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湖北省部分重点中学2013届高三上学期期中联考数学试题


湖北省部分重点中学 2013 届高三上学期 期中联考数学理科试题
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分 编辑人:丁济亮 祝考试顺利!

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在答题卡相应的位置) .

1.设数列{xn}满足 lnxn+1=1+lnxn,且 x1+x2+x3+?+x10=10.则 x21+x22+x23+?+x30 的值为 ( ) 20 21 21 20 A.11· e B.11· e C.10· e D.10· e → → → 2.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若OB=a1 OA+a2009OC,且 A、B、C 三点共线(O 为该直线外一点),则 S2009 等于 ( ) 2009 -2009 A.2009 B. C.22009 D.2 2 3.在锐角△ABC 中,若 tan A ? t ? 1, tan B ? t ? 1,则 t 的取值范围是( A. (-1,1) B. (1,+∞) C. ? 2 , 2 ) ( )

D. ( 2 ,?? )

4 设 a ? sin14 ? cos14 , b ? sin16 ? cos16 , c ?
0 0 0 0

3 ,则 a , b, c 大小关系( ) 2

A.

a?b?c

B.

b?a?c

C. c<a<b

D.

a?c?b

5.已知函数 f(x)=2sin(wx+φ)(w>0,0<φ<π),且函数的图象如图所示,则点(w,φ)的坐 标是 ( )

π A.(2, ) 3 2π C.(2, ) 3

π B .(4, ) 3 2π D.(4, ) 3 ( )

a2 b2 6.设 0<x<1,a,b 都为大于零的常数 ,则 + 的最小值为 x 1-x A.(a-b)2 B.(a+b)2 2 2 C.a b D.a2

7.已知数列{an}为等差数列,若 Sn<0 的 n 的最小值为( ) A.11 B.19

a11 ? ?1 ,且它们的前 n 项和 为 Sn 有最大值,则使得 a10
C.20 D.21
[来源:学_科_网]

8. S 是至少含有两个元素的集合, S 上定义了一个二元运算 (即对任意的 a,b ? S , 设 在 “*” 对于有序元素对( a, b ) ,在 S 中有唯一确定的元素 a * b 与之对应) .已知对任意的

a,b ? S ,有 a * (b * a) ? b ;则对任意的 a,b ? S ,给出下面四个等式:
(1) (a * b) * a ? a (2)

[a * (b * a)] * (a * b) ? a
上面等式中 恒成立的有( )

(3)

b * (b * b) ? b

(4) (a *b) *[b * (a * b)] ? b A. 、 (1)(3) C.(2)、 、 (3)(4)

B. 、 (3)(4) D. 、 、 、 (1)(2)(3)(4)

9.设奇函数 f(x )在[—1,1]上是增函数,且 f (—1)= 一 1,若函数,f (x )≤t 一 2 a t+l 对 所 有 的 x ∈ [ 一 1,1] 都 成 立 , 则 当 a ∈ [-1 , 1] 时 , t 的 取 值 范 围 是 ( ) B ?

2

A.一 2≤t≤2

1 1 ≤t≤ 2 2

C.t≤一 2 或 t = 0 或 t≥2

D.t≤ ?

1 1 或 t=0 或 t≥ 2 2

10.已知矩形 ABCD 中,AB=2,AD=4,动点 P 在以点 C 为圆心,1 为半径的圆上,若

??? ? ??? ? ??? ? AP ? ? AB ? ? AD(?, ? ? R) ,则 ? ? 2? 的取值范围是(
A. [3 ? 2,3 ? 2] C. [3 ? B. [3 ?



10 10 ,3 ? ] 10 10

2 2 ,3 ? ] 2 2 3 10 3 10 D. [3 ? ,3 ? ] 10 10

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
11.已知△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c.若 a=1,∠B=45° ,△ABC 的面 积 S=2,那么△ABC 的外接圆的直径等于__________.
3 2 12.若函数 f ( x) ? x ? ax ? 2 x ? 5 在区间( ,

1 1 )上既不是单调递增函数也不是单调递 3 2
______.

减函数,则实数 a 的取值范围是_____

? 13 已知 f (x) 是偶函数,当 x ? R 时, f ?( x) ?

f ( x) , 且f (1) ? 0, 则关于 x 的不等式 x

f ( x) ? 0 的解集是___________ x
14 、 已 知 A 、 B 、 C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 点 , O 为 △ ABC 的 外 心 , 动 点 P 满

OP ?

