tceic.com
简单学习网 让学习变简单
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

1.3


§3 平均值不等式(二)

预习自测
a3+b3+ 定理3:对任意三个正数a,b,c,有_______________( 此式当且仅当a=b=c 1. 3 c ≥3abc
时取“=”号).

a+b+c 3 ≥ abc (此式 2. 定理 4:对任意三个正数 a,b,c 有______________ 3 当且仅当 a

=b=c 时取“=”号).

3. 一 般 地 , 对 n 个 正 数 a1 , a2 , ? , an(n≥2) , 我 们 把 数 值
a+a2+?+an n 算术平均值 , a1a2?an分别称为这 n 个正数的____________ n

a1+a2+?+an n ≥ a1a2?an 几何平均值 ,且______________________________ n 与_____________ .

此式当且仅当a1=a2=…=an时取“=”号,即n个正数的算
术平均值不小于它们的几何平均值.

【例1】 已知 a、b、c∈(0,+∞),且 a+b+c=1.
1 1 1 9 求证: + + ≥ . a+b b+c c+a 2

a+b+c=1?(a+b)+(b+c)+(c+a)=2, ? 1 1 1 ? ? [(a+b)+(b+c)+(c+a)]?a+b+b+c+c+a? ?≥ ? ? 证明 3 (a+b)(b+c)(c+a)· 3 1 3 (a+b)(b+c)(c+a) =9 3

1 1 1 9 ? + + ≥ . a+b b+c c+a 2

【反思感悟】 认真观察要证的不等式的结构特点,灵活
利用已知条件构造出能利用平均不等式的式子.

1.已知 a,b,c 都是正数,
?a+b+c 3 ? 求证:3? - 3 ? ? ?a+b ? ? ≥ 2 abc? ? 2 - ? ? ? ? ab?. ?

证明

?a+b+c 3 ∵3? - ? 3 ?

? ?a+b ? ? - abc?-2? 2 ? ?

? ? ab? ?

=a+b+c-a-b-3 abc+2 ab=c-3 abc+2 ab = ab+ ab+c-3 abc≥3 abc-3 abc=0, ∴原不等式成立. 3 3 3

3

3

知识点2 利用三个正数的算术—几何平均不等式求最值 若正数a,b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围. 【例2】 3 解 法一 ∵a,b∈(0,+∞),且 ab=a+b+3≥3 3ab, ∴a3b3≥81ab.又 ab>0,∴a2b2≥81. ∴ab≥9(当且仅当 a=b 时,取等号). ∴ab 的取值范围是[9,+∞).
法二 ∵ab-3=a+b≥2 ab, ∴ab-2 ab-3≥0 且 ab>0, ∴ ab≥3,即 ab≥9(当且仅当 a=b 时取等号) ∴ab 的取值范围是[9,+∞). 【反思感悟】 注意平均不等式应用的条件是三个正数在

求最值时,一定要求出等号成立时未知数的值,如果不存 在使等号成立的未知数的值,则最值不存在.

2. 求


? π? ? y=sin xcos x, x∈?0, ? ?的最大值. 2 ? ? ? π? ? ? ∵x∈?0, ?,∴sin x>0,y>0. 2? ?
2

2 2 2 2sin x cos x cos x 2 2 4 y =sin xcos x= 2 2 2 2 ? 2sin x + cos x + cos x?3 1?2?3 8 1? 4 ? ? ? ≤ ? ? =2?3? =54=27. 2? 3 ? 4 2 3 1 2 2 2 故 y≤ = ,此时,2sin x=cos x,tan x= , 27 9 2 2 3 y 有最大值 . 9

知识点3 平均不等式的实际应用
n=1, 2, 【例3】某产品今后四年的市场需求量依次构成数列{an}, 3,4,并预测到年需求量第二年比第一年增长的百分率为 P1, 第三年比第二年增长的百分率为 P2,第四年比第三年增长的 2 2 百分率为 P3,且 P1+P2+P3=1.给出如下数据:① ,② , 7 5 1 1 2 ③ ,④ ,⑤ , 3 2 3
则其中可能成为这四年间市场需求量的年平均增长率的是

(
A.①② B.①③ C.②③④ D.②⑤

).

解析

设这四年间市场年需求量的年平均增长率为x (x>0),

则a4=a1(1+x)3=a1(1+P1)(1+P2)(1+P3),
∴(1+x)3=(1+P1)(1+P2)(1+P3),

∴(1+x)3=(1+P1)(1+P2)(1+P3)
?1+P1+1+P2+1+P3? 4?3 ? ?3 ? ? . ≤? ? =? 3 ? ? 3 ? ?

