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湖北省黄冈中学2013届高三10月月考数学理试题(解析版)


湖北省黄冈中学 2013 届高三 10 月月考

数学(理) 试题
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.复数

i 的共轭复数为 1? i 1 1 1 1 A. ? ? i B. ? i 2 2 2 2 i i ? (1 ? i ) ?1 ? i 1 1 ? ? ?? ? i 1? i 2 2 2 2

( C. ?



1 1 ? i 2 2

D.

1 1 ? i 2 2

【答案】 C 【解析】

2.已知 p : “ a, b, c 成等比数列”, q : “ b ?
源:www.shulihua.net]

ac ”,那么 p 成立是 q 成立的
B.必要不充分条件 D. 既不充分又非必要条件





[来

A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】D

【解析】若 a,b,c 成等比数列,则 b ? ? ac ;若 b ?

ac ,则有可能 b ? 0, a或c ? 0
( )

3.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a3 ? a9 ? a15 ? a17 ? 0 ,则 S21 的值是 A. 1 【答案】 C B. ? 1 C. 0 D.不能确定

【解析】 a3 ? a9 ? a15 ? a17 ? 4a11 ? 0,? a11 ? 0 , S21 ? 21a11 ? 0 4.如图,已知正六边形 P1P2P3P4P5P6,下列向量的数量积中最大的是 A. PP 1 2 ? PP 1 3 C. P1 P2 ? P1 P5 【答案】A 【解析】利用向量数量积 PP 1 2 PP 1 i (i = 1, 2,3, 4,5,6) 的几何意义 : 数量积 P 1P 2 P 1P i 等于 P 1P 2 的长度 与 P1 Pi 在 P1 P2 的方向上的投影 PP 的乘积. 显然由图可知 P1 P3 在 P1 P2 方向上 P 1P 2 1 i cos < PP 1 2 , PP 1 i > 的投影最大. 5.某几何体的正视图和侧视图均为如图 1 所示,则在图 2 的四个图中可以作为该几何体的俯视图的 是 ( ) B. PP 1 2 ? PP 1 4 D. PP 1 2 ? PP 1 6 ( )

A.(1),(3) B.(1),(4) D.(1),(2),(3),(4) 【答案】A

C.(2),(4)

【解析】可以是一个正方体上面一个球,也可以是一个圆柱上面一个球.

? f ( x ? 4), x ? 0 ? f ( x) ? ? x 2 1 e ? ?1 dt , x ? 0 ? t ? 6.若 则 f (2012) 等于
A. 0 【答案】D 【解析】 f (2012) ? f (0) ? e ? ln 2 ? 1 ? ln 2
0


C. 1 ? e
2



B. ln 2

D.1 ? ln 2

7. ?ABC 中, A ?

?
3

,BC=3,则 ?ABC 的周长为





A. 4 3 sin ? B ?

? ?

??

??3 3?

B. 4 3 sin ? B ?

? ?

??

??3 6?

C. 6 sin? B ? 【答案】D

? ?

??

??3 3?

D. 6 sin? B ?

? ?

??

??3 6?

[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

【解析】方法 1:由正弦定理得

b c b?c b?c , ? ? ? ? sin B sin C sin B ? sin C 2? sin sin B ? sin( ? B) 3 3 2? ? 得 b + c = 2 3 [sinB + sin ( - B ) ] = 6 sin( B ? ) .故三角形的周长为: 3 + b + c = 3 6 3 ?

?? ? 6 sin? B ? ? ? 3 . 6? ?

方法 2:可取△ABC 为直角三角形时,即 B=
a b

? ,周长应为 3 3 +3,故排除 A、B、C. 6

8 .已 知实 数 a , b 满足 等式 2 ? 3 , 下 列五 个关系 式: ① 0 ? b ? a; ② a ? b ? 0; ③ 0 ? a ? b; ④ b ? a ? 0; ⑤ a ? b. 其中可能成立的关系式有 A.①②③ 【答案】B B.①②⑤ C.①③⑤ D.③④⑤ ( )

b 【 解 析 】 设 2a ? 3 则 a ? log2 k , b ? log3 k , 分 别 画 出 ?k ,

y ? log2 x, y ? log3 x 的图像可得.
9. 函数 y ? f ( x) 为定义在 R 上的减函数,函数 y ? f ( x ? 1) 的图像关于点(1,0)对称, x, y 满 足不等式 f ( x 2 ? 2x) ? f (2 y ? y 2 ) ? 0 ,M (1, 2), N ( x, y) ,O 为坐标原点, 则当 1 ? x ? 4 时,

OM ? ON 的取值范围为
A.