[(1 ? ?) ? (1 ? ? )OB ? (1 ? 2? )OC] OA (λ ∈R), 则 P 的轨迹一定过△ABC 的 3

__________ 15.设 N=2n(n∈N*,n≥2) ,将 N 个数 x1,x2,?,xN 依次放入编号为 1,2,?,N 的 N 个位 置,得到排列 P0=x1x2?xN。将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依

N N 个数和后 个位置,得到排列 P1=x1x3?xN-1x2x4?xN, 2 2 N 将此操作称为 C 变换,将 P1 分成两段,每段 个数,并对每段作 C 变换, 得到 P2 当 2≤i 2 N ≤n-2 时,将 Pi 分成 2i 段,每段 i 个数,并对每段 C 变换,得到 Pi+1,例如,当 N=8 时, 2
次放入对应的前 P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时 x7 位于 P2 中的第 4 个位置。 (1)当 N=16 时,x7 位于 P2 中的第___个位置; (2)当 N=2n(n≥8)时,x173 位于 P4 中的第___个位置。

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤)
16.(本小题满分 12 分)已知 A、B、C 三点的坐标分别是 A(3,0)、B(0,3),C(cosα,sinα),其 π 3π 中 <α< . 2 2 → → (1)若|AC|=|BC|,求角 α 的值; 2sin2α+sin2α → → (2)若AC· =-1,求 BC 的值. 1+tanα

17(本小题满分 12 分 )用向量的方法证明三角形的三条高线交于一点。

18.(本小题满分 12 分)已知命题“ p : ?a ? [1,2], m ? 5 ? 取值范围。

a2 ? 8 ” ;命题“ q :函数

f ( x) ? x 3 ? mx2 ? (m ? 6) x ? 1 在 R 上有极值”. 求使“ p 且 ? q ”为真命题的实数 m 的

19. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ? x3 ? 2mx2 ? m2 x ? 1 ? m(m ? ?2) 的图象在 x=2 处的切线与直线 x-5y-12=0 垂直. (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的极值与零点; (Ⅱ) g ( x ) ? 设

1? x 若对任意 x1 ? [0,1] , 存在 x2 ? (0,1] , f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立, 使 ? ln x , kx

求实数 k 的取值范围;

a 20. (本小题满分 13 分) 在△ ABC 中,a, b, c 分别为角 A、 C 的对边, ? c ? b ? B、
2 2 2

8bc , 5

a =3,△ ABC 的面积为 6,D 为△ ABC 内任一点,点 D 到三边距离之和为 d。
(1)求角 A 的正弦值; (2)求边 b、c; (3)求 d 的取值范围。

21. (本题满分 14 分)顶点在坐标原点,开口向上的抛物线经过点 A0 (1,1) ,过点 A0 作抛物 线的切线交 x 轴于点 B1, 过点 B1 作 x 轴的垂线交抛物线于点 A1, 过点 A1 作抛物线的切 线交 x 轴于点 B2,?,过点 An ( xn , yn ) 作抛物线的切线交 x 轴于点 Bn ?1 ( xn ?1 ,0) . (1)求数列{ xn },{ yn}的通项公式 (n ? N ? ) ; (2)设 an ?

1 1 1 ? ,数列{ an}的前 n 项和为 Tn.求证: Tn ? 2n ? ; 1 ? xn 1 ? xn ?1 2

(3)设 bn ? 1 ? log2 yn ,若对于任意正整数 n,不等式 (1 ?

1 1 1 )(1 ? ) ? (1 ? ) ≥ b1 b2 bn

a 2n ? 3 成立,求正数 a 的取值范围.

y A0

[来源:Zxxk.Com]

A1 A2 O B2 B1 x

第 21 题图

高三数学试卷答案
一、选择题: 题号 1 答案 D B 2 D 3 C 4 D 5 B 6 C 7 C 8 C 9 B 10

2;三点共线,系数和为 1. 10:圆的参数方程的应用

4:平方法。7: d ? 0, a10 ? 0, a11 ? 0, a10 ? a11 ? 0

二、填空题:
11, 5 2 。 12 , 15
5 5 。 ? a ? (补集法) 4 2

13, (?1,0) ? (1,??). 。

14,重心。

三、解答题
→ → 16,解析:(1)AC=(cosα-3,sinα),BC=(cosα,sinα-3), → → → → ∵|AC|=|BC|,∴|AC|2=|BC|2, 即(cosα-3)2+si n2α=cos2α+(sinα-3)2, 化简得 sinα=cosα. π 3π 5π ∵ <α< ,∴α= . -------------6 分 2 2 4 → → (2)-1=AC· =cosα(cosα-3)+sinα(sinα-3)=1-3(sinα+cosα), BC 2 ∴sinα+cosα= . 3 5 于是 2sinα· cosα=(sinα +cosα)2-1=- , 9 2sin2α+sin2α 2sinα(sinα+cosα) 5 故 = =2sinα· cosα=- . --------------12 分 9 1+tanα cosα+sinα cosα 17 解析: 如图所示, ?ABC 中作 AD ? BC 于 D , BE ? AC 于 E , AD 与 BE 交于 F , 在
[来源:学科网]