4 1 ∴1+x≤ ,即 x≤ , 3 3 对比所给数据,只有①③满足条件,故选 B.

答案

B

3. 设长方体的体积为1 000 cm3,则它的表面积的最小值为__________ cm2. 解析 设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,

则abc=1 000,且a>0,b>0,c>0.
∴它的表面积 S=2(ab+bc+ca)≥2×3 (abc)2=600. 3

当且仅当a=b=c=10 (cm)时取“=”号. 所以它的表面积S的最小值为600 cm2. 答案 600

随堂演练
x2-4x+5 5 1.已知 x≥2,则 f(x)= 有 2x-4 5 A.最大值 4 C.最大值 1
解析

(

).

5 B.最小值 4 D.最小值 1

? 1 (x-2)2+1 1? ? f(x)= = ?(x-2)+(x-2)? ?, 2? 2(x-2) ?

5 1 1 又∵x≥ ,x-2≥ ,则 f(x)≥ ·2 2 2 2 1.

1 (x-2) = (x-2)

答案

D

2.周长为 2+1 的直角三角形面积的最大值为________.

解析

设两直角边长为 a,b,斜边长为 c,

则 c2=a2+b2,且 a+b+ a2+b2= 2+1. ∴ 2+1=a+b+ a2+b2 ≥2 ab+ 2ab=(2+ 2) ab, 2 即 ab≤ ,当且仅当 a=b 时取等号. 2 1 1 1 ∴三角形的面积 S= ab≤ ,即 Smax= . 2 4 4 1 答案 4

用长为 16 3.
cm2.

cm的铁丝围成一个矩形,则可围成的矩形的最大面积是 ________

解析

设矩形长为x cm(0<x<8),则宽为(8-x) cm,
?x+8-x? ? ?2 S≤? =16, 当且仅当 2 ? ? ?

面积S=x(8-x).由于x>0,8-x>0,
可得 x=8-x 即 x=4 时, Smax

=16. 所以矩形的最大面积是16 cm2.

答案

16


推荐相关:

机械工程测试技术基础(第三版)课后答案全集(1)

n ??? ? n (1 ? cos n? )e ? 1 jn?0t , n=0, ? 1, ? 2, ? 3, 。 A ? (1 ? cos n? ) ?cnI ? ? n? ? ? ?cnR ? 0 (n=0...


第三章答案 (1)

3.请画出以下各位消费者对两种商品(咖啡和热茶)的无差异曲线,同时请对(2)和(3) 分别写出消费者B和消费者C的效用函数。 1 (1)消费者A喜欢喝咖啡,但对喝...


(1.3)习题全解

1×2-3=(468.375)10=(1D4.6)16 (3) (11.0101)2=1×21+1×20+1×2-2+1×2-4 =(3.3125)10=(3.5)16 (4) (0.00110101)2=1×2-3+1×2...


股权激励有关事项备忘录1-3号

股权激励有关事项备忘录1-3号_经管营销_专业资料。证监会颁布的股权激励有关事项备忘录1号、2号和3号 股权激励有关事项备忘录 1、提取激励基金问题 1、...


初一数学1.3 1.4教案及练习题

? 3? 、填空题: 1、(-3)+(+2)的结果的符号为___。2、-3 与-1 的和等于___。3、(-1) - (-2)=(-1)+(___) 4、比-3 小 2 的数是__...


人教版高中物理选修3-1教案

(普遍适用) ●作业 复习本节课文 1、思考课本 P16 问题与练习第(1)、(3)、(4)、(5)、(7)题. 2、作业纸. 参考题 在电场中某点,当放入正电荷时受到...


第三章物理化学习题--解(1)

TS) =n(T2S2-T1S1) =1×(600×170.79-300×150.0) =57474J ?G=??H-??TS) =9000-57474=-48474J 3、 1mol 理想气体始态为27℃、1MPa,令其...


高等数学( 北大版)答案一习题1.3

高等数学( 北大版)答案一习题1.3_理学_高等教育_教育专区。高等数学( 北大版)答案习题1.3 1.设xn = n (n = 1, 2,L), 证明 lim xn = 1,即对于任意...


14.1.3《积的乘方》教案

学科:数学课 题 授课教师:张辉贤 年级:八 总第课时 课时 14.1.3 积的乘方 知识与技能 教学目标 (1)经历探索积的乘方的运算性质的过程,进一步体会幂 的意义...


1.2.3相反数 教案

1.2.3相反数 教案_数学_初中教育_教育专区。《1.2.3 相反数》教案七(1)班教材:人教版《义务教育课程标准实验教科书●数学》七年级上册 课题:1.2.3 相反...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com