?12, ???

B.

?0,3?

C.

?3,12?

D.

?0,12?


【答案】D 【解析】函数 y ? f ( x ? 1) 的图像关于点(1,0)对称, 所以 f ( x) 为 函数,

? f ( x 2 ? 2x) ? f ( y 2 ? 2 y) ,? x2 ? 2 x ? y 2 ? 2 y ,

? x2 ? 2x ? y 2 ? 2 y ?( x ? y)(x ? y ? 2) ? 0 ?? ? 1? x ? 4 ?1 ? x ? 4 ,即 ? ,画出可行域,可得

x ? 2 y ??0,12?
? 1 ?x ? , x ? 0 2 10. 已知函数 f ( x) ? ? ,则方程 f (2x ? x) ? a( a ? 2 )的根的个数不可能为( x 3 ? ? x ? 3, x ? 0
A.3 【答案】A B. 4 C. 5 D. 6



【解析】画出 f ( x) 图像知,当 2 ? a ? 3 时,

f ( x) ? a 有 3 个根,一负二正,当 3 ? a 时, f ( x) ? a 有 2 个正根.令 t ? 2 x 2 ? x ,则

t??

1 8 .当 2 ? a ? 3 时, f (t ) ? a 有 3 个 t 使之成立,一负二正,两个正 ?? 1 1 ?? 8 时,没有 x 与之对应,当负 t 8 时,有 1 个 x 与之对应,当负

t 分别对应 2 个 x ,当负 t t
??

1 8 时,有 2 个 x 与之对应,所以根的个数分别为 4、5、6 个;当 3 ? a 时, f (t ) ? a 有 2

个正根,两个正 t 分别对应 2 个 x ,此时根的个数为 4 个.所以根的个数只可能为 4、5、6 个. 二、填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡中相应的横线上) 11.如图,下图为幂函数 y=xn 在第一象限的图像,则 c1 、 c2 、 c3 、
[来源:www.shulihua.net]

c4 的大小关系为
【答案】 c3 < c4 < c2 < c1



【解析】 观察图形可知, 且 c1 >1, 而 0< c2 <1, c3 <0, c1 >0, c2 >0,

c4 <0,且 c3 < c4 .
12.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的图象如图所示,则 2
f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ? ? f ? 2012? ?

y



0

2

6

x

【答案】 2 2 ? 2 【解析】由图象知 2? ? ?x , 其 图 象 关 于 ? ? 0, ? ? ? ,? f ? x ? ? 2 sin T 4 4
f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ? ? f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ? ? f ?8? ? 0,

?4,0?, x ? 2, x ? 6

对 称 知 ,

T ? 8, 2012 ? 251? 8 ? 4,

? f ? 2012? ? f ?1? ? f ? 2? ? f ?3? ? f ? 4? ?

2? 3? 4? ? ? ? ? f ?1? ? f ? 2 ? ? f ? 3? ? f ? 4 ? ? 2 ? sin ? sin ? sin ? sin ? ? 2 2 ? 2. 4 4 4 4 ? ?

13.已知△ ABC 中,点 D 是 BC 的中点,过点 D 的直线分别交直线 A

B.AC 于 E、F 两点,若 .

AB ? ? AE (? ? 0) , AC ? ? AF (? ? 0) ,则
9 【答案】 2

1

?

?

4

?

的最小值是

【解析】由题意得, AB + AC =2 AD =λ AE +

λ μ μ AF ?AD = AE + AF ,又 2 2

λ μ 1 D.E、F 在同一条直线上,可得 + =1.所以 2 2 λ

4 λ μ 1 4 5 2λ μ 5 9 + =( + )( + )= + + ≥ +2= ,当且仅当 2λ=μ 时取等号. μ 2 2 λ μ 2 μ 2λ 2 2 14.设 p : ?x ? (1, ) 使函数 g ( x) ? log2 (tx2 ? 2x ? 2)有意义,若 ? p 为假命题,则 t 的取值范围 为 .

5 2

【答案】 t ? ?

1 2 5 2 2 2 ? x2 x

2 ? p 为假命题, 【解析】 则 p 为真命题. 不等式 tx ? 2 x ? 2 ? 0 有属于 (1, ) 的解,即 t ?