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 证明:? AD ? BC ? AF ? BC ? 0 ??? ??? ? ? 同理 BF ? AC ? 0 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? AC ? BC ? ?CF ? BC ? ?CF ? AC 展开
连接 CF ,

只需证 CF ? AB ,即 CF ? AB ? 0 ------------4 分

-------8 分

??? ??? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? CF ? ( BC ? CA) ? 0 即 CF ? BA ? 0
∴三角形的三条高线交于一点。 ------------12 分 E

A
F
B

C

D
18. ?a ? [1,2], m ? 5 ? 解:

a 2 ? 8 ,只需 | m ? 5 | 小于 a 2 ? 8 的最小值,而当 a ? [1,2] 时,

----------------6 分 | a 2 ? 8 ≥3? m ? 5 |? 3,即2 ? m ? 8 3 2 2 ? f ( x) ? x ? mx ? (m ? 6) x ? 1 存在极值? f ?( x) ? 3x ? 2mx ? m ? 6 ? 0 有两个不等的 2 实根, ? 4m2 ?12(m ? 6) ? 0, 即m ? 3m ? 18 ? 0 ? m ? 6 或 m ? ?3 ,要使“P 且 ? Q” 为真,只需 2 ? m ? 6 ---------------12 分

19.解: (Ⅰ)因为 f ?( x) ? ?3x2 ? 4mx ? m2 ,所以 f ?(2) ? ?12 ? 8m ? m2 ? ?5 , 解得: m ? ?1 或 m ? ?7 ,又 m ? ?2 ,所以 m ? ?1 , 由 f ?( x) ? ?3x ? 4 x ?1 ? 0 ,解得 x1 ? 1 , x2 ?
2

???2 分

1 ,列表如下: 3
1 ( ,1) 3

x
f ?( x )

1 (??, ) 3

1 3

1 0 极大值 2

(1, ??)

?
?
1 3

0 极小值 50
27

?
?

?
?
???4 分

f ( x)

所以 f ( x)极小值 ? f ( ) ?
3 2

50 , f ( x)极大值 ? f (1) ? 2 , 27
2

因为 f ( x) ? ? x ? 2x ? x ? 2 ? ?( x ? 2)( x ? 1) , 所以函数 f ( x ) 的零点是 x ? 2 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 x ? [0,1] 时, f ( x) min ? ???6 分

50 , 27

“对任意 x1 ? [0,1] ,存在 x2 ? (0,1] ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ”等价于“ 值大于 g ( x) 在 (0,1] 上的最小值,即当 x ? (0,1] 时, g ( x) min ?

f ( x) 在 [0,1] 上的最小
???6 分

50 ” , 27

1 x? 1 1 因为 g ?( x) ? ? 2 ? ? 2 k , kx x x

[来源:学科网]

① 当 k ? 0 时,因为 x ? (0,1] ,所以 g ( x) ? ② 当 0 ? k ? 1 时,

1? x 50 ,符合题意; ? ln x ? 0 ? kx 27

1 ? 1 ,所以 x ? (0,1] 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减, k

所以 g ( x ) min ? g (1) ? 0 ?

50 ,符合题意; 27

1 1 1 ? 1 ,所以 x ? (0, ) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减, x ? ( ,1) k k k 1 1 1 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增,所以 x ? (0,1] 时, g ( x) min ? g ( ) ? 1 ? ? ln , k k k 1 23 令 ? ( x) ? ln x ? x ? ( 0 ? x ? 1 ) 则 ? ?( x ) ? ? 1 ? 0 , , 所以 ? ( x) 在 (0,1) 上单调递增, x 27 50 23 所以 x ? (0,1) 时, ? ( x) ? ? (1) ? ? , ? 0 ,即 ln x ? x ? 27 27
③ 当 k ? 1 时, 0 ? 所以 g ( x) min ? g ( ) ? 1 ?

