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2006年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含参考答案)


2006 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一.选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.已知数列 ?an ? 的通项公式 an ?

2 ,则 ?an ? 的最大项是 n ? 4n ? 5
2





? A? a1
2.函数 y ? 3
lo

g3 x

? B ? a2
的图象是

? C ? a3

? D? a4
( )

? A?

? B?

?C ?

? D?

3.已知抛物线 y 2 ? 2 px , O 是坐标原点, F 是焦点, P 是抛物线上的点,使得△ POF 是直角三 角形,则这样的点 P 共有 ( )

? A? 0 个

? B? 2 个

?C ? 4 个

? D? 6 个


4.设 f ? x ? 是定义在 R 上单调递减的奇函数.若 x1 ? x2 ? 0 , x2 ? x3 ? 0 , x3 ? x1 ? 0 ,则(

? A? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? 0 ? C ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? 0

? B ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? 0
? D? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ?

5.过空间一定点 P 的直线中,与长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的 12 条棱所在直线成等角的直线共有 ( )

? A? 0 条
6.在△ ABC 中, tan A ?

? B? 1 条

?C ? 4 条

? D? 无数多条


1 3 10 , cos B ? .若△ ABC 的最长边为 1 ,则最短边的长为( 2 10

? A?

4 5 5

? B?

3 5 5

?C ?

2 5 5

? D?

5 5

二.填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分) 7.集合 A ? x x ? 3n , n ? N , 0 ? n ? 10 , B ? y y ? 5m, m ? N , 0 ? m ? 6 ,则集合 A ? B 的

?

?

?

?

所有元素之和为 8.设 cos 2? ? 9. x ? 3x



2 4 4 ,则 cos ? ? sin ? 的值是 3
5



?

2 3

? 的展开式中, x

的系数为



?y ? 0 ? 10.已知 ?3 x ? y ? 0 ,则 x 2 ? y 2 的最大值是 ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?
11.等比数列 ?an ? 的首项为 a1 ? 2020 ,公比 q ? ?



1 .设 f ? n ? 表示这个数列的前 n 项的积,则当 2

n?

时, f ? n ? 有最大值.

12 . 长 方 体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中 , 已 知 AB 1 ? 4 , AD 1 ? 3 , 则 对 角 线 AC1 的 取 值 范 围 是 . 三.解答题(本题满分 60 分,第 13 题、第 14 题各 12 分,第 15 题 16 分,第 16 题 20 分) 13.设集合 A ? ? x log 1 ? 3 ? x ? ? ?2 ? , B ? ? x

? ? ? ?

? ? ? ?

?

2

2a ? ? 1? .若 A ? B ? ? ,求实数 a 的取值范围. ? x?a ?

14. 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F ,P 其中 P 1, P 2 ,?, P 24 为 24 个依逆时针顺序排列在椭圆上的点, 1 9 4

是椭圆的右顶点,并且 ?PFP 1 2 ? ?P 2 FP 3 ? ?P 3 FP 4 ? ? ? ?P 24 FP 1 .若这 24 个点到右准线的距离 的倒数和为 S ,求 S 的值.
2

15.△ ABC 中, AB ? AC , AD 、 AE 分别是 BC 边上的高和中线,且 ?BAD ? ?EAC . 证明 ?BAC 是直角.

A

B

D

E

C

16.设 p 是质数,且 p2 ? 71 的不同正因数的个数不超过 10 个.求 p .

2006 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷参考答案
1. B 7. 225 2. A 8. 3. B 9. 27 4. B 10. 9 5. C 11. 12 6. D 12. ? 4,5?

11 18

13.解: A ? x ?1 ? x ? 3 , B ? x ? x ? a ?? x ? 3a ? ? 0 . 当 a ? 0 时, B ? x 0 ? a ? x ? 3a ,由 A ? B ? ? 得 0 ? a ? 3 ; 当 a ? 0 时, B ? x 3a ? x ? a ? 0 ,由 A ? B ? ? 得 a ? ?1 ;
2 当 a ? 0 时, B ? x x ? 0 ? ? ,与 A ? B ? ? 不符.

?

?

?

?

? ?

? ?

?

?

综上所说, a ?? ?1,0? ? ? 0,3? . 14.解:椭圆中, a ? 3 , b ? 2 ,故 c ? 5 .所以 F

?

5, 0 , e ?

?

5 . 3

设 FPi 与 x 轴正向的夹角为 ?i , d i 为点 Pi 到右准线的距离.则

di ? e cos ?i ? 1? ?

a2 1 c ? c .即 ? 2 ? e cos ?i ? 1? . c di b

同理

1 di ?12

?

c c e cos ?i ?12 ? 1? ? 2 ? ? cos ?i ? 1? . 2 ? b b

所以

1 1 2c 5 . ? ? 2 ? di di ?12 b 2

从而

?d
i ?1

24

1
i

? 6 5 ,于是 S 2 ? 180 .

15.如图,取 AB 中点 I ,连 ID 、 IE .则 IE 为中位

线,

IE // AC , 且 ?I E A ? ? E.A 而 C ?B A D ? ? ,所以 E A C ?IEA ? ?BAD .…………① 在直角△ ADB 中, I 为斜边中点,所以 ID ? IA ,从 ?BAD ? ?IDA .…………② 联合①、②得 A 、 I 、 D 、 E 四点共圆. 所以 ?BAD ? ?IEB ? ?C ,∴ ?B ? ?C ? 90? ,即 ?BAC ? 90? .
所 以

A I B D E C



16.解:当 p ? 2 时, p2 ? 71 ? 75 ? 3? 52 ,有 ?1 ? 1?? 2 ?1? ? 6 个正因数; 当 p ? 3 时, p2 ? 71 ? 80 ? 24 ? 5 ,有 ? 4 ? 1??1 ?1? ? 10 个正因数. 所以 p ? 2 、 p ? 3 满足条件. 当 p ? 3 时, p2 ? 71 ? ? p ?1?? p ? 1? ? 72 . 其中 p 为奇质数,所以 ? p ? 1? 与 ? p ? 1? 是相邻的两个偶数,从而必然有一个 2 的倍数和 4 个倍数, 还必然有一个 3 的倍数,从而 ? p ?1?? p ? 1? 是 24 的倍数. 设 p ? 71 ? 24 ? m ? 2 ? 3? m ,其中 m ? 4 .
2 3

若 m 中有不同于 2 、 3 的质因数,则 p ? 71 的正因数个数 ? ? 3 ? 1??1 ? 1??1 ? 1? ? 10 ;
2

若 m 中含有质因数 3 ,则则 p ? 71 的正因数个数 ? ? 3 ? 1?? 2 ? 1? ? 10 ;
2

若 m 中仅有质因数 2 ,则 p ? 71 的正因数个数 ? ? 5 ? 1??1 ? 1? ? 10 .
2

所以 p ? 3 不满足条件. 综上所说,所求得的质数 p 是 2 或 3 .


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