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1.3


§3 平均值不等式(二)

预习自测
a3+b3+ 定理3:对任意三个正数a,b,c,有_______________( 此式当且仅当a=b=c 1. 3 c ≥3abc
时取“=”号).

a+b+c 3 ≥ abc (此式 2. 定理 4:对任意三个正数 a,b,c 有______________ 3 当且仅当 a

=b=c 时取“=”号).

3. 一 般 地 , 对 n 个 正 数 a1 , a2 , ? , an(n≥2) , 我 们 把 数 值
a+a2+?+an n 算术平均值 , a1a2?an分别称为这 n 个正数的____________ n

a1+a2+?+an n ≥ a1a2?an 几何平均值 ,且______________________________ n 与_____________ .

此式当且仅当a1=a2=…=an时取“=”号,即n个正数的算
术平均值不小于它们的几何平均值.

【例1】 已知 a、b、c∈(0,+∞),且 a+b+c=1.
1 1 1 9 求证: + + ≥ . a+b b+c c+a 2

a+b+c=1?(a+b)+(b+c)+(c+a)=2, ? 1 1 1 ? ? [(a+b)+(b+c)+(c+a)]?a+b+b+c+c+a? ?≥ ? ? 证明 3 (a+b)(b+c)(c+a)· 3 1 3 (a+b)(b+c)(c+a) =9 3

1 1 1 9 ? + + ≥ . a+b b+c c+a 2

【反思感悟】 认真观察要证的不等式的结构特点,灵活
利用已知条件构造出能利用平均不等式的式子.

1.已知 a,b,c 都是正数,
?a+b+c 3 ? 求证:3? - 3 ? ? ?a+b ? ? ≥ 2 abc? ? 2 - ? ? ? ? ab?. ?

证明

?a+b+c 3 ∵3? - ? 3 ?

? ?a+b ? ? - abc?-2? 2 ? ?

? ? ab? ?

=a+b+c-a-b-3 abc+2 ab=c-3 abc+2 ab = ab+ ab+c-3 abc≥3 abc-3 abc=0, ∴原不等式成立. 3 3 3

3

3

知识点2 利用三个正数的算术—几何平均不等式求最值 若正数a,b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围. 【例2】 3 解 法一 ∵a,b∈(0,+∞),且 ab=a+b+3≥3 3ab, ∴a3b3≥81ab.又 ab>0,∴a2b2≥81. ∴ab≥9(当且仅当 a=b 时,取等号). ∴ab 的取值范围是[9,+∞).
法二 ∵ab-3=a+b≥2 ab, ∴ab-2 ab-3≥0 且 ab>0, ∴ ab≥3,即 ab≥9(当且仅当 a=b 时取等号) ∴ab 的取值范围是[9,+∞). 【反思感悟】 注意平均不等式应用的条件是三个正数在

求最值时,一定要求出等号成立时未知数的值,如果不存 在使等号成立的未知数的值,则最值不存在.

2. 求


? π? ? y=sin xcos x, x∈?0, ? ?的最大值. 2 ? ? ? π? ? ? ∵x∈?0, ?,∴sin x>0,y>0. 2? ?
2

2 2 2 2sin x cos x cos x 2 2 4 y =sin xcos x= 2 2 2 2 ? 2sin x + cos x + cos x?3 1?2?3 8 1? 4 ? ? ? ≤ ? ? =2?3? =54=27. 2? 3 ? 4 2 3 1 2 2 2 故 y≤ = ,此时,2sin x=cos x,tan x= , 27 9 2 2 3 y 有最大值 . 9

知识点3 平均不等式的实际应用
n=1, 2, 【例3】某产品今后四年的市场需求量依次构成数列{an}, 3,4,并预测到年需求量第二年比第一年增长的百分率为 P1, 第三年比第二年增长的百分率为 P2,第四年比第三年增长的 2 2 百分率为 P3,且 P1+P2+P3=1.给出如下数据:① ,② , 7 5 1 1 2 ③ ,④ ,⑤ , 3 2 3
则其中可能成为这四年间市场需求量的年平均增长率的是

(
A.①② B.①③ C.②③④ D.②⑤

).

解析

设这四年间市场年需求量的年平均增长率为x (x>0),

则a4=a1(1+x)3=a1(1+P1)(1+P2)(1+P3),
∴(1+x)3=(1+P1)(1+P2)(1+P3),

∴(1+x)3=(1+P1)(1+P2)(1+P3)
?1+P1+1+P2+1+P3? 4?3 ? ?3 ? ? . ≤? ? =? 3 ? ? 3 ? ?

4 1 ∴1+x≤ ,即 x≤ , 3 3 对比所给数据,只有①③满足条件,故选 B.

答案

B

3. 设长方体的体积为1 000 cm3,则它的表面积的最小值为__________ cm2. 解析 设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,

则abc=1 000,且a>0,b>0,c>0.
∴它的表面积 S=2(ab+bc+ca)≥2×3 (abc)2=600. 3

当且仅当a=b=c=10 (cm)时取“=”号. 所以它的表面积S的最小值为600 cm2. 答案 600

随堂演练
x2-4x+5 5 1.已知 x≥2,则 f(x)= 有 2x-4 5 A.最大值 4 C.最大值 1
解析

(

).

5 B.最小值 4 D.最小值 1

? 1 (x-2)2+1 1? ? f(x)= = ?(x-2)+(x-2)? ?, 2? 2(x-2) ?

5 1 1 又∵x≥ ,x-2≥ ,则 f(x)≥ ·2 2 2 2 1.

1 (x-2) = (x-2)

答案

D

2.周长为 2+1 的直角三角形面积的最大值为________.

解析

设两直角边长为 a,b,斜边长为 c,

则 c2=a2+b2,且 a+b+ a2+b2= 2+1. ∴ 2+1=a+b+ a2+b2 ≥2 ab+ 2ab=(2+ 2) ab, 2 即 ab≤ ,当且仅当 a=b 时取等号. 2 1 1 1 ∴三角形的面积 S= ab≤ ,即 Smax= . 2 4 4 1 答案 4

用长为 16 3.
cm2.

cm的铁丝围成一个矩形,则可围成的矩形的最大面积是 ________

解析

设矩形长为x cm(0<x<8),则宽为(8-x) cm,
?x+8-x? ? ?2 S≤? =16, 当且仅当 2 ? ? ?

面积S=x(8-x).由于x>0,8-x>0,
可得 x=8-x 即 x=4 时, Smax

=16. 所以矩形的最大面积是16 cm2.

答案

16


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