1 k

1 1 23 50 ,符合题意, ? ln ? 1 ? ? k k 27 27
???12 分
4 ? cos A ? ? sin A ? --------------3 分 5

综上所述,若对任意 x1 ? [0,1] ,存在 x2 ? (0,1] ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立, 则实数 k 的取值范围是 (??,0) ? (0, ??) . 20,解:(1) a2 ? c2 ? b2 ? 8bc ?
5
b2 ? c2 ? a 2 4 ? 2bc 5

3 5

1 1 3 (2)? S?ABC ? bc sin A ? bc ? ? 6 ,?bc ? 20 2 2 5


A

b2 ? c2 ? a2 4 ? 及 bc ? 2 0 与 a =3 解得 b=4,c=5 或 b=5,c= 4 ---------------------8 分 2bc 5 1 (3)设 D 到三边的距离分别为 x、y、z,则 S?ABC ? (3x ? 4 y ? 5z) ? 6 2 12 1 d ? x ? y ? z ? ? (2 x ? y ) 5 5 ?3 x ? 4 y ? 12, 又 x、y 满足 ? x ? 0, ? ? y ? 0, ?
[来源:Zxxk.Com]

画出不等式表示的平面区域得:

12 ?d ?4 5

------------13 分

21. (1)由已知得抛物线方程为 y ? x2 , y? ? 2 x . ???????????????2 分
2 则设过点 An ( xn , yn ) 的切线为 y ? xn ? 2xn ( x ? xn ) .

令 y ? 0, x ?

xn x ,故 xn?1 ? n . 2 2
1 1 , yn ? n . ?????????????????4 分 n 2 4

又 x0 ? 1 ,所以 xn ?

1 (II)由(1)知 xn ? ( )n . 2

所以 an ?

1 1 2n 2n ?1 ? ? n ? n ?1 1 1 1 ? ( )n 1 ? ( ) n ?1 2 ? 1 2 ? 1 2 2

?

2 n ? 1 ? 1 2n ?1 ? 1 ? 1 1 1 + n ?1 +1+ n?1 ?1? n n 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1

? 2?(
由 得

1 1 ) .?????????????????6 分 ? n?1 2 ?1 2 ?1
n

1 1 1 1 ? n , n?1 ? n?1 , 2 ?1 2 2 ?1 2
n

1 1 1 1 ? n?1 ? n ? n?1 . 2 ? 1 2 ?1 2 2
n

所以 an ? 2 ? (

1 1 1 1 ) ? 2 ? ( n ? n?1 ).??????????7 分 ? n?1 2 ?1 2 ?1 2 2
n

从而 Tn ? a1 ? a2 ? ? ? an ? [2 ? ( ?

1 2

1 1 1 1 1 )] ? [2 ? ( 2 ? 3 )] ? ? ? [2 ? ( n ? n?1 )] 2 2 2 2 2 2 1 1 (2 ? 3 ?)? ? ] 2 2
n

1 1 ? 2n ? [ ( ? 2 ? ) 2 2

1 ? ( 2

n?

1 21

)]

1 1 1 ? 2n ? ( ? n?1 ) n ? , ? 2 2 2 2
即 Tn ? 2n ? (III)由于 yn ?

1 .?????????????????????????9 分 2

1 ,故 bn ? 2n ? 1 . 4n
b1 b2 bn

对任意正整数 n,不等式 (1 ? 1 )(1 ? 1 )?(1 ? 1 ) ≥ a 2n ? 3 成立, 即a≤ 设 f ( n) ?

1 1 1 1 (1 ? )(1 ? )? (1 ? ) 恒成立. b1 b2 bn 2n ? 3
1 1 1 1 (1 ? )(1 ? )? (1 ? ) ,????????????10 分 b1 b2 bn 2n ? 3

则 f ( n ? 1) ?

1 1 1 1 1 (1 ? )(1 ? )?(1 ? )(1 ? ). b1 b2 bn bn ?1 2n ? 5



2n ? 4 2n ? 3 2n ? 4 1 f (n ? 1) 2n ? 3 ? )= = ? ? (1 ? bn ?1 2n ? 3 f ( n) 2n ? 5 ? 2n ? 3 2n ? 5 2n ? 5

4n2 ? 16n ? 16 4n2 ? 16n ? 15

?1

所以 f (n ? 1) ? f (n) ,故 f ( n) 递增.????????????????12 分 则 f (n) min ? f (1) ? 故0 ? a≤

1 5

?

4 4 5 ? . 3 15

4 5 .?????????????????????????14 分 15


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