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以数列为背景的计数竞赛题


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_ 河 南 省 鼗  ;   蠹 

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△ ≥ 0   4 = 9   7 n 2 - 6 n 一 4 0 1  ̄ 0 甘 半

≤   ≤  

,  

, . 自然数 n的最大值为 8 ,即满足题设条件 的数列至多有 8 项.   评注:本题从题设不等关系出发建立首项  与项数 n的不等式, 利用判别式 
构造关 于 n的不 等式 , 使 问题 顺利 求解 . 利用 不等 式求 有 关量的 范围 进行 计数 . 是  处理这 类 问题 的常 用方 法 .  

例2 ( 1 9 9 7 年高中联赛试题) 设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数 
不 少于 3 ,且 各项 的和为 卯 .则这样 的数列 共有  ( A) 2 个  ( B ) 3 个  ( C ) 4个  ( D ) 5 个  解 : 设首项 为 4.公差为 d.则 

M+  
? . ? 

d : 9 7 : *n [ 2 d +  一 1  】 : 2 x 9 7   ( . . )  

≥3 . H EN, 9 7 为 质数 - . _ . n的值 只可 能为 9 7 , 2 x9 7 , 9 7 2 . 2 x9 7 ' 四者之 

( 1 ) 若 d>0, 则 必有 d≥ I . 由( ¨ ) 知2 x 9 " / ' : ≥n ( n— 1 ) d   n ( n一1 ) ≤2 x 9 7 ' .   故只 可 能有 nI 9   7 ' ( . . ) 可化 为 口+4   =9 7,此 时有两 组 解 
=9 7   =9 7  

{ l d : I  或 { d = 2   a = 4 9   - d  I ?  
( 2 ) 若 d=0, 则( ÷ ÷ ) 可化 为 ∞ =9 7   , 这 时 也有 两组 解 

f  。9 7   { d= 0 或

= 9 7 z   { d= 0  

【 d = 9 7  
故选 ( C)、  

- d = I .  
的前 七项( 七  

例3 ( 1 9 9 4 年江苏省高中数学竞赛试题 ) 等差致列 , 吒, ?  
≥2 ) 之 和  =1 . 5 3 , 公差 d   2.且 首项 qEz, 则这 样 的 k个 数 为 
( A) 6   ( B ) 5   ( c ) 4   ∞) 3     .

解 ;由最= 1 5 3 得1 5 3 =  + — k ( 丁 k - 0  
. 

七≥2 ?七 ∈Ⅳ1   ∈Z,  

? .



该 不 定方 程有 如下 五种 可能 的解 

2 o o o u : - ml 期 

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曼鬯 萤r 一 一  
f k=9   { k  

+a I —l :1 7 或 
J 七= 1 5 3  

或 
.  

一  

I k + q一 1 = 1 .  

3  I l   +  q  5  l I   + q    
一  

检 验可 知 , 皆将 台 题设 条件 ,故选 ( B).   评注 :以上两 题都是将 问题转化 为不 定方程 , 通过讨 论不 定方 程 的解而 获解 .   一  
f l  ( 例4 1 9 9 6 年上海市高中数学竞赛试题) 从集台. ! I f =  l 4 EN, 且口≤1 0 0 1   3  

I l  
5  

中,选取 四 个 各不相 等 的数 ,使 它们 按从 小到 大 的顺 序组 成 公 比为整 数 的等 比数  或  或  列 ?则避 样 的等 比数 列共 有— — 个 .  

解:设满足条件的等比数列为  , x . q , 脚2   x . q   ∈N , 且q ≠l ,   EⅣ) , 由题意知 

嘲  ≤1 0 0 = -  ̄旷 - ≤1 0 0 ,又 g ∈N, g ≠1 , 故 目只可能取 2 ,3 ,4 .  
( 1 ) 当 gI 2 时, x q ’   ≤1 0 0 ,   ≤1 2 ,故有 l 2个等 比数列 满 足条件 ;   ( 2 ) 当g  3时 ,   ’  2 7 x≤ 1 0 0 ,   ≤3 ,故有 3个 等 比数列满 足 条件 ;  

。 】 当q 埘 时, x q ’ 簧6 4 x≤ l ∞.   l ,故有 1 个等比数列满足条件 
综上 可知 ,满 足 条件 的等 比数 列共 有 l 6个 .   评 注 :考 虑所 有可 能情况 ,分类 研 究, 化整 为零 ,有 利于 降低 问题 的难 度 ,   促使 问题解 决 ,  
练 习题 



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