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高二年级期中考试数学试卷(理科)


高二年级期中考试数学试卷(理科)
一、单选题(每小题 5 分,共 60 分,其中只有一个答案是正确)
2 1. “ x ? x ? 0 ”是“ x ? 1 ”的(

) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

A.充分而不必要条件 C.充要条件

2.已知命题 p:? x∈ R,x>sinx,则 p 的否定形式为( A.? x∈ R,x<sinx C.? x∈ R,x≤sinx B.? x∈ R,x≤sinx D.? x∈ R,x<sinx

3. 在各项都为正数的等比数列 {an } 中, 首项 a1 ? 3 , 前三项和为 21, a3 ? a4 ? a5 ? 则 ( A.33 B.72 C.84 D.189 )



?2 x ? y ? 0 ? 4. 已知变量 x、y 满足 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ?x ? 0 ?

A.16

B.8

C.6

D.4 )

5. 已知数列{an}的前 n 项和 S n ? 2n 2 ? n ? 2 ,那么它的通项公式为 an =( A. an ? ?

(n ?1,    ? 1) (n ?4n ? 1,   ? 2)

B. a n ? ?

(n ?1,    ? 1) (n ?4n ? 1,   ? 2)

C. an ? 4n ? 1 6.下列说法中,正确的是( )

D. an ? 4n ? 1

A.命题“若 am2<bm2,则 a<b”的逆命题是真命题 B.已知 x ? R ,则“x2-2x-3=0”是“x=3”的必要不充分条件 C.命题“p∨ q”为真命题,则“命题 p”和“命题 q”均为真命题 D.已知 x∈ R,则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件 7. 已知等差数列{an}满足 a2+a4=4, a3+a5=10,则它的前 10 项和为( A.138 B.135 C.95 D.23 )

8.已知椭圆的两个焦点坐标分别为(0,-2)(0,2) , ,并且经过点 (? 程是( A. ) B.

3 5 ,? ) ,则椭圆的方 2 2

x2 y2 ? ?1 9 4 x2 y2 ? ?1 10 6

x2 y2 ? ?1 4 9 x2 y2 ? ?1 6 10

C.

D.

9.已知 x>0, y>0, A.6

8 2 ? ? 1 ,则 x+y 的最小值为( y x
C.18 D.24

)

B.12

10. 在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y) ,若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 1 对任意实数 x 成 立,则 a 的取值范围为( A. ? 1 ? a ? 1 C. ? ) B. 0 ? a ? 2 D. ?

3 1 ?a? 2 2

1 3 ?a? 2 2
) C. 2 ? 2 D. 2 ? 1 )

11.设椭圆的两个焦点分别为 F1、 2,过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为 、F 等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( A.

2 2

B.

2 ?1 2

12.各项均不为零的等差数列 {a n } 中 a 2 ? a n ?1 ? a n ?1 ? 0(n ? N*, n ? 2) ,则 S 2012 等于( n A.4024 B.4018 C.2009 D.1006

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13. 若 a ? 1, 则 a ?

1 的最小值是_________. a ?1
.

14.在公差不为 0 的等差数列 {an } , a1 , a3 , a4 成等比数列,则该等比数列的公比 中 15.已知 x ? 0, y ? 0 ,且 是______. 16.过椭圆

2 1 ? ? 1 ,若 x ? 2 y ? m2 ? 2m 恒成立,则实数 m 的取值范围 x y

x2 y2 ? ? 1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A、B 两点,O 为坐标 5 4

原点,求弦 AB 的长_______. 三、解答题(6 道题,共 70 分) 17. (本小题满分 10 分) 已知点 A(3,0)为圆 x2+y2=1 外一点,P 为圆上任意一点,若 AP 的中点为 M,当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹方程。并说明它表示什么曲线。 18. (本小题满分 12 分) 已知命题 p:“? x∈ [1,2],x2-a≥0”,命题 q:“? x0∈ R,x2+2ax0+2-a=0”,若命题“p 0 且 q”是真命题,求实数 a 的取值范围. 19. (本小题满分 12 分) 动物园要围成面积相同的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙, 其它各面用钢筋网围 成.

(1)现有可围 36m 长的钢筋网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间 虎笼的面积最大? (2)若使每间虎笼的面积为 24m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间 虎笼的钢筋网总长最小? 20. (本小题满分 12 分) 等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6 。 (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ? log3 a1 ? log 3 a2 ? ? ? log 3 an ,求数列 ? 21.(本小题满分 12 分) 设 {an} 是 正 数 组 成 的 数 列 , 其 前 n 项 和 为 Sn , 并 且 对 于 所 有 的 n N+ , 都 有

?1? ? 的前 n 项和. bn ? ?

8S n ? (an ? 2) 2 。
(1)写出数列{an}的前 3 项; (2)求数列{an}的通项公式(写出推证过程); (3)设 bn ?

m 4 , Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n 20 a n ? a n ?1

N+都成

立的最小正整数 m 的值。 22. (本小题满分 12 分) 已知中心在原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为 (1)求椭圆的方程; (2)设不过原点 O 的直线 l 与该椭圆交于 P,Q 两点,满足直线 OP,PQ,OQ 的斜 率依次成等比数列,求△OPQ 面积的取值范围.