有 属 于 (1,

5 5 2 1 2 2 1 1 1 1 )的 解 . 又 1 ? x ? 时 , ? ? 1 , 所 以 2 ? = 2( ? ) 2 ? ∈[? , 0) . 故 2 5 x x x x 2 2 2 2

1 t?? . 2
15.对于各项均为整数的数列 ?an ? ,如果 ai ? i ( i =1,2,3,…)为完全平方数,则称数 列 ?an ? 具有“ P 性质 ” .不论数列 ?an ? 是否具有 “ P 性质 ”,如果存在与 ?an ? 不是同一数列的

?bn ? ,且 ?bn ? 同时满足下面两个条件:①b1, b2 , b3 ,..., bn 是 a1, a2 , a3 ,..., an 的一个排列;②数列 ?bn ? 具有“ P 性质”,则称数列 ?an ? 具有“变换 P 性质”.下面三个数列:①数列 ?an ? 的前 n 项和
n 2 ( n ? 1) ;② 数列 1,2,3,4,5;③ 1,2,3,…,11.具有“ P 性质”的为 3 具有“变换 P 性质”的为 . Sn ?
【答案】① ;② 【解析】对于① 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ;

?

n 2 n ?1 (n ? 1) ? [( n ? 1) 2 ? 1] ? n 2 ? n, 3 3



a1 ? 0, 所以an ? n 2 ? n(n ? N * ).

所 以 ai ? i ? i 2 (i ? 1,2,3,?) 是 完 全 平 方 数 , 数 列

,数列 1,2,3,4,5 具有“变换 P 性质”,数列 {bn } 为 3,2,1,5, {an } 具有“P 性质”; 对于② 4;对于③ ,数列 1,2,3,…,11 不具有“变换 P 性质”,因为 11,4 都只有 5 的和才能构成完 全平方数,所以数列 1,2,3,…,11 不具有“变换 P 性质”. 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分 12 分) 已 知 集 合 M ? {x |

( x ? 4)(x ? 2) ? 0} , 集 合 N ? {x | 2 ax ? 3a ? x,a ? 0} , 求 集 合 ( x ? 7)(x ? 1)

T ? {a | M ? N ? ?}.

?3a ? x ? 0, ? 【 解 析 】 M ? {x | ?2 ? x ? ?1 , 或 4 ? x ? 7} , 又 2 ax ? 3a ? x ? ?ax ? 0, 或 ?4ax ? (3a ? x) 2 ?
? x ? 3a, ?3a ? x ? 0, ? ? x ? 3a, ? ? x ? 0, 或 ? (以上 a<0) ? 9a ? x ? 3a 或 ? ?ax ? 0, ?9a ? x ? a ? x ? 0 ?
3a ? x ? 0 ? 9a ? x ? 0 ,所以 N ? {x | 9a ? x ? 0} ;

1 1 M ? N ? ? ,所以 9a ? ?1 ,即 a ? ? ,所以 T ? {a | a ? ? } . 9 9
17.(本小题满分 12 分) 已知 x ?

?

6 (Ⅰ )求 a 的值; (Ⅱ )作出函数 f ( x) 在 x ? [0, ? ] 上的图象简图(不要求书写作图过程).

是函数 f ( x) ? (a sin x ? cos x) cos x ?

1 图象的一条对称轴. 2

【解析】 (Ⅰ ) ∵ f ( x) ? 值是 ? ∵ x?

1 1 ∴ f ( x) 最 a sin 2x ? cos 2x , 2 2

1 2 a ?1 , 2

?
6

是 函 数 f ( x) 图 象 的 一 条 对 称 轴 ,

1 2 a ?1 , 6 2 1 ? 1 ? 1 2 ∴ a sin 2( ) ? cos 2( ) ? ? a ? 1 , 整理得 2 6 2 6 2 a 3 2 ( ? ) ? 0 ,∴a ? 3 ; 2 2
∴f ( ) ? ? (Ⅱ ) f ( x ) ? sin( 2 x ? 18.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , a 2 ? ?13, an?2 ? 2an?1 ? an ? 2n ? 6

?

?

