1? ?

【天利解析】易知切线方程为: y ? 2 x ? 1 所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为 A ? 0, 0 ? B ? 0.5, 0 ? C ? 0, ?1? 易知过 C 点时有最小值 ?2 ,过 B 点时有最大值 0.5
二、填空题 10. (2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对) 记不等式组 )

? x ? 0, ? ? x ? 3 y ? 4, 所表示的平面区域为 D ,若直线 y ? a ? x ? 1? 与 D 公共点,则 a 的取值范围是 ?3 x ? y ? 4, ?
______. 【答案】 [ , 4]

1 2

【天利解析】满足约束条件

的平面区域如图示:

因为 y=a(x+1)过定点(﹣1,0) . 所以当 y=a(x+1)过点 B(0,4)时,得到 a=4, 当 y=a(x+1)过点 A(1,1)时,对应 a= . 又因为直线 y=a(x+1)与平面区域 D 有公共点. 所以 ≤a≤4. 故答案为:[ ,4]

7

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11. (2013 年高考陕西卷 (理) 若点(x, y)位于曲线 y ?| x ? 1| 与 y=2 所围成的封闭区域, 则 2x-y )

的最小值为___-4_____. 【答案】- 4 【天利解析】封闭区域为三角形。令| x – 1 | = 2 , 解得 x1 ? ?1, x2 ? 3 ,所以三角形三个顶点坐标 分别为(1,0,)(-1,2)(3,2) , , ,故 2x-y 在点(-1,2)取最小值 - 4
12. (2013 年高考四川卷(理) 已知 f ( x) 是定义域为 R 的偶函数,当 x ≥ 0 时, f ( x) ? x ? 4 x ,那 )
2

么,不等式 f ( x ? 2) ? 5 的解集是____________.

(?7,3)
因为 f(x)为偶函数,所以 f(|x+2|)=f(x+2) , 则 f(x+2)<5 可化为 f(|x+2|)<5,即|x+2| ﹣4|x+2|<5, (|x+2|+1) (|x+2|﹣5)<0, 所以|x+2|<5,解得﹣7<x<3, 所以不等式 f(x+2)<5 的解集是(﹣7,3) .
2

?x ? 4 y ? 4 ? ?x ? y ? 4 ?x ? 0 13. (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯 WORD 版) 给定区域 D : ? ) ,
令点集

T ? {? x0 , y0 ? ? D | x0 , y0 ? Z , ? x0 , y0 ?

,是 z ? x ? y 在 D 上取得最大值或最小值的点 } ,

则 T 中的点共确定______条不同的直线. 【答案】 6 【天利解析】画出可行域如图所示,其中 z ? x ? y 取得最小值时的整点为 ? 0,1? ,取得最大值时的整 点为 ? 0, 4 ? , ?1, 3 ? , ? 2, 2 ? , ? 3,1? 及 ? 4, 0 ? 共 5 个整点.故可确定 5 ? 1 ? 6 条不同的直线.

14. (2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学 (理) (纯 WORD 版) 设 z ? kx ? y ,其中实数 x, y 试题 )

?x ? y ? 2 ? 0 ? 满足 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,若 z 的最大值为 12,则实数 k ? ________. ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?
【答案】2 【天利解析】可行域如图: 由 得:A(4,4) ,

同样地,得 B(0,2) ,

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①当 k>﹣ 时, 目标函数 z=kx+y 在 x=4, y=4 时取最大值, 即直线 z=kx+y 在 y 轴上的截距 z 最大, 此时,12=4k+4, 故 k=2. ②当 k 时,目标函数 z=kx+y 在 x=0,y=2 时取最大值,即直线 z=kx+y 在 y 轴上的截距 z 最

大, 此时,12=0×k+2, 故 k 不存在. 综上,k=2. 故答案为:2.

15. (2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案) 设 a + b = 2, b>0, 则当 a = )

______时, 【答案】 ?2

1 |a| 取得最小值. ? 2| a| b

【天利解析】因为 a ? b ? 2 ,所以

1 |a| a?b |a| a b |a| a 。显然当 ? ? ? ? ? ? 1? ? 4| a| b 4| a| 4| a| b 4| a| 2| a| b

a ? 0 时 , 且 b ? 2 a 时 , 上 式 取 等 号 , 此 时 b ? ?2a , 联 立 a ? b ? 2 , 解 得 a ? ?2 , 此 时
1?

3 a 2 3 1 |a| 的最小值为 。 ?1? ? 。所以当 a ? ?2 时, ? 4| a| 4? 2 4 2| a| b 4
2

16. (2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学(理)卷(纯 WORD 版) 不等式 x ? x ? 2 ? 0 的解 )

集为___________. 【答案】 ? ?2,1? 【天利解析】易得不等式 x2 ? x ? 2 ? 0 的解集为 ? ?2,1? .

9

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2 2

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2

17. (2013 年高考湖南卷(理) 已知 a, b, c ?, a ? 2b ? 3c ? 6, 则 a ? 4b ? 9c 的最小值______. )

【答案】12 【天利解析】本题考查柯西不等式的应用。由柯西不等式可知,

(a 2 ? 4b2 ? 9c 2 )(12 ? 12 ? 12 ) ? (a ? 2b ? 3c) 2 ,即 3(a 2 ? 4b2 ? 9c 2 ) ? 62 ? 36 ,所以

a2 ? 4b2 ? 9c2 ? 12 ,即 a 2 ? 4b2 ? 9c 2 的最小值为 12.
三、解答题 18. (2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案)) 如图,某校有一块形如直角三角形 ABC 的空地,其中

?B 为直角, AB 长 40 米, BC 长 50 米,现欲在此空地上建造一间健身房,其占地形状为矩形, 且 B 为矩形的一个顶点,求该健身房的最大占地面积.
A

B

C

【天利解析】如图,设矩形为 EBFP , FP 长为 x 米,其中 0 ? x ? 40 , A P F C

E B

健身房占地面积为 y 平方米.因为 ?CFP ∽ ?CBA ,

FP CF x 50 ? BF 5 , ,求得 BF ? 50 ? x , ? ? BA CB 40 50 4 5 5 2 5 2 从而 y ? BF ? FP ? (50 ? x) x ? ? x ? 50 x ? ? ( x ? 20) ? 500 ? 500 , 4 4 4 当且仅当 x ? 20 时,等号成立.
以 答:该健身房的最大占地面积为 500 平方米.
19. (2013 年高考上海卷(理) (6 分+8 分)甲厂以 x )

千克/小时的速度运输生产某种产品(生产

条件要求 1 ? x ? 10 ),每小时可获得利润是 100(5 x ? 1 ? ) 元. (1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元,求 x 的取值范围; (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大利润. 【天利解析】(1)根据题意, 200(5 x ? 1 ? ) ? 3000 ? 5 x ? 14 ? 又 1 ? x ? 10 ,可解得 3 ? x ? 10 (2)设利润为 y 元,则 y ?

3 x

3 x

3 ?0 x

900 3 1 1 61 ?100(5x ? 1 ? ) ? 9 ?104 [?3( ? ) 2 ? ] x x x 6 12
10

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故 x ? 6 时, ymax ? 457500 元.

11


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