3 2

的椭圆过点( 2 ,

2 2

) .

参考答案
1-5 BCCDA 6-10 BCDCD 11-12 DA 13.3 14.

1 2

15.(-4,2)

16.

5 5 3

17. (10 分) ( x ? ) ? y ?
2 2

3 2

1 4

18. (12 分) 解:由“p 且 q”是真命题,则 p 为真命题,q 也为真命题. 若 p 为真命题,a≤x2 恒成立, ∵ [1,2],∴ x∈ a≤1. …………………5 分 若 q 为真命题,即 x2+2ax+2-a=0 有实根, Δ=4a2-4(2-a)≥0,即 a≥1 或 a≤-2,…………………10 分 综上,实数 a 的取值范围为 a≤-2 或 a=1. …………………12 分 19. (12 分) 解: (1)设每间虎笼的长 xm,宽 ym, 则 4x+6y=36,设每间虎笼面积为 S,则 S=xy 18=2x+3y≥2

2x ? 3 y ? 2 6xy ,

xy≤

27 , 当 且 仅 当 2x=3y 时 , 等 号 成 立 , 2

2x+3y=18,x=4.5m ,y=3m 时,等号成立。 故每间虎笼的长和宽分别为 4.5m 和 3m 时,可使面积最大。…………………6 分 (2)设每间虎笼长为 xm,宽为 ym, S=xy=24, x=

24 , y

L=4x+6y=

16 96 16 ? 6 y ? 6( ? y ) ? 6 ? 2 16 ? 48 ,当且仅当 ? y ,y=4,x=6 y y y

故每间虎笼长 6m,宽 4m 时,可使钢筋网总长最小。…………………12 分 20. (12 分) (1) an ? ( ) …………………6 分
n

1 3

(2) ?

2n …………………12 分 n ?1

21. (12 分) 解:(1) n=1 时 8a1 ? (a1 ? 2) n=2 时 8(a1 ? a2 ) ? (a2 ? 2)2
2

∴a1 ? 2 ∴a2 ? 6

n=3 时 8(a1 ? a2 ? a3 ) ? (a3 ? 2)2 (2)∵8Sn ? (an ? 2)2

∴a3 ? 10

…………4 分

∴8Sn?1 ? (an?1 ? 2)2 (n ? 1) 即 an2 ? an?12 ? 4an ? 4an?1 ? 0

两式相减得: 8an ? (an ? 2)2 ? (an?1 ? 2)2 也即 (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 4) ? 0 ∵an ? 0 ∴an ? an?1 ? 4

即 {an } 是首项为 2,公差为 4 的等差数列 。………… 8 分

∴an ? 2 ? (n ? 1) ? 4 ? 4n ? 2 (3) bn ?

4 4 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) an ? an?1 (4n ? 2)(4n ? 2) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 (2n ? 1) (2n ? 1)
1 1 1 1 1 1 [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 3 3 5 (2n ? 1) (2n ? 1)

∴Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

?

1 1 1 1 1 (1 ? )? ? ? 2 2n ? 1 2 4n ? 2 2
∵Tn ?

m 对所有 n ? N ? 都成立 20



m 1 ? 20 2

即 m ? 10

故 m 的最小值是 10 . …………12 分 22. (12 分) 解: )由题意可设椭圆方程为 (Ⅰ

x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a>b>0) ,

?c 3 , ? ? ?a ? 2, x2 ? 2 ? y2 ? 1. 则? a 故 ? ,所以,椭圆方程为 4 ?b ? 1 ? 2 ? 1 ? 1, 2 2 ? a 2b ?
P(x1,y1) ,Q(x2,y2) ,

………6 分

(Ⅱ )由题意可知,直线 l 的斜率存在且不为 0,故可设直线 l 的方程为 y=kx+m (m≠0) ,

由?

? y ? kx ? m, ? x ? 4 y ? 4 ? 0,
2 2

消去 y 得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,

则△=64 k2b2-16(1+4k2b2) 2-1)=16(4k2-m2+1)>0, (b 且 x1 ? x2 ?

?8km 1 ? 4k 2

, x1 x2 ?

4( m 2 ? 1) 1 ? 4k 2

.……………8 分

故 y1 y2=(kx1+m) 2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2. (kx 因为直线 OP,PQ,OQ 的斜率依次成等比数列, 所以,

y1 y2 x1 x2

?



k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 x1 x2

=k2,

即,

?8k 2 m 2 1 ? 4k
2

+m2=0,又 m≠0,所以 k2=

1 1 ,即 k= ? . 4 2

由于直线 OP,OQ 的斜率存在,且△>0,得 0<m2<2 且 m2≠1. 设 d 为点 O 到直线 l 的距离, 则 S△OPQ=

1 2

d | PQ |=

1 2

2 2 | x1-x2 | | m |= m (2 ? m ) ,

所以 S△OPQ 的取值范围为 (0,1) .

……………12 分


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