6

) ,画出其简图如下:

(Ⅰ )设 bn ? an?1 ? an , 求数列 {bn } 的通项公式; (Ⅱ )求 n 为何值时, an 最小(不需要求 an 的最小值) 【解析】(I)? bn ? an?1 ? an ,? an?2 ? 2an?1 ? an ? bn?1 ? bn ? 2n ? 6

? bn ? bn ?1 ? 2(n ? 1) ? 6, bn ?1 ? bn ? 2 ? 2(n ? 2) ? 6,....,b2 ? b1 ? 2 ? 6 将这n ? 1个等式相加,得 bn ? b1 ? 2[1 ? 2 ? ... ? (n ? 1)] ? 6(n ? 1) ? bn ? n(n ? 1) ? 6(n ? 1) ? (a 2 ? a1 ) ? n 2 ? 7n ? 8
即数列{bn}的通项公式为 bn ? n 2 ? 7n ? 8 (Ⅱ )若 an 最小,则 an ? an?1且an ? an?1 .即bn?1 ? 0且bn?1 ? 0
2 ? ?n ? 7 n ? 8 ? 0 ?? 注意 n 是正整数,解得 8≤n≤9 2 ? ?(n ? 1) ? 7(n ? 1) ? 8 ? 0

∴ 当 n=8 或 n=9 时,an 的值相等并最小 19.(本小题满分 12 分) 某工厂去年的某产品的年销售量为 100 万只,每只产品的销售价为 10 元,每只产品固定成本为 8 元.今年,工厂第一次投入 100 万元(科技成本),并计划以后每年比上一年多投入 100 万 元(科技成本),预计销售量从今年开始每年比上一年增加 10 万只,第 n 次投入后,每只产品 的固定成本为 g ( n) ?

k (k>0,k 为常数, n ? Z 且 n≥0),若产品销售价保持不变,第 n ?1

n 次投入后的年利润为 f ( n) 万元. (Ⅰ )求 k 的值,并求出 f ( n) 的表达式; (Ⅱ )若今年是第 1 年,问第几年年利润最高?最高利润为多少万元? 【解析】(Ⅰ )由 g ( n) ?

k ,当 n=0 时,由题意,可得 k=8, n ?1 8 n ?1 ) ? 100n .

所以 f (n) ? (100 ? 10n) (10 ?

(Ⅱ )由 f (n) ? (100 ? 10n)(10 ?

8 n ?1 9 n ?1

) ? 100n ? 1 000 ? 80

(

n ? 10 n ?1

) ? 1 000 ? 80( n ? 1 ?

) ? 1 000 ? 80 ? 2 9 ? 520.

当且仅当 n ? 1 ?

9 n ?1

,即 n=8 时取等号,

所以第 8 年工厂的利润最高,最高为 520 万元. 20.(本小题满分 13 分) 1 ? x2 已知函数 f ? x ? ? ? x ? R? . 1 ? x ? x2 (Ⅰ )求函数 f ? x ? 的极大值;
t (Ⅱ )若 et ? 2 x 2 ?e x ?e t ? 2 ≥0 对满足 x ≤1 的任意实数 x 恒成立,求实数 t 的取值范围(这

?

?

里 e 是自然对数的底数); (Ⅲ )求证:对任意正数 a 、 b 、 ? 、 ? ,恒有

?? ? a ? ? b ? 2 ? f ?? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?

? ? a 2 ? ?b2 f? ? ???

? ? ? a ? ?b ? ? a 2 ? ?b2 . ?≥? ? ? ??? ? ? ??? ?

2

【解析】(Ⅰ ) f ?? x? ?

?2 x ?1 ? x ? x 2 ? ? ? 2 x ? 1? ?1 ? x 2 ?

?1 ? x ? x ?

2 2

? ? x ? ?2 ? 3 ? ? ? x ? ?2 ? 3 ? ? ? ? ? ? 2 2 ?1 ? x ? x ?

?

?

?

?

∴ f ? x ? 的增区间为 ?2 ? 3, ?2 ? 3 , f ? x ? 减区间为 ??, ?2 ? 3 和 ?2 ? 3, ?? .极大值 为 f ?2 ? 3 ?

?

?

?

? ?

?

?

?

2 3 . 3
t

(Ⅱ )原不等式可化为 e ≥

2 ?1 ? x 2 ? 1? x ? x
2

由(Ⅰ )知, x ≤1 时, f ( x) 的最大值为

2 3 . 3

4 3 4 3 4 3 ∴ 的最大值为 ,由恒成立的意义知道 e t ≥ ,从而 t ≥ ln 2 3 3 3 1? x ? x
(Ⅲ )设 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? 则 g?? x? ? f ?? x? ?1 ?

2 ?1 ? x 2 ?

1 ? x2 ? x ? x ? 0? 1 ? x ? x2
2 2

? ? x 2 ? 4 x ? 1?

?1 ? x ? x ?

?1 ? ?

x 4 ? 2 x3 ? 4 x 2 ? 6 x ? 2

?1 ? x ? x ?
2

2 2



∴ 当 x ? 0 时, g ? ? x ? ? 0 ,故 g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上是减函数,

?? ? a ? b ? ? ? a ? ?b ? ? a 2 ? ?b2 又当 a 、 b 、 ? 、 ? 是正实数时, ? ?? ≤0 ? ? 2 ??? ? ??? ? ?? ? ? ?
2

? ? a ? ?b ? ? a 2 ? ?b 2 ∴? . ≤ ? ??? ? ??? ?
?? ? a ? ? b ? 由 g ? x ? 的单调性有: f ?? ? ? ?? ? ? ? ?
2

2

? ? ? a ? ?b ?2 ? ?? ? ≥ ? ? ? ? ? ? ?

? ? a 2 ? ?b2 ? ? a 2 ? ?b2 f? , ?? ??? ? ??? ?

?? ? a ? ? b ? 2 ? 即 f ?? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?

? ? a 2 ? ?b2 f? ? ???

? ? ? a ? ?b ? ? a 2 ? ?b2 . ?≥ ? ? ? ??? ? ? ??? ?

2

21.(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } , a1 ? a2 ? 2 , an?1 ? an ? 2an?1 (n ? 2) (Ⅰ )求数列 {an } 的通项公式 an ; (Ⅱ )当 n ? 2 时,求证:

1 1 1 ? ? ... ? ? 3 a1 a2 an

(Ⅲ )若函数 f ( x ) 满足: f (1) ? a1 , f (n ? 1) ? f 2 (n) ? f (n). (n ? N * ) 求证:

? f (k ) ? 1 ? 2 .
k ?1

n

1

1

[来源:www.shulihua.netwww.shulihua.net]

【解析】

an?1 ? an ? 2an?1 ,两边加 an 得: an?1 ? an ? 2(an ? an?1 ) (n ? 2) ,

? {an?1 ? an } 是以 2 为公比, a1 ? a2 ? 4 为首项的等比数列.
? an?1 ? an ? 4 2n?1 ? 2 2n ---------①
由 an?1 ? an ? 2an?1 两边减 2an 得: an?1 ? 2an ? ?(an ? 2an?1 ) (n ? 2)

? {an?1 ? 2an } 是以 ?1 为公比, a2 ? 2a1 ? ?2 为首项的等比数列.
? an?1 ? 2an ? ?2 (?1)n?1 ? 2 (?1)n -----------②
① -② 得: 3an ? 2[2n ? (?1) n ] 所以,所求通项为 an ?

2 n [2 ? (?1) n ] 3

(2) 当 n 为偶数时,

1 1 3 1 1 3 2n ?1 ? 2n ? ? [ n ?1 ? n ]? an ?1 an 2 2 ? 1 2 ? 1 2 2n ?1 2n ? 2n ? 2n ?1 ? 1 ? 3 2n ?1 ? 2n 3 2n ?1 ? 2n 3 1 1 ? ? ( n ?1 ? n )(n ? 2) n ?1 n n ?1 n ?1 n 2 2 2 ? 2 ?1 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 3 1 1 1 3 2n ? 3 ? 3 1 ? 3 ? ? ? ... ? ? (1 ? ? 2 ? ... ? n ) ? a1 a2 an 2 2 2 2 2 1? 1 2n 2 1?
当 n 为奇数时,

2 1 an ? [2n ? (?1) n ] ? 0 ,? an?1 ? 0, ? 0 ,又 n ? 1 为偶数 3 an?1

[来源:www.shulihua.net]

? 由(1)知,

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? ? ? ... ? ? ?3 a1 a2 an a1 a2 an an ?1

(3)证明:

f (n ? 1) ? f (n) ? f 2 (n) ? 0

? f (n ? 1) ? f (n),? f (n ? 1) ? f (n) ? f (n ?1) ? ??? ? f (1) ? 2 ? 0


1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? f (n ? 1) f (n) ? f (n) f (n)[ f (n) ? 1] f (n) f (n) ? 1 1 1 1 ? ? f (n) ? 1 f (n) f (n ? 1)
n

?

??
k ?1

1 1 1 1 1 1 1 ?[ ? ]?[ ? ] ? ??? ? [ ? ] f (k ) ? 1 f (1) f (2) f (2) f (3) f (n) f (n ? 1) 1 1 1 1 ? ? ? ? . f (1) f (n ? 1) f (1) 2



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